Учебник_Погорелов_1995 (Ответы ко всем упражнениям Погорелова по геометрии от седьмого до одиннадцатого класса (Погорелов)), страница 11

Пусть а — касательная к окружности в точке А (рис. 96). Допустим, касательная и окружность имеют, кроме точки А, общую точку В, отличную от А. Треугольник АОВ равнобедренный с основанием АВ. У него боковые стороны ОА и О — радиусы окружности. Так как у равнобедренного треугольника углы при основании равны, а угол при вершине А прямой, то у этого треугольника два прямых угла.

А это невозможно. Мы пришли к противоречию. Утверждение доказано. Е и. Геометрическое иостроения Рис. 97 Говорят, что две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в этой точке общую касательную (рис. 97). Касание окружностей называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от их общей касательной (рис. 97, а). Касание окружностей называется внеиеним, если центры окружностей лежат по разные стороны от нх общей касательной (рис. 97, б).

41. ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В ТРЕУГОЛЬНИК Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон. Теорема 5.2. Центр окружности, вписанной в треузольник, является точкой нересечения езо биссектрис. Дока вате л ь ство. Пусть АВС вЂ” данный треугольник, Π— центр вписанной в него окружности, Э, Е и г — точки касания окружности со сторонами (рис. 98).

Прямоугольные треугольники АОЭ и АОЕ равны по гипотенузе и катету. У них гипотенуза АО общая, а катеты ОЭ и ОЕ равны как радиусы. Из равенства треугольников следует равенство углов ОАЭ и ОАЕ. Е А это значит, что точка О лежит на биссектрисе треугольника, про- 0 веденной из вершины А. Точно так же доказывается, что точка О лежит на двух других биссектрисах А 0 В треугольника. Теорема доказана. Рис. 98 42. ЧТО ТАКОЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ В задачах на построение идет речь о построении геометрической фигуры с помощью данных чертежных инструментов. Такими инструментами чаще всего являются линейка и циркуль.

Решение задачи состоит не столько в построении фигуры, сколько в решении вопроса о том, как это сделать, и соответствующем доказательстве. Задача считается решенной, если указан способ построения фигуры и доказано, что в результате выполнения указанных построений действительно получается фигура с требуемыми свойствами.

С помощью линейки как инструмента геометрических построений можно провести произвольную прямую; произвольную прямую, проходящую через данную точку; прямую, проходящую через две данные точки. Никаких других операций выполнять линейкой нельзя. В частности, нельзя откладывать линейкой отрезки, даже если на ней имеются деления. Циркуль как инструмент геометрических построений позволяет описать из данного центра окружность данного радиуса. В частности, циркулем можно отложить данный отрезок на данной прямой от данной точки. Рассмотрим простейшие задачи на построение.

43. ПОСТРОЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА С ДАННЫМИ СТОРОНАМИ 3 а д а ч а 5.1. Построить трхрхолънин с данными сторонами а, Ь, с (рис. 99, а). Р е ш е н и е. С помощью линейки проводим произвольну1о прямую и отмечаем иа ней произвольную точку В (рис. 99. б). г 5. Геоенеличееиие иоеелиеиия Раствором циркуля, равным а, описываем окружность с центром В н радиусом а. Пусть С вЂ” точка ее пересечения с прямой. Теперь раствором циркуля, равным с, описываем окружность из центра В, а раствором циркуля, равным Ь, описываем окружность из центра С. Пусть А — точка пересечения этих окружностей. Проведем отрезки АВ и .АС.

Треугольник АВС имеет стороны, равные а, Ь, с. 44. ПОСТРОЕНИЙ УГЛА, РАВНОГО ДАННОМУ За да ч а 5.2. Отложить от данной полупрлмой в данную полуплоскость угол, равный данно|ау углу. Р е ш е н и е. Проведем произвольную окружность с центром в вершине А данного угла (рис, 100, а). Пусть В и С вЂ” точки пересечения окружности со сторонами угла. Радиусом АВ проведем окружность с центром в точке Π— начальной точке данной полупрямой (рнс. 100, 6).

Точку пересечения этой окружности с данной полупрямой обозначим Вь Опишем окружность с центром В~ и радиусом ВС. Точка С| пересечения построенных окружностей в указанной полуплоскссти лежит на стороне искомого угла. г е. шо Для доказательства достаточно заметить, что треугольники АВС и ОВ~С, равны как треугольники с соответственно равными сторонами. Углы А и О являются соответствующими углами этих треугольников. 72 7 класс 4%. ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ УГЛА 3 а д а ч а 5.3. Построить биссектрису данного уела. Р е ш е н и е.

Из вершины А данного угла как из центра описываем окружность произвольного радиуса (рис. 101). Пусть В и С вЂ” точки ее пересечения со сторонами угла. Из точек В В и С тем же радиусом описываем окружности. Пусть Э вЂ” точка их пересечения, отличная от А. Проводим полупрямую АР. А Луч А1л является биссектрисой, так как делит угол ВАС пополам. Это следует из равенства тре- С угольников АВЮ и АСХ>, у которых углы ХМВ и ВАС являются соотРис. 101 ветствующими.

4Ь. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА ПОПОЛАМ 3 а д а ч а 5.4. Разделить отрезок пепелом. Решение. Пусть А — данный отрезок (рис. 102). Из точек А и В радиусом АВ описываем окружности. Пусть С и С~ — точки пересечения этих окружностей. Они лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АВ. Отрезок СС, пересекает с прямую АВ в некоторой точке О. 3та точка есть середина отрезка АВ. Действительно. треугольники САС и СВС~ равны по третьему признаку равенства треуголь- А л ников.

Отсюда следует равенство О углов АСО и ВСО. Треугольники АСО и ВСО равны по первому признаку равенства треугольников. Стороны АО и ВО зтнх треугольников являются соответствующимн, а поэтому они равны. Таким образом, Π— середина отрезка АВ. Рис. 102 4 Б. Геоиетгические лоссвоелие 47. ПОСТРОЕНИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЯ ПРЯМОЯ 3 а д а ч а 5.5.

Через данную точку О лрооестн лрямую, лерлендинулярную данной лрямой а. Р е ш е н и е. Возможны два случая: 1) точка О лежит на прямой а; 2) точка О не лежит на прямой а. Рассмотрим первый случай (рис. 103). Из точки О сфоводим произвольным радиусом окружность. Она пересекает прямую а в двух точках: А и В. Из точек А и В проводим окружности радиусом АВ.

Пусть С вЂ” точка их пересечения. Искомая прямая проходит через точки О. и С. Перпендикулярность прямых ОС и АВ следует из равенства углов при вершине О треугольников АСО и ВСО. Эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников. Рис. 103 Гис. 104 Рассмотрим второй случай (рис.

104). Из точки О проводим окружность, пересекающую прямую а. Пусть А и  — точки ее пересечения с прямой а. Из точек А и В тем же радиусом проводим окружности. Пусть О~ — точка их пересечения, лежащая в полуплоскости, отличной от той. в которой лежит точка О. Искомая прямая проходит через точки О и Оо Докажем это.

Обозначим через С точку пересечения прямых АВ и ООь Треугольники АОВ и АО~В равны по третьему признаку. 74 т кеаее Позтому угол ОАС равен углу О~АС. А тогда треугольники ОАС и О~АС равны по первому признаку. Значит, их углы АСО и АСО~ равны. А так как они смежные, то они прямые. Таким образом, ОС вЂ” перпендикуляр, опущенный из точки О на прямую а. 46, ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК Одним из методов решения задач на построение является метод геометрических мест.

Геометрическим местом точек называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством. Например, окружность можно определить как геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки. Важное геометрическое место точек дает следующая теорема: Т е о р е м а 5.3. Геометрическое место точек, раоноудаленных от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через еео середину. Доказательство. Пусть А и  — данные точки, ив прямая, проходящая через середину О отрезка АВ перпендикулярно к нему (рис.

105). Мы должны доказать, что: 1) каждая точка прямой а равноудалена от точек А и В; 2) каждая точка Р плоскости, равноудаленкая от точекА иВ,лежит д на прямой а. 1 То, что каждая точка С прямой а находится на одинаковом расстоянии от точек А и В, следует нз равенства треугольников АОС и ВОС. У зтих треугольников углы при вершине О прямые, сторона ОС общая, а А О = ОВ, так как Π— середина отрезка АВ. Покажем теперь, что каждая точ- А 0 Ю ка Р плоскости, равноудаленная от точек А и В, лежит на прямой Рие. 105 а. Рассмотрим треугольник АРВ.