Учебник_Погорелов_1995 (Ответы ко всем упражнениям Погорелова по геометрии от седьмого до одиннадцатого класса (Погорелов)), страница 8

66 36'". Докажите, что в задаче 35 прямые АВ и СВ перпенди- кулярны. 37. Треугольники АВС и ВАР равны, причем точки С и В лежат по разные стороны от прямой АВ (рис. 67). Докажите, что: 1) треугольники СВВ и ВАС равны; 2) прямая СВ делит отрезок АВ пополам. 33.

Отрезки равной длины АВ и СЭ пересекаются в точке О так, что АО=ОВ. Докажите равенство треугольников АВС и ЮСВ. Рис. 68 39. Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, исходящим из одной вершины (рис. 63). 40. Докажите равенство треугольников по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и углам, которые образует с ней медиана. г 4. Сумма углов грвуголаиииа $ 4.

СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА 29. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ Т е о р е и а 4.1. Дее арлмые, параллельные третьей, параллельны. Дока з а тел ь от во. Пусть прямые о и Ь параллельны прямой с. Допустим, что прямые а и Ь не параллельны (рис. 6Я). Тогда они пересекаются в некоторой точке С. Значит, через точку С проходят две прямые, параллельные прямой с.

Но зто невозможно, так как через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Теорема доказана. Рие. 69 Рие. 70 3 а д а ч а (4). Прямые АВ и СВ параллельны. Докажите, что если отрезок ВС пересекает прямую АВ, то точка пересечения принадлежит отрезку АР (рис. 70). Р е ш е н и е. Пусть Х вЂ” точка пересечения отрезка ВС с прямой АР.

Проведем через нее прямую х, параллельную прямой АВ. Она будет параллельна и прямой СЭ. Прямая х разбивает плоскость на две полуплоскости. Точки В и С лежат в разных полуплоскостях, так как отрезок ВС пересекает прямую х (в точке Х). Точка А лежкт в той же полуплоскости, что и В, а точка  — в той же полу- плоскости, что и С.

Позтому отрезок Ал) пересекает прямую х. А точкой пересечения является точка Х отрезка ВС. 30. УГПЫ, ОБРАЗОВАННЫЕ ПРИ ПЕРЕСЕЧЕНИИ ДВУХ ПРЯМЫХ СЕКУЩЕЙ Пусть АВ и С — две прямые и АС вЂ” третья прямая, пересекающая прямые АВ и С11 (рис. 71). Прямая АС по отношению к прямым АВ и СЭ называется секущею. Рис.

71 Пары углов, которые образуются при пересечении прямых АВ и СВ секущей АС, имеют специальные названия. Если точки В н В лежат в одной полуплоскости относительно прямой АС, то углы ВАС и ВСА нааываются внутренними односторонними (рис. 71, а). Если точки В и Э лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС, то углы ВАС и 1)СА называются внутренними накрест лежащими (рис.

71, б). Секущая АС образует с прямыми АВ и СВ две пары внутренних односторонних и две пары внутренних накрест лежащих углов. Внутренние накрест лежащие углы одной пары, например ~ 1 и ~2, являются смежными внутренним накрест лежащим углам другой пары: ~3 и ~4 (рис. 72). Поэтому если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны.

Пара внутренних накрест лежащих углов, например ~ 1 и ~ 2, и пара внутренних односторонних углов, например ~ 2 и у 4, Сумма углов грвугольниио ~ 3, имеют один угол общий— л. 2, а два других угла смежные: л. 1 н Л 3. Поэтому если внутренние накрест лежащие углы равны„то сумма внутренних односторонних углов равна 180'.

И обратно: если сумма внутренних односторонних углов равна 180', то внутренние накрест лежащие углы равны. Рис. 72 3$. ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ Теорема 4.2 (признак параллельности прямых). Вели внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренния односторонним углов равна 180', то прямые параллельны.

Д о к аз а тельство. Пусть прямые а и Ь образуют с секущей АВ равные внутренние накрест лежащие углы (рис. 73. а). Допустим, прямые а и Ь не параллельны, а значит, пересекаются з некоторой точке С (рис. 73, б). С г~ Рис. 73 Секущая АВ разбивает плоскость на две полуплоскостн. В одной из них лежит точка С. Построим треугольник ВАСЬ равный треугольнику АВС, с вершиной С~ в другой полуплоскости. По условию внутренние накрест лежащие углы при параллельных а, Ь и секущей АВ равны. Так как соответствующие углы треугольников АВС и ВАС с вершинами А и В равны, то они совпадают с внутренними накрест лежащими углами. Значит, прямая АС1 совпадает с прямой а, а прямая ВС~ $2 т наасс совпадает с прямой Ь.

Получается, что через точки С и С, проходят две различные прямые а и Ь. А зто невозможно. Значит, прямые а и Ь параллельны. Если у прямых а и Ь и секущей АВ сумма внутренних односторонних углов равна 180', то, как мы знаем, внутренние накрест лежащие углы равны. Значит, по доказанному выше, прямые а и Ь параллельны. Теорема доказана. Из теоремы 4.2 следует. что две примасе, перпендикулярные третьей, иареллельны. Если у пары внутренних накрест лежащих углов один угол заменить вертикальным ему, то получится пара углов, которые называются соответственными углами данных прямых с секущей.

Углы 1 и 2 на рисунке 74 внутренние накрест лежащие, а углы 1 и 3 соответственные. Из равенства внутренних накрест лежащих углов следует равенство соответственных углов, и наоборот. Отсюда получается признак параллельности прямых по соответственным углам. Именно: прямые параллельны, если соответственные углы равны. Рыс. 75 3 а д а ч а (8). Даны прямая АВ н точка С, не лежащая на этой прямой Докажите, что через точку С можно провести прямую, параллельную прямой АВ. Решение. Прямая АС разбивает плоскость на две полуплоскости (рис.

75). Точка В лежит в одной из них. Отложим от полупрямой СА в другую полуплоскость угол АСР„равный углу САВ. Тогда прямые АВ и СР будут г 4. Сумма углов гфгуголгаива параллельны. В самом деле, для этих прямых и секу- щей АС углы ВАС и ПСА внутренние накрест лежа- щие. А так как онн равны„то прямые АВ и СВ парал- лельны. Сопоставляя утверждение задачи 8 и аксиомы 1Х (основного свойства параллелъных прямых), приходим к важному выводу: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую, и только одну. 32. СВОЙСТВО УГЛОВ, ОБРАЗОВАННЫХ ПРИ ПЕРЕСЕЧЕНИИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ СЕНУЩЕЙ Ог а Т е о р е м а 4.3 (обратная теореме 4.2).

Вели две параллельные прямые псрессченъг третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180'. Д о каза телъст во. Пусть а и Ь вЂ” параллелъные прямые н с— Г прямая, пересекающая их в точках А А и В. Проведем череа точку А прямую а| так, чтобы внутренние накрест лежащие углы, образован- Ь ные секущей с с прямымн а, и Ь, В были равны (рис.

78). По признаку параллельности прямых прямые а| и Ь параллель- Рие. 76 ны. А так как через точку А проходит только одна прямая, параллельная прямой Ь, то прямая а совпадает с прямой аь Значит, внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей с параллельными прямыми а и Ь, равны. Теорема доказана. Из свойства углов, образованных при пересечении параллелъных прямых секущей, следует, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. 54 7 влаге 3 а д а ч а (13).

Прямые АС и ВР параллельны, причем точки А и Р лежат по разные стороны от секущей ВС (рис. 77). Докажите, что: 1) углы РВС и АСВ внутренние накрест лежащие относительно секущей ВС, "2) луч ВС проходит между сторонами угла АВР; 3) углы САВ и РВА внутренние односторонние относительно секущей АВ.

Реш ение. 1) Углы РВС и АСВ внутренние накрест лежащие потому, что точки А и Р лежат по разные стороны от секущей ВС. В 0 2) Луч ВС проходит между сторонами угла АВР потому, что он пересекает отрезок АР с концами на сторонах угла (задача 4). 3) Углы САВ и РВА внутренние односторонние потому, что точки С и Р лежат по одну сторону от секущей АВ, а именно в полу- А плоскости, где лежит точка Х пересечения отрезков ВС и АР. Рве. 77 33. СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА Теорема 4.4.

Суггма углов треугольника равна 130'. Доказательство. Пусть АВС вЂ” данный треугольник. Проведем через вершину В прямую, параллельную прямой АС. Отметим на ней точку Р В так, чтобы точки А и Р лежали по разные стороны от прямой ВС (рис. 73). Углы РВС и АСВ равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей ВС с параллельными прямыми АС и ВР. Поэтому сумма углов треугольни- А ь ка при вершинах В и С равна углу АВР.