Учебник_Погорелов_1995 (Ответы ко всем упражнениям Погорелова по геометрии от седьмого до одиннадцатого класса (Погорелов)), страница 12

Он б Б. Геометрические построение равнобедренный, так как АЭ = В1е. В нем ВΠ— медиана. По свойству равнобедренного треугольника медиана, проведенная к основанию, является высотой. Значит, точка О лежит на прямой а. Теорема доказана. 49. МЕТОД ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ Сущность метода геометрических мест, используемого при решении задач на построение, состоит в следующем. Пусть, решая задачу на построение„нам надо найти точку Х, удовлетворяющую двум условиям.

Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, есть некоторая фигура г ь а геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, есть некоторая фигура Ре. Искомая точка Х принадлежит Р, и 7н т. е. является их точкой пересечения. Если зти геометрические места простые (скажем, состоят из прямых и окружностей), то мы можем их построить и найти интересующую нас точку Х.

Приведем пример. Задача (43). Даны три точки: А, В, С. Постройте точку Х, которая одинаково удалена от точек А и В и находится на данном расстоянии от точки С. Ре ш е н и е. Искомая точка Х удовлетворяет двум условиям: 1) она одинаково удалена от точек А и В; 2) она находится на данном расстоянии от точки С. Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, есть прямая, перпендикулярная отрезку АВ и проходящая через его середину (рис. 106). Геометрическое место точек, Рнс.

100 удовлетворяющих второму условию, есть окружность данного радиуса с центром в точке С. Искомая точка Х лежит на пересечении этих геометрических мест. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 9 1. Что такое окружность, центр окружности, радиус? 2. Что такое хорда окружности? Какая хорда называется диаметром? 3, Какая окружность называется описанной около треуголь- ника? 4. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

б. Какая прямая называется касательной к окружности? 6. Что значит: окружности касаются в данной точке? 7. Какое касание окружностей называется внешним, какое— внутренним? 8. Какая окружность называется вписанной в треуголь- ник? 9. Докажите, что центр окружности, вписанной в треуголь- ник, лежит на пересечении его биссектрис. 10.

Объясните, как построить треугольник по трем сторо- нам. 11. Обьясните, как отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу. 12. Объясните, как разделить данный угол пополам. 13. Объясните, как разделить отрезок пополам. 14. Объясните, как через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой. 15. Чтопредставляет собой геометрическоеместоточек, равно- удаленных от двух данных точек? ЗАДАЧИ 1. Докажите, что любой луч, исходящий из центра П окружности, пересекает окружность в одной точке. 2. Докажите, что прямая, проходящая через центр окруж- ности, пересекает окружность в двух точках.

3. Докажите, что диаметр окружности, проходящий через се- редину хорды, перпендикулярен ей. 4. Сформулируйте и докажите теорему, обратную утвержде- нию задачи 3. у 5. Геометгзческие лост~юения б. 1) Из точки данной окружности В проведены диаметр и хорда, равная радиусу. Найдите угол между ними (рис. 107). 2) Из точки данной окружности проведены две хорды, равные радиусу. Найдите угол между ними. И 6.

Докажите, что серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются. П 7. Может ли окружность касаться прямой в двух точках? Объясните ответ. Рис. 107 6, Докажите, что касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания. 9. Какие углы образует хорда АВ, равная радиусу окруж- ности, с касательной в точке А? 10, Найдите углы, под которыми пересекаются прямые, каса- ющиеся окружности в концах хорды, равной радиусу.

11. Окружности с радиусами 30 см и 40 см касаются. Найдите расстояние между центрами окружностей в случаях внешнего и внутреннего касаний. 12. Могут ли касаться две окружности, если их радиусы равны 26 см и 30 см, а расстояние между центрами 60 см? 13*. 1) Точки А, В, С лежат на прямой, а точка Π— вне прямой. Могут ли два треугольника АОВ и ВОС быть равнобедренными с основаниями АВ и ВС? Обоснуйте ответ. 2) Могут лн окружность и прямая пересекаться более чем в двух точках? 14*. 1) Окружности с центрами О и О~ пересекаются в точках А и В. Докажите, что прямая АВ перпендикулярна прямой ООь 2) Докажите, что две окружности не могут пересекаться более чем в двух точках.

15~. 1) Через точку А окружности с центром О проведена прямая, не касающаяся окружности. О — перпендикуляр, опущенный на прямую. На продолжении отрезка АВ отложен отрезок ВС = АВ. Докажите, что точка С лежит на окружности. 2) Докажите, что если прямая имеет с окружностью только одну общую точку, то она является касательной к окружности в атой точке. 3) Докажите, что если две окружности имеют только одну общую точку, то они касаются в атой точке.

16*. 1) Из одной точки проведены две касательные к окруж- ТЗ 7 илигс Рис. 108 Рис. 109 ности (рис. 108). Докажите, что отрезки касательных МР и МЯ равны. 2) Докажите, что через одну точку не может проходить больше двух касательных к окружности. П 17. Одна окружность описана около равностороннего треугольника. а другая вписана в него. Докажите, что центры этих окружностей совпадают. 18.

Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон в точках Ан Во С~ (рис. 109). Докажите. что АС АВ+ АС вЂ” ВС !в 2 П 19. Постройте треугольник по трем сторонам а, Ь и с: 1) а=2 см, Ь=З см, с=4 см; 2) а=З см, Ь=4 см, с=5 см; 3) а=4 см, Ь=б см, с=б см. 20. Дан треугольник АВС. Пострбйте другой, равный ему тре- угольник АВР. 21. Постройте окружность данного радиуса, проходящую че- рез две данные точки. 22. Постройте треугольник по двум сторонам и радиусу опи- санной окружности. П 23. Постройте треугольник АВС по следующим данным: 1) по двум сторонам и углу между ними: а) АВ=б см, АС=-6 см, ~А=40", б) АВ=З см, ВС=5 см, .~В=70', 2) по стороне и прилежащим к ией углам: а) АВ=6 см, .Г А=30, ~В=50', б) АЗ=4 см, ~А=45', .~ В=60'.

24. Постройте треугольник по двум сторонам н углу, противолежащему большей из них." 1) а=б см, Ь=4 см, а=70': 2) а=4 см, Ь=б см, 6=100'. 25. Постройте равнобедренный треугольник по боковой сторо- не и углу при основании. 1 Б. Ггаметтичеение постРоеиил 26. Постройте окружность, вписанную в данный тре- П угольник. 27. Разделите угол на четыре равные части. 28. Постройте углы 60' и 30'.

П 29. Дан треугольник. Постройте его медианы. ЗО. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, про- веденной к одной из них. 31. Постройте треугольникпо стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и радиусу описанной окружности. 32. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне (рис. 110). Рис. 11 ЗЗ.

Дан треугольник. Постройте его высоты. П 34. Постройте окружность, описанную около данного тре- угольника. Зб. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету. 36. Постройте равнобедренный треугольник по боковой сторо- не и высоте, опущенной на основание. 37. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опу- щенной на третью сторону. 38. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опу- щенной па одну из них.

39. Постройте треугольник по стороне и проведенным к ней ме- диане и высоте. 40. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности. П 41. Докажите, что геометрическое место точек, удален- ных от данной прямой на расстояние Ь, состоит из ЕО 7 класс двух прямых, параллельных данной и отстоящих от нее на Ь. 42. На данной прямой найдите точку, которая находится на данном расстоянии от другой данной прямой.

П 4 43. Даны три точки: А, В, С. Постройте точку Х, ко- торая одинаково удалена от точек А и В и нахо- дится на данном расстоянии от точки С. 44. На данной прямой найдите точку, равноудаленную от двух данных точек. 4б. Даны четыре точки; А, В, С, Р. Найдите точку Х, которая одинаково удалена от точек А и В и одинаково удалена от точек С и Р. 46*. Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон (рис.