Полезная книга, страница 26

Поэтому при х -' Сг мы говорим, что выборка (1) не противоречит гипотезе Н„ и если эта гипотеза имеет какое. либо обоснование, независимое от выборки (1), то вы. барка в этом случае ее подтверждает. Пример 4. Пусть гипотеза Но остается прежней, а конкурирующая гипотеза будет двусторонней Н,: а Фас, В этом случае для значений а =аг < ао н а = а1» а, теорема Неймана — Пирсона даст разные оптимальные критерии х ~ С, н х С„т. с. не существует такого критерия с уровнем значимости а, который макснмнзировал бы функцию мощности 'нт(а) во я1а) Рвс.

)Е. Етунннвя можностн ПР (а) двустороннего нрнтерия )л — а1>= агг11 всех точках а чь ао. В этом случае применяют двусторонний критерий„по которому гипотеза Но отвергается, когда а ~.>а )х — ао1-. — ' ~/а Функция моппгостн такого критерия равна и,— а — Ти +ииа х' йу(а)= 1 — —,— ~ а ' г)х. Ртэа — тл -ии1т Уровень значимости этого критерия равен гс, а график имеет вид, изображенный на рпс. 15.

П р и м е р 5. Пусть имеются две независимые выборки: выборка х„х„..., х„нз нормального распределения (О, а,) и выборка у„у„..., у„нз нормального распределения (О, тге). Рассмотрим основную гипо- тезУ Но. о, =па, и копкУРиРУюЩУю гипотезУ Н,: гтг~йа,. 20б Статистика р= 1-. ! н1 (16) (18) )71, М, ..., Ч (19) Р! Р» Р. ГЛ. 14. СТЛТИ .ТПЧГСКИЕ КРПТЕРПИ имеет прп гипотеза П, р-распределение Фишера. Критерий можно построить на основе статистики (16).

Пус!'ь гт — такая квантиль г"-статнстн!Ти (16), что Р (р» рт! !74) = 'ь'. Будем принимать гипотезу Н!) тогда и только тогд), когда г! -от)'»< Р <» ром. Этот критерий имеет уровепь зп)чимости о.. 5 87. Непараметрические критерии В математической статистике )иста требуется проверить гипотезу, чта нсзавпспмая выборка ХО «2 ''' )н (17) взята нз генеральной совокупности с функцией распределения г"(х). Относительно конкуриру:ощсй гипотезы, кроме независимости х в (1У), других прсдполажени1! пе делается. В этом случае применяются так па)ываемые непарамстричсскис ста!Псм!'Рсские крптерпи кОтО- рыс строятся на основе какой-лпба статистики 77(хг, ...

..., «'... Г), завнсяшей от !', причем рзшгределепяе этой статпстпкп прп справедтпгпзст!4 Основной г!и!Отез!2 и)- всстно точно или зснмптотичсскн при п — Р оо. Обычна стаю!стпка поло)кптельпз, и п;)н люоой копкурпрующей гипотезе се зпаче!)ие возрастает. Выбпрзется такое дн, чтобы й ~ ~пи прн основной гипотезе в!япотп)Елось с вероятпосгью ошибки первшо рода О. Основная гипотез« прннпмастся, сслн !7 < 41„, и отвсргзется, сеян и ) й„. Одппм из наиболее известных таких критериев является 7'-критерий 7)ирсанп.

Выберем тачки .„= — оо < е! < Ег « ... з, 1 < < е,= оо. По известной функции т (х) вьгшсляем веро- % Ьг. НЕП«РАМЕТРИ~!ЕСКИЕ КРИТЕРИИ ятности рг,= Г(з«) — Г(х, !), lг —.— 1, ..., т, Обозначим т«число тех х; из ныборкн (17), которые удовлетвоРают Уславнго е«! < х! <ею Тогда пРн спРаведлпвости основной гипотезы случайпыс величины имеют палнпомпальнос распределение и + ... +п,=н. Первоначальную задачу мы редуцпруем теперь к проверке гипотсзь! о том, что частоты (18) получены пз палнномиальнаго распределения (19) с веронтиостямн ИСХОДОВ Статистика, на основе котороп строится критерий, называется 7„'-статистикой 771!Рсогга и апрсделястся суммой у(с — "Р)т (20) е=! "Р« Теорем а 2. Распределение у'; при и-+.оо слабо сходится к уг-распределю)ию с (т — 1)-й стеяеньт свободы с функцией Расиредс,гения х г ° 1 п 1 )(', ! (х)= „, ) и '-' е ' йи, х.-е0. Доказательство.

11з теоремы 8 $ 46 следует, что слу-ьзйный вектор 711"!.=-(ф", ..., и!го) с компонентами УР— пг)7 Р )с (21) гс СХОДИТСЯ ПРН и — Р оо К ПОРМЕЛЬПОМУ РаСПРЕДСЛЕ)ННО С пулевыми средними и мзтрицей ковариацни ~~Сои(7174 Ч!) 1)=1~О«ь — О~рр«рг 1 гл. и. стлтнстичвскип кгитсааиаа з 67, наплелматгичвскпв кааитагни (будем обозначать Ча случайные величины с предел'- ным нормальным распределением). Характеристическая функция предельного нормального распределения равна ! -тЕ !и е ' " , где Г l / Г а!а О (1) = 2. 1' — ~11,/р д = 2.

1а — ~ х;.„7р 1 ) . (22) Преобразуем вектор Ч ортогональным преобразованием с = Са1. Тогда характеристические функции (е и 1ч свлзаны соотношением Ка(и)=)„(С'и), и =(и,, ..., и,), где С" — преобразование, сопряженное С (см. свойство 7) из $ 43). Если ! = Саи, то и = С1, 1 =(1а, ... ..., 1,). Выберем С так, чтобы и! ='~Р! 1! + ° ° ° + ~7Рс 1са (23) а остальные ил — — с~ сы(! подберем так, чтобы матрица а=! ч7л! АР!," ч(лс са! см ° ., см си с,, с„ т. е. вектор в=(~„..., 5,) имеет независимые компоненты, пРичем Вй! = О, йа.....

К, РаспРеДелены поР. малино с параметрами (О, 1). Из предельной теоремы и формул (20), (21) следует, что Х',= — а)а,"и+ ... +т1!,"г сходится к распределению а)!+ ... +а)!. В силу ортогональности преобразования С сумма т!"; + ... + а1а переходит в сумму В', + $,; "+ ... + са, что н доказывает тео ем с еделснне уа-распределения в в 46). олучснный результат применяется следукнцим способом. Задаемся уровнем значимости а, Тогда, в силу была ортогональной. Тогда в ) а (и) = е е квадр атнч!с!/а ная форма, в силу (22) н (23), равна Г г Г 2а(и) ==Яч(С и) = ,'. 1! -и;= ~: и» -па!= ~', иа„ а-! " ' а=! ' а-а теоремы 2, при больших и с вероятностью, приближенно равной а, выполняется неравснство с (тк — аар )а :=.. »1с„(г — ! ), а ! где' й„(г — 1) — а-квантиль та-распределения с (г — 1)-и степенью свободы (см.

3 64. и. в)). Мы считаем основную гипотезу принятой, если т,', < 1г„(г — 1), и отверг. нугой, если выполнено обратное неравенство. Выбор точек деления га, ..., з, ! должен удовлегворять двум требованиям. Во-первых, вероятности р!, рм ..., р, должны достаточно хорошо отражать внд функции распределения Р(к) (для этого г должно быть больше н рч — меньше). Во-вторых, для того чтобы можно было пользоваться предельной теоремой, пр! н, соответственно, аа! должны быть не очень маленькими (для этого с должно быть не очень большим). Обычно на практике требуаот чтобы ира~ )10, ъ! » ~10. Из этих противоположных требований и выбираются тоааки аа, ..., за Другим примером непараметрнческого критерия является критерий Кол иогоровп.

Этот критерий основан на статистике (24) В„= зпр ~ Р„(х) — Е(х) (, оа~а(о где Р(х) — непрерывная фупкнпя распределения генеральной совокупности, Р„(х) — эмшарпческая функция распределения, построенная по выборке (1): а Е„(х) = — ~ 11,„,4,1. а=! Докажем, что распределение слугайной величины В„ инвариантно относительно Г(х). Теорема 3. Если Г(х) неп1аерывиа, то рпспределс'- иие статистики Вс не зависит от Г(х). Доказательство. Докажем, что В„при любой непрерывной. Е(х) имеет такое же распределение, как ГЛ. !ч.

СТАТИСТИЧНСКИГ КРИТЕРИИ ЗАДАЧИ и в случае, когда Р(х) задает равномерное распределе. ппе на отрезке (О, 1). Пусть аг, ..., $и — независимые случайпыс велнчишг и каждая из ннк имеет функцию распределения Р(х!. Г1рсдполо?ким, «!То Р(п) = О, Р(Ь) = 1 и О ч Г(х) ( прп а ~ х ~ Ь, причем а н Ь могут быть и бесконечными. Обозначим через В множество, состоящее из тсч точек а - х . Ь, для которых при л!обем н ..- О Р(х) ~ .=: Р(х+ в). Нетрудно видеть, что прплюбом О с 11! «: ! сугцсствует единственная тг!ка х ~ В, лля которой 1 (х) = д. Примем это х зз значение обратной функци!1: х =- Р-' (р) . Введем случайные величины т(ь == Р='(чг,), й = — 1, ° .. 12.

ОНИ НезаВИСН21Ы, Т ~К КаК е1, ..., рч Независимы. и равномерно распределены в (О, 1), так как события (11» -- р) и (еье à — !(у)) равносильны и Врп любом О--д«-.1 Р (т)д "=-. 15) =- Р (2, ~ Р (р)) ==- Р (Р (1!)) = !5 Обозначим более подробно эмпирические функпии распределен!пи длн выборок Рг, ..., Рв и 1 т Рв(х; Р.„..., З.) = — ~„У(4-,, А=! и т11,, пч и 1 Ч"ч Р,(у; т!1... „т!.)= — „~„)!ид чы1. Е-1 !1оложим 55 =-- Р(х), х ен В. Тогда пз равносильности со. бытий! (че х) и (21е ~ у) следует Р„(йч т(„..., т!в) =- Г„(х; а„..., ~в).

(2б) Бе(гкпгою грань и (24) можно брать по хеэ В, поэтому, в силу (25), с вероятностью 1 Ов = зпр ~ Г„(х; ьеы ..., е„) — Р (х) ~ = л -В = зп ~Рв(йч т!1, .", Т(,) — р1, О~в~! что пам и требовалось доказать, Л, Н. Колмогоров доказал, что при и- ео для лк- бой непрерывной Р(х) имеет место следу!ощая предель- иая теорема: 1пп Р (Чг 11 В, х~г = Г( (х) = — Х '( — 1)" е--"А'"', х > О. (2б,' и.+ ь н--- На основе предельного соотпогпения (26) строится и- паРамстРический кРитеРий КолмогоРова. ПУсть йа — а- кваитиль предельного распределения (26) 1 — ' Гб(!га) =- и. Тогда гипотеза о том, гго выборка (17) взята из рас- преде.пенна с функцией Р (х), принимается, если !512 1'.ги~ ~(12„, и отвергается, если пуп 0„> !ги. Уровень значи- мости этого критерия равен приближенно а.

С той жс самой предельной фупнцнгй гт'(х) связан критсрпи Слшггнова. Оп состоит в следую!Вен, Пуст х„..., х„и 251, ..., гго — две независимые выборки, первая имеет функцию распределения Р(х), вторая— 6 (х). Обозначим ХУ,, „,--=- зпр ~ Рв,(х; хг, ..., хь,) — Ра,(х; 151, .... Ва,) 1. (Х Н, 11. Смирнов доказал, что если Р(х) =(г(х) и И1 непрерывны, то при ггг, 12,— ь оо, — -ь т, О < т < оо, слувт Чаниаа В Лвиииа Т,г — — Ви„„, В ПРСДСЛС ИМСЕт тОт и,- и., же закон р:1сг!редслсния Д (х), оп(зеделсин1чй рядом (26).