Учебник_Погорелов_1995 (Ответы ко всем упражнениям Погорелова по геометрии от седьмого до одиннадцатого класса (Погорелов)), страница 2

На рисунке 14 вы видите угол с вершиной О и сторонами а, Ь. Угол обозначается либо указанием его вершины, либо указанием его сторон, либо указанием трех точек: вершины и двух точек на сторонах угла. Слово «угол» иногда заменяют знаком г . Угол на рисунке 14 можно обозначить тремя способами: г.О, г (аЬ), Л.АОВ. В третьем способе обозначения угла буква, обозначающая вершину„ставится посередине. у 1. Осиовиые сеоаства игсктеаигик геометрическим фигур Рис.

15 Рис. 1А Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой, то угол называется разеернутыгв. На рисунке 15 вы видите развернутый угол с вершиной О и сторонами ОА и ОВ. Мы будем говорить, что луч гцюходит между сторонами данного угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой- нибудь отрезок с концами на сторонах угла. На рисунке 16 луч с проходит между сторонами' угла (аЬ), так как он исходит из вершины угла (аЬ) и пересекает отрезок АВ с концами на его сторонах.

В случае развернутого угла мы считаем, что любой луч, исходящий из его вершины н отличный от его сторон, проходит между сторонами угла. Углы измеряются в градусах при помощи транспортира. На рисунке 17 угол (аЬ) равен 120'. Полупрямая с проходит между сторонами угла (аЬ). Угол (ас) равен 90', а угол (Ьс) равен 30*. Угол (аЬ) равен сумме углов (ас) и (Ьс).

Рис. 17 Основными свойствами измерения углов мы будем называть следующие свойства: Ч. Каждый угол имеет определенную градусную меру, больигую нуля. Развернутый угол равен 180'. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом„яроходяи)им между его сторонами. Это значит, что если луч с проходит между сторонами угла (аЬ), то угол (аЬ) равен сумме углов (ас) н (Ьс). 3 а д а ч а (35).

Может ли луч с проходить между сторонами угла (аЬ), если ~(ас)=30'. Л (сЬ)=80', с' (аЬ)=80"? Р е ш е н и е. Если луч с проходит между сторонами угла (аЬ), то по свойству измерения углов должно быть: с' (ас)+ с (Ьс) = с. (аЬ). Но 30 +80'чь50'. Значит, луч с не может проходить между сторонами уг- ла (аЬ). 8. ОТКЛАДЫВАНИЕ ОТРЕЗКОВ И УГЛОВ На рисунке 18 показано, как с помощью линейки на полу- прямой а с начальной точкой А можно отложить отрезок данной длины (3 см). Я .=Г' 2 3 — ') '5 6 7 )О 11 Рис. 18 Посмотрите на рисунок 19.

Полупрямая а, продолженная за начальную точку А, разбивает плоскость на две полуплоскости. На рисунке показано„как с помощью транспортира отложить от полупрямой а в верхнюю полуплоскость угол с данной градусной мерой (60'). 1З г 1. Опшввыв своассва просввашвг геометрических фигур Рис. 19 Ос н о в ны м и свойствами откладывания отрезков и углов мы будем называть следующие свойства: УЕ На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один. 911.

От любой полупрлмой о заданную полуплоскоеть можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньивей 180', и только один. 3 а д а ч а (30). На луче АВ отложен отрезок АС, меньший отрезка АВ. Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другими? Объясните ответ. Ре шеки е (рис. 20).'гаккак точки В и С лежат наодной полупрямой с начальной точкой А, то они не разделяются точкой А, т.

е. точка А не лежит меясду точками В и С. Может ли точка В лежать между точками А и С? Если бы она лежала между точками А и С, то было бы АВ+ВС=АС. Но это невозможно, так как по уеловию отрезок АС меньше отрезка АВ. Значит, точка В не лежит между точками А и С. Из трех точек А, В, С одна лежит между двумя другими. Поэтому точка С лежит между точками А и В. Рис. 20 14 7 глас« Р. ТРЕУГОЛЬНИК Треугольником называется фигура„которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих зги точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами. На рисунке 21 вы видите треугольник с вершинами А, В, С и сторонами АВ, ВС, АС.

Треугольник обозначается указанием его вершин. Вместо слова «треугольник» иногда употребляют знак с~. Например, треугольник на рисунке 21 обозначается так: ~"~ АВС. Углом треугольника АВС при вершине А называется угол, образованный полупрямыми АВ и АС. Так же определяются углы треугольника при вершинах В и С. Два отрезка называются равными.

если они имеют одинаковую длину. Два угла называются равными, если они имеют одинаковую угловую меру в градусах. Треугольники называются равньсми, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны. При атом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон. В Е д в, В Рис. 22 Рис. 21 На рисунке 22 вы видите два равных треугольника АВС и А~В~Со У них АВ=А|Во АС=А~Сь ВС=В~Со ~ А = ~ Ао ~В= ./ Во .г С= ./ Со На чертеже равные отрезки обычно отмечают одной, двумя или тремя черточками, а равные углы — одной, двумя илн тремя дужками. Для обозначения равенства треугольников используется Ю 1. Основные свойство простейших геометринесних фигур обычный знак равенства: =.

Запись ~"~АВС= ЛА,В~С~ читается так: «Треугольник АВС равен треугольнику А,В~С|«. При етом имеет значение порядок, в котором записываются вершины треугольника. Равенство 1~,АВС= г~А~В~С1 означает, что .Г А= х' Аъ и' В= ~ Вь ... А равенство ЛАВС= гхВ,А,С1 означает уже совсем другое: ~ А =- л' Во .~ В= х'. Аь .... Задача (38). Треугольники АВС и РЦВ равны. Известно, что сторока АВ равна 10 м, а угол С равен 90'. Чему равны сторона РЯ и угол ВТ Объясните ответ. Р е ш е н и е. Так как треугольники АВС и РОВ равны, то унихАВ=Р«г, г'.С= .х В.Значит, РЯ=10м, х. В=90". 10.

СУЩЕСТВОВАНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА, РАВНОГО ДАННОМУ Пусть мы имеем треугольник АВС и луч а (рис. 23, а). Переместим треугольник АВС так, чтобы его вершина А совместилась с началом луча а, вершина В попала на луч а, а вершина С оказалась в заданной полуплоскости относительно луча а и его продолжения. Вершины нашего треугольника в етом новом положении обозначим Аъ Ви С~ (рис. 23, б). Треугольник А~В,С~ равен треугольнику АБС. Существование треугольника А~В~Си равного треугольнику АВС и расположенного указанным образом относительно заданного луча а, мы относим к числу о с нови ы к с во й от в простейших фигур. Это свойство мы будем формулировать так: УП1. Каков бьг ни был треугольник, еуи)ествует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрпмой. а ! Рис.

23 16 У класс 11. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ Две прямые называются параллельными, если они не пересекаютса. На рисунке 24 показано, как с помощью угольника и линейки провести через данную точку В прямую Ь, параллельную данной прямой а. Для обозначения параллельности прямых используется знак (~. Запись а~зЬ читается: «Прямая а параллельна прямой Ь».

Основное свойство параллельных прямых состоит в следующем: 1Х. Через точку, ие лезкащую иа данной прямой, можно провести иа плоскости не более одной прямой, параллельной данной. 3 а д а ч а (41). Может ли прямая пересекающая одну из двух параллельных прямых, не пересекать другую Объясните ответ.

Р е ш е н и е. Пусть а и Ь вЂ” параллельные прямые и пусть прямая с пересекает прямую а в точке А (рис. 25). Если бы прямая с не пересекала прямую Ь, то через точку А проходили бы две прямые, не пересекающие прямую Ь: прямая а и прямая с. Но по свойству параллельных прямых зто невозможно.

Значит, прямая с, пересекая прямую а, должна пересекать и параллельную ей прямую Ь. Рис. 24 Рис. Зз г Ь Основные свойства иростейигих геометрических фигур й2. ТЕОРЕМЫ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВА Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путем рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой. Приведем пример. Т е о р е м а 1.1. Если прямая, не проходящая нн через одну нз вершин треузольника, пересекает одну нз езо сторон, то она пересекает толысо одну нз двух друзах сторон. Доказательство.