Полезная книга, страница 27

Эта предельная теорема позволяет нам строить крите- рии по !Огоьсркс гипотезы о гом, что выбор~и х1, ..., хкч н 251, ..., у,„и,гятгг нз одно!.о и того жс распределения. Заавчв 1. !!мгегг1 н:ззвпгчплчк выборки хь ..., х,... По пгпогезе Ва все зэ равномерно ражип:чегазиы в !О, З1, гю пжотгзе пге П, ра1пимерно распределены в 11, 31. 1!оггронть критерий е изгыгепьшей величиной пыз(и, рк гд а и р — веро11тиоети оп!вбок 1-го и 2-го реди.

3. Пусть хь ..., х„— иезвви:впав выборки нз рзепредачеиип е плов[остьи Ье ', х то. !1ое!ропп оотпмзг1ьпыи к!'ч1грии и;иг' нерю1 гги1отезы В,; 1. = Х, ири коикурз,!утаи!с!1 гипотезе Ь111 гг = гч < г., г урез!гам згпгчимоетн а. Ны и!таить моюиоегь 112 итого крнгсрип.

3. По лпум и.зчз1ьг1чым выборкам: к1, ..., 22 и1 пормилыюго рвепределегтин (11,, о1) н рь ..., д1„11з иормалычо1о распределении цифры частота тл. и стлтистичнскип к!>итепии (лх, пе) построить с уровнем значимости сг оптимальный критерий провсрхи гипоызь! Тгм аг = а. при конкуриру!оп!сй гипотезе Нс а! ~ аь Параметры а, и пз с ппать известными. 4. В таолипе случайных чисел оа 1000 знаков цифры О, 1, ..., 9 егтрствлись слепу!ос!ее число раз: 0 1 2 3 4 5 8 7 8 9 90 105 112 97 108 101 93 87 103 104 С помон!его Хз-кратер!ге Пирсона проверить гипотезу о том, что все пифры пстречаьптсп в тайлиае случайных чисел равиоверситио.

За уровень значимости принчть а = 0,05. Г л а в а 15. ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ч 50. Статистические оценки и нх свойства Мы будем иметь дело с независимой выборкой хг, хз,..., ха (1? из распределения Р(х), принадлежащего некоторому семейству распределений У. Пусть Π— параметр, одно. значно определяемый по каждому распределени!о Р нз семейства У, Например, О= ~ хе(Р(х) или О = ~ хгггР(х)и т.

п, Таким образом, О = 0(Р) — это функционал распределения Р~ Х. Очень часто мы будем предполагать, что само семейство У определяется од« ним илн несколькими такими параметрами. Тогда любая Р ен У; есть функция распределения Р(х; 0) илн Р(х; Оь,. „ О,), зависящая от одного илн нескольких параметров. Такое семейство распределений называется параметрическим, В л!обом из этих случаев задача оценки (или, как еще говорят„ оцепивания) параметра О состоит в нахождении такой функции О =О(хи..., х„) (2) от выборки (1), которая в каком-либо смысле близка к параметру О, если выборка взята из распределения Р с 0(Р)= О. При этом предполагается, что функция (2), не зависит от значения оцениваемого параметра О и других неизвестных параметров, от которых может зависеть Р.

Вообще, любая нкцня вида 2 от выбо ки аким образом, Π— это ста. сть это определение приоб- ретает только тогда, когда мы налагаем на эту стати. ГЛ. 1Е ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ 1 ВЬ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ И ИХ СВОЙСТВА 215 стику дополнительные условия, обеспечивающие ееблизость к параметру О. Оценка О = О (х„..., х„) нааывается несмеи(енной, если прн любом возможном 0 МО= О, (3) т. с. среднее значение О равно О. Значение свойства (3! можно пояснить на примере большого числа Л! независимых выборок объема и из одного н того же распределения. Обозначим 0; значение оценки (2) для 1-й выборки. Если опенка несмшпенная,то МО,=О, О1,..., Он, независимы и одинаково распределены. Тогда по усн* ленному закону больших чисел о, + ...

+ в — О. .Ч Если конечна дисперсия ОО! =- о', то по пснтральной предельной теореме разность ' — О и будет (О, а/ 1! !Т)-аснмптотически нормальна, т. е. при больших Ж неравенство выполняется при<блнжснно с вероятностью 1 — а (здесь или — квантнль нормального распределения, определенная формулой (14) нз 6 55), Приведем примеры иесмещеипых оценок.

Если выборка (!) взята из семейства с конечным г-и моментом и,= ~х'11г (х), то выборочный г-й момент 1Л,. = — ~ Х! 1 ! будет несмещенной оценкой т„так как М!й,= — т Мх1=1нг. г — Е Л„ ! =-1 В частности, выборочное среднее х есть несмещенная оценка математического ожидании а = ~ х11г'(х). Выборочная дисперсия л з'= — ~ (х„— х)' не яв1чяется несмещенной оценкой дисперсии а' = = ~ (х — а)ее(г'(х), так как ее можно представить в виде е = — „Ат (х, — а)- — (Х вЂ” а)-, 1 х 9 -, 9 Отсюда ««Е !! — ! Мз- = о-' — — = — п-, а л (5) н «1 3 н — 1 и — 1,~,('! /' (6) Заметим, что из несмещенностн оценки з11 для ае нс следует нссмсщениость оценки е, для ш Позтому при боль. шом числе 1!!' выборок (1) для оценки а предпочтительнее 1 т« пользоваться оценкой — '! Ен, а ие †, ~ еи, где 1 ! зй — значение выборочной несмещенной дисперсии (6) для 1-Й выборки.

Заметны, что обычно вместо е!! в (6) пользуются обозначением е'. Очень часто нас интересуют асимптотичсские свойства оценок 6„=- О„(х!...,, х„) для выборок (1) объема а- лл. Оценка Ол (вернее, последоватсльность оценок 0,) называется состси1тельной, ЕСЛИ ПРЯ и — «ео Она ЕХОДИтСЯ ИО ВСРОЯтНОСТИ К ИаРа метру О 0„-0, ! поскольку М(х! — а)з = о', М (х — а)-= —. Равенство (5) дает иам возможность построить несмещенную оценку дисперсии ГЛ.

1К ОЦВНКН ПАРАМЕТРОВ 1 зн. услов11ые зАкОны РйспРадзлвпия 217 Примером состоятельной оценки может служить выборочный г-й момент й1, в (4), так как при конечности т, и. н. по усиленному закону большнк чисел 111„-:-» л5, при Р и-» сю, а следовательно, н гй, — т,. Для установления состоятельности оценки О„ полезна следующая Теорем а 1, Если МО„-»8 и Е)΄— «О при а-»СО, то оце ΄— Д о к а з а те л ь ст во. По неравенству Чебышева прп любом з > 0 Р(! О„МО„!> ~) » ~. О.

(7) Из (7) н неравенства ! Π— О )<~! ΄— Мо„)+ ! Мо„— 0 ! следует, что при и — »ОО вероятность события ! Он — О!> з стремится к нулю, что и требовалось доказать. О помощью теоремы 1 во многих случаях легко доказывается сост051тслы!Ость О1ценок Он. 0 80. Условные законы распределения Рассмотрим сначала случай, когда вектор $ =($1,,„, ..., $„) имеет дискретное распределение Р(к=х)=р1(х)= р(х)= р(х„..., х,)„ гзе х =(х1, ..., х,) пробегает ког .чпое или счетное множество возможных зпа 1енийс, р(х) ~0, ~х„' р(х) =1. Пусть имеется функция 1(х)= 1(хп ..., х„). Условным распределением $ прн условии 1(С)= 1 назовем совокупность условных вероятностей при фиксированном 11 р (х ! 1) = Р (с = х )1($) = 1) = р (З = х, 1 (З) - (1 Р (х) Р (1(1) = 5) ~ р (х') ( ) х' 1 Гохх'5=1 Не более чем счетное число вероятностей (8) отличны от нуля.„1 мы выбираем такими, чтобы знаменатель в (8) пе был равен нулю, Если а(х) — числовая функция От НЕКтОрНОГО арГуМЕНта Х=(Х1...., Хн), тО 5) = = а(Ц будет случайной величиной.

Ее математическое ожидание равно М 8 = Ма Ф = Х 8 (х) р (х). Условное математическое ожидание М(ьт(х)!5(з)=т) определим с помощью ус,тонного распределения (8): М(ай) )1(ь) =г) = и (х) 55 (х) 8 (х) Р (х !1) = х: 11х1 1 )хаК ВИДНО ИЗ (9), УСЛОВНОЕ МатЕМатНЧЕСКОЕ ОжНДЗННЕ М (д(1) !1(з)=() есть функция от й Обозначим ее 81(1). Подставляя вместо 1 случайпу1о величину т =1($), мы получаем, что условное математическое ожидание есть случайная величина д1(т), Вычислим математическое ожидание от д1(т) 1 Мд1(т) = 2. а(() Р(т=т) = Х', 81(() К р(х) = = Х Х п(х)р(х)= К п(х)р(х).

1 хю 15»5=1 .х .Таким образом„мы показали, что МдЯ= М (М (~х(в) )(($) =1))„ (1О) т. е. при вычислении математического ожидания от 8(Д сначала можно вычислить условное математическое ожидание 8($) при условии 1(К) = 1, а затем осреднить это условное математическое ожидание по вероятностям условий. Формула (10) сохраняет смысл и в том случае, когда К имеет не дискретное распределение, а, например, имеет плотность р(х)= р(х1, ..., х„). Пусть плотность р(х) непрерывна в точке х.

Тогда прп 81-«0, 1 = 1, ..., и, Р(х1 <В1 <х5+О1, 1=1,..., и)= =Р(х)Л1 ... Л„+О(Л1 ... Ь„). Гл. !к оценки ПАРАматгов $59. услоаныв зАконы РАспевдвлспия 2!9 Вычислим условную вероятность г'(х! < ь! < х, + Л„..., х < к„, < х + Лм !х; < < а! < х! + Л„! = и+ 1, ..., и) = (х!, ..., х„)Л! ... Лл+ о(Л! ... Л„) р! ! (х, ..., кл)Л +! ... Л +ь(Л ! ... Лл) Переходя к пределу по Л!-э О, получаем Р(х, <~, <х, +Л,, хм<~ <.,л+Л (х, < <~! <х!+Ло !'=т+1, ..., и) — » р» ! (х, ..., х„), рг„,+, " тл(х« ! " " '») где р „(х +ь ...,х„)= ° ° ~ ре! ".

е»(х! ° ° ° х!л хл!+!~ ° ° ° хл) с(х! ° ° ° с(хл » Р Предел левой части (11) естественно назвать условном плотностью $!, ..., $,„при заданных ~„,+!, ..., $л; рь, Е )ь +, ... Е (х„..., х )х„+„..., х„) = р ! (х, ..., х, х,„г ..., х„) ! !»~+! '" »л ( Математическое ожидание М'к(ь ° °" ь ) = = ~ ... ~ д (хп ..., х„) р», „, » (х„..., х„) с(х! ... Ихл можно вычислять по формуле (10), вычислив сначала условное математическое ожидание М(у(~!, .... ~„))вм+! —— х,,„ь „5»=х.) = = ~ ...

~ у (х„..., х„) р!', Хр1,...! 1! ...ь (х!, ..., х„,)х +!, ...,х„)с(х!...Их ... ~ д(х!, ..., хл) Р, (хн ..., хл) !(х ... »х ... ~ р! ! (хг ..., х„)!(х ... !(х и осредняя его затем по р . (х „..., х„): »!-! ! '" л (((((М(у(Ь!, . ° ., 1 )11,„+!, ..., ~Л= = ~ ... ~ р „(Х,„,, ..., .-л)!(. „,, ... ° ° п(х„..., х„)р, ),, (х,,, „х ~х„+„... ..., х„)дх! ... с1х,„=- ~ ... ~ у(х„..., х„)р(х„...,хл)дх, ...