Полезная книга, страница 30

Функция распределения Г(х; 6) имеет впд Р(х — 6). В этом случае Р(х — 0) убывает с ростом О. Легко вндсгь, что прн этом х (О)=0+ х (0) н х-'(у)=у — х,(О), поэтому допернтельпый интервал (3) имеет впд г) — х (0) «: О ~ г! — х, „ (0). (5) С л у ч а й 2. Параметр О положятслен, и Р (х; 6) = г,О,г' =Р( х ~1, Р(0)=0, В этом случае Р( — 1 прн х>0 ~ о,г убывает с ростом О, н х (О) =Ох (1), х-,'(у) = — ', и Довсрнтсльпьш интервал (3) в этом случае имеет внд ч х„ (!) хг , (!) 1 м. ИОРмьлы!Ое РАСПРсдглсние ГЛ. >К ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ 2ЗЕ й 64.

Доверительные интервалы для параметров нормального распределения Пусть независимая выборка (1) взята из нормаль- ного распределения с параметрами (а, а). а) Доверительный интервал для а при известном а. Возьмем за статистику т> среднее арифметическое х. Это разумно, так как х есть достаточная статистика отно- сительно и и является эффективной оценкой а. Как из. вестно, х имеет нормальное распределение с параметв рами (а, =~. Обозначим, как и раньше, через.

и квантнль нормального распределения, т. е, 1 — Ф(и )=у. Пусть а = !с!+ а2. Так как и! = — и„, то неравенствз а — иа2 = ~» х.- а + и, —, (6) ""- а/са '"' т/а выполняются с вероятностью 1 — са. Разрешая неравен- ства (6) относительно а, имеем довери>ельный интер- вал для а в в х — и = = а»а» а = х + и —, (7) а' Ч/и — а' 1/а являющийся частным случаем (5), Доверительная веро- ятность (7) равна 1 — о, а его длина (и, +и„)=, а, а, Эта длина будет наименьшей, если взять а, =в,=а/2, Пусть, например, аа>оа, тогда и,,> и„.

Пусть сь> !) таково, что ас — Л > аа+ с)а; тогда иа, > иа,+ь > иа,-ь > >па,. Из неравенств !. а) (1 Ф(иа2-ь)) "а,-Ь 2 се а,-Ь 1 1 = е 2 с(х~~ — е ' (и — и ), тсеаа л ч/2й ааа !)2=1 — Ф(и, ) — (1 — Ф~и,))= ааа 2 222 а,+Ь 1 1 ° 1/зп ;!!а иа "аа+Ь имеем 2 2 аа2-ь "а,+Ь иа2 ь иа » а" а/2п е ' < Л т'2п е "' » иа — иаа-а- ь или иа,-ь + иа,+ь < иа, + иа„ т. е. при а! чь а2 доверительный интервал пе имеет наименьшей длины. б) Доверительный интервал для а прн неизвестном о.

Прежде всего докажем важное свойство выборочного среднего х= — „~> хс 1 ! и дисперсии 1 Х( — )2 2— са — 1 для выборки (1) из нс>рьаального распределения. Т ео р е м а 1„Статистики х и з2 для выборки (1) из нормальноео распределения независимы. Слд шйнал величина 22(л — 1)/оа илсеет 72-раслреаделение с (и — 1) й степенью свободы. Случайные величины х' = с хс — а = — независимы и имеют нормальное распределение с параметрами (б, 1).

Обозначим х'= — ~~х', з' = са а а с=! 1 ч = — / (х', — х')'. Тогда х=а+ ах', з'=о'в'. Дока! ! жем, что х' н з' независимы н что з' (н — 1) имеет 72-расиределение с (с! — 1)-й степенью свободы. Случайный вектор (ха, ..., х'„) имеет сферическое нормалы;ое распределение с плотностью а (8) 238 гл и. довГРительиыв иггтеРвллы $ Ю.

НОРМЛЛЫ!ОЕ РЛГПРЯДЕЛЕНПЯ 233 преобразование, задан- Пусть у = Сх' — ортогональное пое соотношениями г у, = ~/и х'= —, + уа / Лlа (0) у,=- )„сл,.х,'., )1=2, ..., и. 1=! Всегда можно подобратг коэффициенты с,г так, чтобы равенства (9) задавали ортогональное преобразование. Тогда Уь У!ь ..., У„также бУдУт иметь сфеРнческг е нормальное распределенно с плотностью (8), Так как В В у = ~!гг!г Х' И,!' Х'. = ~, у" (г!3-За Ортотоп!Ы1Ы!Оетя 1 прсобразовашш С), то (и — 1) з' =- К (х',. — х')1 = Х х',. — ихз = !. 1 г=г == Х е': — у'= Х у', 1=1 1г Е поэтому (и — 1) з' имеет распределенно уа с (а — 1) -й стсиснаго свободы. Теорема доказана. Следствием только что доказанной теоремы является Теорема Р.

17усть (1) — выбоина из нор!шльноео рггсг:рсдс!гения. Стог пстака называемая отногаенаг!я Стью де н та, говеет распредс.;ение Сггпадгнма с (и — 1)-й стсаенгно свобода. Док аз а тельство. — у!а имеет нормальпос а распределение с параметрами (О, 1), а з!а не зависит от х и равно л,/г,.",/(!г — 1), где Х,', 1 имеет Ха-распределение с (и — 1)-й степень!о свободы.

Поэгому отношение (10) имеет распределение Стьюдепта с (и — 1г-н степенью свободы. Теорема доказана. Для построения довсрптелыюго н!Первзлз для а прп неизвестном и воспользуемся отнопгснпсг! Стшодептз (10). пусть 5Р(!) — (ьункцня распределсни стьгоден!а с и степенями свободы.

Обозначим 1т(и) кпаптпль распределения 5„(1), т. е.корень уравнения 5„(!) =- 1 — у. Так как распределение Стьюдепта симметрично, то 11 т(и)= — 1„(и) п пРи постРоеппи довеРЯтсльпого интеРвала надо бРать сс! =- иа = и/21. НеРавенство Я вЂ” 1„и(и — 1)...х — а ~ — 1 д(и — 1) „Iн выполняется с вероятностью 1 — и. Это дает нам дове- рительный интервал х — е 1ага (и — 1) ~~ а х + —,=1а!е (и — 1). н .!!а в) Доверительный интервал для и при извесгиюм и. Статистика является достаточной для параметра а и имеет ~з-распределение с и степепямп свободы. Обозначим через К,(х) функцию распределения !)ггоа и через й;(и) кзантиль К„(х), т.

с. корень уравнения Ка(х) = 1 — у. Пусть сг = и! + яь Тогда ггсравснстпа 1-а ( ) 1 а (и) выполняются с вероятностью 1 — а. Это дает доверительный интервал ~/ — а ! (11) Можно доказать, что этот интервал будет иметь наименьшую длину среди всех доверительных интервалов этого вида с доверительной вероятностью 1 — гл, если и! п сгз выбраны так, что плотность 11„(х) = К'„(х) удовлетворяет равенству а'л 1-аг( )) а(, аг( ))' 4 55. схемл веР1!улл!г Гл, 16.

довеРителы!ъ!е иптгРВАлы 240 г) Доверительный интервал для а при неизвестном а. В этом случае за основную статистику ц возьмем эмпи- 85 (ь — 1) рическую диспсрси!о. По теореме 1 г имеет 5!'-распределение с (п — 1)-й степенью свободы, Э.о приводит к доверительному интервалу, аналою!чпому (11): / л — 1 / и — 1 с доверительной вероятностью 1 — (сгг+ из). й 65. Доверительные интервалы для вероятности успеха в схеме Бсрггугггги Той же самой процедуры построения довернтсльпг„: интервалов можно прндерживаться и в том случае, котла основное распределение дискрет!ю. 11родемонстрирусм это па схеме Ьерпулли, Пусть р — число успехов при и испытаниях в схеме Ьсрнулли, Функция распрсдслениз Р~ Р(пг; р) = Р(р 'п!) = ~„С,;р (1 — р)" рассматриваемая в целых точках пг = О, 1, 2...,, гг, убывает с ростом р, так как — р(пг; р) = л Н!7 »7 »1 = г С;", йрь (1 — р)" ~ — ~~~!С;,(и — гг)р (1 — р) Л =-5 л-о =-пб„,р (1-р)"- -'<О.

Обозначим 77. (р) такое нанмсншпее 'целое число, для кото гого ! ! — Г (пг (р)'„р) ~: 1 у. Тогда гпт(р) — ! есть такое наибольшее шсло, что Р(пгг(Р) — 1; Р) < У, Пусть сг! + Егг = сг. тогда с вероятностью - 1 — и Еаг „(Р)~~Р ~777, (Р). Обозначим решение уравнения у= пгг(р) относительно р через пг, '(у), Тогда неравенства р= пг„-,'(р) <р<т „(р) —. р, (12) задающие доверительный интервал, выполняются с вероятностью ~ 1 — и. Чнсло ! — !х называется в этом случае коэффициентом доверия.

Для нахождения границ доверительных интервалов (12) можно пользоват!- ся таблицами бипомиального распределения, ио такие таблицы громоздки и не очень распространены. П- этому часто использугот предельпуго теорему Муавра— Лапласа об асимптотической нормальности Р— нр 7) = Ргггр (1 — р) для построения прибляжепных доверительных интервалов. Неравенство )7)~ ~ и„гг при больших и выполг!яется с вероятностью ж 1 — сг. Это даст и /р(! — Ш - 11 /р!1 — р) — — иьп ~/ ~~~ р ~ ~— + игал ч(/ (13) однако неравенства (18) нс задают доверительного интервала, так как в ипх имеется справа и слева зависни масть от р.

Поскольку — - р, то нз(13) получают доверительный интервал В гг !г ис'г 11 р +па~1 1 Другой голход к построению приближенного доверительного ггнтсриала для р основан па следуюгцсй теореме. Теорем а 3. Пусть последовательность с„такова, что йй.:„= — а, В'-„=ой — »О и распределение е„асимпготически нормально с параягетрами (а, о„).

Предполоякияг, ьно функция й(х) ограничена, )д(х) ) ( г(, и ил!ест непрерывные производные у'(х), у" (х) в окрестности !огни х = а, (Р(а) =~ О. Тогда случайная величина 71„== ==-47(С„) асимпготи !вски нормальна с паралгеграчи (д(а), !д'(а) ~в„). гл. 1в довеРительныг ггитгтвллы Ф аа схемА ФЕРпулли До к аз а тельство. Пусть прн ~х — а(«с. в имеет место разложение Тейлора е» (х) = а (а) + и' (а) (х — а) + г (х) (х — а)2, (11) где ! г (х) ! ~ ~7(1 при некотором К, < оо. Обозначим А, = =(са: ~ь»»(»а) — а~ < о»',ч).

Для и= а таких, что о .- ал, мы можем, пользуясь разложением (!4), написать Рч»=а(.„) 1„+й(Б„) 7; = =-'. (й( )+й'(а)6.— а)+гб.)6.— а)')+' — ~М. Тогда и„= ц„+ 6„, где т)' = а (а) + а' (а) (й — а), ба= — И(а) 7.,-, — й'(а)(~„— а) 1„- + + 7Л Г (Б ) ХГЯ а) + й' (~л) У»1 ( 15) Тзк как правая часть равенства ч,» — П(а) а (а) DŽ— а ! Н' (а) ', ал ! а' (а) ! ал тгмеет и пределе нормальное распееделепис с параметрами (О, 1), то т)„' асимптотичсски нормально с пара- а" л метрамн (д (а), ! а' (а) ! с»л).