Учебник_Погорелов_1995 (Ответы ко всем упражнениям Погорелова по геометрии от седьмого до одиннадцатого класса (Погорелов))

УДК 373.167.1 ВВК 22.151я72 П43 Одобрено бюро отделения математики АН СССР, президиумом АПН СССР Учебник занял призовое место на Всесоюзном конкурсе учебников по математике для средней общеобразовательной школы Погорелов А. В. П43 Геометрия: Учеб. для 7 — 11 кл. общеобразоват. учреждений.— 5-е изд.— М.: Просвещение, 1995.— 383 с.: ил.— 18ВК 5-09-006546-2. П Уточв. вл. 1995 г., )Е 112 (1) ББК 22.151я72 103(03) — 95 1ББХ 5-09-006546-2 'Сг Погорелов А. Б., 1990 45 Ивдетельство «Просвещевве«, 1995 7 класс ПЛАНИМЕТРИЯ $1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТЕЙШИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ «РИГУРЫ «"еол»егрия — зто наука о свойствах геометрических фигур.

Слово «геометрия» греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие». Такое название связано с применением геометрии для измерений на местности. Примеры геометрических фигур: треугольник, квадрат, окружность (рис. 1). геометрические фигуры бывают весьма разнообразны. Часть любой геометрической фигуры является геометрической фигурой. Объединение нескольких геометрических фигур есть снова геометрическая фигура. На рисунке 2 фигура слева состоит из треугольника и трех квадратов„а фигура справа состоит из окружности н частей окружности. Всякую геометрическую фигуру мы представляем себе составленной из точек. Геометрия широко применяется на практике.

Ее надо знать Рис. 1 Рис. 2 и рабочему, и инженеру, и архитектору, и художнику. Одним словом, геометрию надо знать всем. Геометрия, которая изучается в школе, называется евклидовой по имени Евклида„создавшего руководство по математике под названием «Начала». В течение длительного времени геометрию изучали по этой книге. Мы начнем изучение геометрии с планнметрии. Планиметрия — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости.

2. ТОЧКА И ПРЯМАЯ Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Точки принято обозначать прописными латинскими буквами: А, В, С, )'.), .... Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: а, Ь,с,д,.... На рисунке 3 вы видите точку А и прямую а.

Прямая бесконечна. На рисунке мы изображаем только часть прямой, но представляем ее себе неограниченно продолженной в обе стороны. Евклид — древнегре- ческий ученый (111 в. до и. э.) у д Основные свойства ирсстейших геометрических фигур Рис. 4 Рис. 3 Посмотрите на рисунок 4. Вы видите прямые а, Ь и точки А, В, С. Точки А и С лежат на прямой а. Можно сказать также, что точкк А и С принадлежат прямой а или что прямая а проходит через точки А н С. Точка В лежит на прямой Ь. Она не лежит на прямой а. Точка С лежит и на прямой а, и на прямой Ь. Прямые а и Ь пересекаютсл в точке С.

Точка С является точкой пересечения прямых а и Ь. На рисунке б вы видите, как с помощью линейки строится прямая, проходящая через две заданные точки А и В. Рис. 5 О с ионны ми свойствами принадлежности точек и прямых на плоскости мы будем называть следующие свойства: 1. Какова бы ни была прямая„существуют точки, принадлежащие втой ггрямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну. Прямую можно обозначать двумя точками, лежащими на ней. Например, прямую а на рисунке 4 можно обозначить АС, а прямую Ь можно обозначить ВС.

Зада ч а (3)'. Могут ли две прямые иметь две точки пересечения? Объясните ответ. Решение. Если бы две прямые имели две точки пересечения, то через эти точки проходили бы две прямые. А это невозможно, так как через две точки можно провести только одну прямую. Значит, две прямые не могут иметь две точки пересечения. 3.

ОТРЕЗОК Посмотрите на рисунок 6. Вы видите прямую а и три точки А, В, С на этой прямой. Точка В лежит между точками А и С, она разделяет точки А и С. Можно также сказать, что точки А и С лежат ло разные стороны от точки В. Точки В и С лежат по одну сторону от точки А, они не разделяются точкой А. Точки А и В лежат по одну сторону от точки С. Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками.

Эти точки называются концами отрезка. Отрезок обозначается указанием его концов. Когда говорят или пишут: »отрезок АВ», то подразумевают отрезок с концами в точках А и В. На рисунке 7 вы видите отрезок АВ. Он является частью прямой АВ, Эта часть прямой выделена жирной линией. Точка Х прямой лежит между точками А и В, поэтому она принадлежит отрезку АВ. Точка У не лежит мелсду точками А и В, поэтому она не принадлежит отрезку АВ. Рис.

т ' Число в скобках указывает номер задачи в списке задач, приведенных в конце параграфа. г 1. Осиовиые свойство иростеаших геолетриигсиих фигур Оси овны м свой с твом расположения точек на примак мы будем называть следующее свойство: П. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими. 4.

ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ Для измерения отрезков применяются различные измерительные инструменты. Простейшим таким инструментом является линейка с делениями на ней. На рисунке 3 отрезок АВ равен 10 см, отрезок АС равен 6 см„а отрезок ВС равен 4 см. Длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и ВС.

3. -4 Ь --'6 7 --8 9 1О рис. 8 Основным и свойствами измерения отрезков мы будем называть следующие свойства: 1П. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой. Это значит, что если на отрезке АВ взять любую точку С, то длина 'отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и ВС. Длину отрезка АВ называют также расстоянием между точками А и В.

Задача (9). Три точки А, В„С лежат на одной прямой. Известно, что АВ=4,3 см, АС=7,5 см, ВС=3,2 см. Может ли точка А лежать между точками В и С? Может ли точка С лежать между точками А и В? Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другими? Ре ш е ни е. Если точкаА лежитмеждуточкамиВиС, то по свойству измерения отрезков должно быть АВ+ +АС= — ВС. Но 4,3+ 7,3 чь 3,2.

Значит, точка А не лежит между точками В и С. Если точка С лежит между точками А и В, то должно 8 т сзасс быть АС+ВС=АВ. Но 7,5+3,2Ж4,3. Значит, точка С не лежит между точками А и В. Из трех точек на прямой А, В, С одна точка лежит между двумя. другими. Значит, этой точкой является В. 5. ПОЛУПЛОСКОСТИ Посмотрите на рисунок 9. Прямая а разбивает плоскость на две полуплоскости. Это разбиение обладает следующим свойством. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.

Рис. 9 На рисунке 9 точки А и В лежат в одной из полуплоскостей, на которые прямая а разбивает плоскость. Поэтому отрезок АВ не пересекает прямую а. Точки С и 1) лежат в разных полуплоскостях. Поэтому отрезок СВ пересекает прямую а. Основным свойством расположения точек относительно прямой на плоскости мы будем называть следующее свойство: 11?. Прямая разбивает плоскость на две лолупяоскости. 3 а д а ч а (17). Даны прямая и три точки А., В, С, не лежащие на этой прямой.

Известно, что отрезок АВ пересекает прямую, а отрезок АС не пересекает ее. Пересекает ли прямую отрезок ВС"? Объясните ответ. Р е ш е н и е. Прямая разбивает плоскость на две полу- плоскости (рис. 10). Точка А принадлежит одной из них. Отрезок АС не пересекает прямую. Значит, точка С лежит в той же полуплоскости, что и точка А. Отрезок АВ пересекает прямую. Значит, точка В ле- жит в другой полуплоскости.

у 1. Основные своаства иростезших сеометричесних фисур Таким образом, точки В и С лежат в разных пол уплос костях. А это значит, что отрезок ВС пересекает нашу прямую. 6. ПОЛУПРЯМАЯ В Рис. 10 Рис. 12 3 а д а ч а (20). Даны прямая а и точки А,Х, У, В на этой прямой (рис.

11). Известно, что точки Х и У лежат по одну сторону от б точки А, точки Х и В тоже лежат по одну сторону от точки А. Как расположены точки У и Я относительно точки А. "по одну сторону или по разные стороны7 Объясните ответ. Рис. 11 Р е ш е н и е. Проведем через точку А какую-нибудь прямую Ь, отличную от а. Оиа разбивает плоскость на две полуплоскостн. Одной из них принадлежит точка Х. В той же полуплоскости лежат точки У и В, потому что отрезки ХУ и ХВ не пересекают прямую Ь. Так как точки У и Я лежат в одной полуплоскости, то отрезок УЯ не пересекает прямую Ь, а значит, не содержит точку А. То есть точки У и В лежат по одну сторону от точки А.

Полупрямой или лучом называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной ее точки. Эта точка называется начальной точкой полупрямой. Различные полупрямые одной и той же прямой, имеющие общую начальную точку, называются дополнителькььви. Полупрямые, так же как и прямые, обозначаются строчными латинскими буквами. Можно обозначать полупрямую двумя точками: начальной и еще какой-нибудь точкой, принадлежащей полупрямой. При этом начальная точка ставится на первом месте.

Например, полупрямую, которая выделена жирной линией на рисунке 12, можно обозначить АВ. а 4 В 10 г класс За дача (22). На отрезке АВ взята точка С. Среди полупрямых АВ, АС, СА и СВ назовите пары совпадающих полупрямых, дополнительных полупрямых. Объясните ответ. Р е ш е н не (рис. 13). Данные полупрямые имеют начальной точкой либо точку А, либо точку С. Рассмотрим сначала полупрямые с начальной точкой А (полупрямые АВ и АС). 'Хочка С лежит между точками А и В, так как по условию задачи она принадлежит отрезку АВ.

Значит, точка А не лежит между точками В и С, т. е. точки В и С лежат по одну сторону от точки А. Поэтому полупрямые АВ и АС совпадающие. р .1з Рассмотрим теперь полупрямые с начальной точкой С (полупрямые СА и СВ). Точка С разделяет точки А и В. Поэтому точки А и В не могут принадлежать одной полупрямой, а значит, полупрямые СА и СВ дополнительньге. 7. УГОЛ Углом называется фигура, которая состоит из точки— еерпгины угла — и двух различных полупрямых, исходящих из атой точки,— сторон угла.