Невинномысский химический колледж

Теория вероятностей

и

математическая статистика

Опорный конспект

+

сборник задач

Пособие для студентов специальности 2202

Невинномысск

2005

Составители

Васько О.Н., Капустин Е.И.

АННОТАЦИЯ

В сборнике представлены материалы, необходимые для изучения курса «Теория вероятностей и математическая статистика» студентами 22-ой группы специальностей средних профессиональных учебных заведений. Сборник не содержит подробного теоретического материала, т.е. не дублирует известных учебников по дисциплине.

В сборник включены опорный конспект: все необходимые определения и формулы и к каждой главе – разнообразные задачи, как для решения на уроках, так и для самостоятельной работы студентов.

Сборник адресован студентам третьего курса и их преподавателям.

Печатается по рекомендации научно-методического отдела

Невинномысского химического колледжа

СОДЕРЖАНИЕ

1. О сборнике /Вместо предисловия/ ..........................................….......3

2. Элементы комбинаторики……….. ...............................…...........…...4

3. Элементы теории вероятностей......................................……..….…..7

4. Теоремы сложения и умножения вероятностей.....................……...9

5.Формула полной вероятности……………………..…...................…11

6.Формула Бернулли………………………..………...........…………..13

7. Локальная теорема Лапласа…..……………………………………..13

8. Интегральная теорема Лапласа……………………………………...14

9.Теорема Пуасона………………………………………………………14

10.Дискретные случайные величины...........................................…..…16

11.Непрерывные случайные величины......….…………………………18

12.Равномерное распределение......................................……………….20

13. Нормальное распределение…………………………………………21

14. Показательное распределение………………………………………23

15.Вариационные ряды. Генеральная совокупность и выборка....…...25

16. Числовые характеристики вариационного ряда……………………27

17.Выборочный метод и статистическое оценивание............................31

18. Ошибки выборки……………………………………………………..32

19. Интервальное оценивание……………………………………………33

20. Проверка статистических гипотез......................................………….36

21.Корреляционная зависимость. …………………………………….....39

22.Способ наименьших квадратов……………………………………….40

23. Приложения..............................................................................…..… .46

23.1.Треугольник Паскаля..........................……………………………….46

23.2.Значения функции ……………………… ……………………47

23.3.Значения функции Ф(х)……………………… …………………. ..48

23.4.Критические точки распределения Стьюдента………… … ……..49

О сборнике /Вместо предисловия/

Уважаемые студенты специальности 2202! Вы приступаете к изучению очередного математического курса. Эта дисциплина изучается только студентами Вашей специальности и Вам очень необходимо владение понятиями теории вероятностей и статистики. Для успешного освоения настоящей дисциплины и подготовлен этот сборник.

Это не учебник. Только по нему невозможно освоить предмет. Предполагаем такой замкнутый «круг» изучения дисциплины: студент – учебные занятия – литература – самостоятельная работа – настоящий сборник – студент.

Что же содержит настоящий сборник, как он устроен и как им пользоваться?

Прежде всего сборник содержит весьма полный опорный конспект: определения, толкование понятий, теоремы, схемы и графики и, конечно же, все необходимые формулы. Но здесь нет выводов этих формул, доказательства теорем и т.д. Все это есть в учебной литературе и будет воспроизведено на наших уроках. Но основная часть пособия – это задачи для решения на уроках и для домашних заданий. В сборнике нет ни одной решенной задачи. А как же тогда научиться их решать? Быть внимательным и активно работать на уроках, самостоятельно изучать литературу по предмету. Учебной литературы по дисциплине издано немало (см. соответствующий раздел). Помимо учебников и пособий существует немало изданий научно – популярной литературы, хотелось бы, чтобы эти издания заинтересовали Вас.

Это первое издание в колледже по дисциплине. Потому в нем не исключены неточности, опечатки, повторы (составители обыкновенные люди и не могут привлечь многоопытных редакторов). Будем благодарны студентам за рекомендации по улучшению качества издания, может быть, за расширение круга задач.

Выражаем благодарность студентам Шкуркину Дмитрию и Назарову Николаю за помощь в создании и редактировании графических объектов.

Ваши преподаватели

Элементы комбинаторики

Пусть задано множество, содержащее конечное число элементов. (Студенты в группе, яблоки в корзине, набор костей домино и т.д.) Такие множества будем называть конечными и обозначать {a,b,c,d}. Если каждому элементу конечного множества поставлены в соответствие натуральные числа, то такое упорядоченное множество называется перестановкой и обозначается (a,b,c,d). Сколько перестановок можно составить из n-элементного множества? Из трехэлементного 6: (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a).

Число перестановок из n-элементного множества вычисляется по формуле: Р_n = n!, где n! - произведение n(n - 1)(n - 2)(n - 3)…3*2*1. Полезна рекуррентная формула P_n = nP_n-1. Прост и комбинаторный смысл числа перестановок: сколькими способами можно упорядочить конечное n-элементоное множество.

Размещением из n по k называется упорядоченное k-элементное подмножество n-элементного множества. По смыслу определения ясно, что k n. Число размещений из n по k обозначается . Очевидно, что = Р_n = n!, = n, =n*(n – 1), =n*(n –1)*(n–2 ) =n*(n – 1)*(n – 2)*(n – 3) и т.д. - это произведение k старших сомножителя натурального числа n, т. е. = n*(n – 1)*(n – 2)*…*(n – k + 1) (*). Помножая и деля это выражение на (n – k)! можно получить еще формулу:

= n(n –1)(n – 2)(n –3)…3*2*1, т.е. k старших сомножителя числа n.

Сочетанием из n по k называется неупорядоченное k-элементное подмножество n-элементного множества. По смыслу определения ясно, что k n. Число сочетаний из n по k обозначается . Очевидно, что неупорядоченных подмножеств n-элементного множества в k! меньше чем упорядоченных подмножеств, т.е. = (*)

Помножая и деля это выражение на (n – k)! можно получить еще формулу:

;

На практике, для вычисления используют формулу (*)

В приложении №1 приведены значения , так называемый треугольник Паскаля.

Некоторые важные свойства числа сочетаний, которые необходимо применять при решении различных задач:

1) = = 1; 2) = n; 3) = - эту формулу удобно применять при k > n/2

4) + + + + … + = 2ⁿ; 5) + = - рекуррентная формула.

Размещение с повторениями из n элементов по k элементов может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до k включительно, или не содержать его совсем, т.е. каждое размещение с повторениями из n элементов по k элементов может состоять не только из различных элементов, но из k каких угодно и как угодно повторяющих элементов.

Число размещений с повторениями вычисляется по формуле:

Сочетание с повторениями из n элементов по k (k ) элементов может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до k включительно, или не содержать его совсем, т.е. каждое сочетание с повторениями из n элементов по k элементов может состоять не только из k различных элементов, но из k каких угодно и как угодно повторяющих элементов. Следует отметить, что если, например два соединения по k элементов отличаются друг от друга только порядком расположения элементов, то они не считаются различными сочетаниями.

Число размещений с повторениями вычисляется по формуле:

; Замечание: k может быть и больше n.

Пусть имеется n + k + s предметов. Сколькими способами можно разделить эти предметы на три группы так, чтобы в одной группе было n предметов, в другой k предметов, в третьей s предметов? Это задача на перестановки с повторениями. Число перестановок с повторениями находится по формуле:

Комбинаторные уравнения и неравенства:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8) 9)

10) 11) 12) 13)

14) 15) 16) 17) 18)

19) 20) 21) 22) 23)