Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 3. Kratnye i krivolinejnye integraly (2001)(ru)(T)(224s) (Антидемидович), страница 26

я1о1-о В уу ( дх ду) дя ' ду Следовательно, !цп — (Х, и) 41 = — (хо, уо) + — (хо. уз). > 1 У дР дЦ <и> . В ~ ' д* ' ду 190. Доказать, что если 5 — заыкнутая простая поверхность и е — любое постоянное направление, то 1= О соя(п. е)ЫЯ=О, 5 где и — внешняя единичная нормаль к поверхности 5.

ч Пусть е = (созао, созро. соз1о) — единичный фиксированный вектор. Тогда можно написать равенство соз(и, е) = (и, е) = соя о соя аз + совр созда+ соя 1 солта, где сова, созд. соя Π— направляющие косинусы вектора нормали и. Применив формулу Остроградского (3), получим 1 Гд д д ~=Ц~,ао-Ц( — .~ — а+ — -.„)н ь~ = . ° / 1,дх ду дг 191. Доказать, что объем 1г конуса, ограниченного гладкой конической поверхностью 5, заданной уравнением Г(х, у, г) ж О. и плоскостью, заданной уравнением Ая+Ву+Сг+11 = О, РВ вычисляется по формуле Г = —, где Р— площадь основания конуса, расположенного в 3 данной плоскости, Н вЂ” его высота.

ч Не ограничивая общности, можем считать, что вершина конуса находится в начале координат, а плоскость, в которой расположено основание конуса, пересекает положительную полуось Оз (зтого всегда лшаано добггться путем линейного преобразования координат). Для вычисления объема конуса воспользуемся формулой (4), которую запишем в виде Г = — ~~ (т, и) дд = — О (г, и) ИЯ + — ~~(г, и) дд, где Яг — основание конуса, Яз — его боковая поверхность, т = (х, у.

г) — радиус-вектор точки М = (я, у, з) на поверхности конуса, и = (сова, соя д, сову) — единичный вектор нормали к поверхности конуса (рис. 21). На боковой поверхности конуса векторы т н и ортогоналъны, позтому ~~(т, и) ЫЯ = О. Следовательно, 1' = го(т, и) 4Я. яь На множестве Яг выполняется равенство А В 11 з= — — х — — у — —, С С С' Гл. 2. Кратньве и криаолннейиьве интегралы Рис. 23 Рис.

22 Если а < Ьв, то С > О, и носкольку сов т < О. то С 7т~~в ~с ' С *, 6 68 А+В;С'Ы ~(, )юг=-да~.,сА ° в..сн, в..сс~ьг.. где А= ' = -сх(е, е)сохи, В = ' = -су(е, ю)сове. Р(у> в) 2т(в, х) 23(и, е) ' ' 2т(е, е) Таким образом, в Складывал полученные значенил, нри с > О имеем 4 в 2 в 4 /в 6в'в У ж -1га с+ -х6 с = -хс а +— 3 3 3 ~, 2) Если с < О, то, очеаидно, нолучнм /, 6в~ У вв -хс ~а'+ -~ .

3 1 2 ~ Окончательно имеем У = -х(с( ~а + — уг . р 2 — 3 ~ 2,~ рассмотрим нескоаько примерок на нримеиеине формулы Остроградского (3). Вычислить интегралы: ~(г, и) лЮ = Ц (с (х (е, е) + у (е, в)) сов и + (а — 6 ) в(е, ю) в(п е сов и))Но Не = з тв -.'-./~ 1Нх Н . где Я вЂ” внешняя — в+ х) Н»Нх+ (» — х+ у х у. 104. / )(( — „/*)Н/*/( — х+ х!+ (» — х+ у! = 1. авнением ((х — у+ 4 + ~у — х 3, по- сторона позер ве хиости, заданной ура н ое поверхностью Я.

Применив формулу ( ° я Обозначим ч(ерез Т тело, р , ог аниченное лучин д НхНУН» = 3 АхНу х — Н», з( ду дв .)+ —,—. Ч(а а дх т т — — л»з — »+х,мжх— х+у ен переменных, полагая и — х у+я, у Произведем в интеграле замену пе Принимая во П во вииыание равенство 1 3У(х, у, х) 31(и, з, 10) 3У(и, в, со) 3У(х, у, ») 1 -1 1 1 — 1 1 1 — 1 1 находим 1- 1-— б ~О НиНвАи=б/Ни~А« «~ Ни)= «+«+на» «ао, ано, нао 1 о , )" (1- )',и С, = б ~А~ / (1 — — )Нов о о о г 3 Я («(+( ~+(н(я» в соз;) НЯ, где — ча Я вЂ” сть конической поверхности, 195.

1 = Д(в~ сова+ у» говд+ в соз;), — " хностн, д, сов э — напразлзющ ие косинусы хэ + з = хз, 0 С я < 14, н сов и, сов, с заданной уравнением х +у = х, этой поверхности. ой Осгроградско- впешией норьгааи н к кн та, то воспояьзоватьсв формул /я Поскольку позер иове хиость Я незамкнута, то восп ю пол чим, п нсоединив ко Рассмотрим замкнутую паве —,х)бй )х +у го (3) нельзя. Я е во точек круга Яз = х, у, а н иа окружноюльк верпшж конуса б псевдомно, ольк е елен. ' ти — йз — ц т и н опр 1'и м / к как О.

и асслаатривать интеграл иа ми к как онн имеют меру . и р мн можно пренебречь, так как 193 ~~~го, Грни а н Стокса $ б. Формулы Остр Р фе ы, заданной з »,1.НУ, где ' — в внешняя сторона с еры/ ' 193, ~~х Н,Н.+у ° » 3+⻠— а УРавнениеы х У к го (3), находим /я Используя форааулу Остроградского 1 = 3 ~~~(х' + у +» ) Нх Ну Н*, » . 1'са а. После перехода в интеграле к 1 +» С а ) — шар радиуса а. ос е )б«жлз(Х +„ сфернческ ф нческиы координатам получиы 13 л /Н = — яа.> /~/ /,/,= —, о о Гл. 2. Кратные н криволинейные нн е нтет алы 196 Яз = Оз '1("а О (О, О, О)).

Имеем равенство 2 2 =д х ' - -'Ы5 — 0(х созе+у соа,О+ г соэ;) 1= /(хзсоэа+у соа41+ - соат) 5213 формулу Остроградского ого 3, а иа мио- Л, ага = аах йу. Поэтому получдла К интегралу иа лаиожестве Бз ьаож р -ем п имеиить жестве 2 '4 3 инее Я '4 м созга = сов З9 = О, соз 3 = 1, г 1 = 2~~~(х+ у+ г) йх йуйг — Ь 2 а главу аз+42<аз т = г Я О ° + *а а.

а, а. — *а'. т л л (х+у+г)йх у г= ар сог +г 41гга 1а1аа.а, .аа*а,а. =)аа,)а,а, (а,а,+. ~а-:-.аа*= о о р т 2. Ь Ь2 р2 3 — а(са р(Л р)(сох 43 + пп 42) + — — — рад= — Л . о о — — Л4 хЬ4 — ДЬ4. > Окоичательио имеем 1 =— 196. Вычислить интеграл Гаусса / соз(т, и) 1(х. у, г) = ,з я поверхность, ограничивающая компакт Г С й', и— где ~р~~~~ заьзкпутая гладкая лове ПОВЕ ХПОСти О В ЕЕ ТОЧКЕ (С, Ла Ьа а 4' — Р +(~ )2 , и г = (С вЂ” х) +(Π— уа ( ) б) : а) позе хпость Я ие окружает точку х, у, М Рассзаотрааза два случая: а) поверхпост Я окружает точку (х, у, г).

ого (3). Приняв во внимание равен- В случае а) можем применить ф р у о м лу троградск Ство СОЭ(Т, и) ж ~ а )а ПОЛ1ЧИМ ) (4 — * (х К г)— — -) = аз ! тз Я (а (4-*) а ( —,) „а (4-.)) т ) "=И~" тз т т г а ского р , итег ал 1(ха у, г) стаг а ского применять нельзя, так как и р отвеине Д~~ этого рассмотрим П том ' вычислим его пепосредств е полот Т с к аем,зз, лелсащий лсим, что (х, у, г) Е 2аз, где е г — внутренность компакта 3 .

иожес аииым кРаем О" 43 Яа, где Оа — Р- компактом с ориеитироваииым кра ио мали и т очку (х, у, г) и являетсл акта Та. в каждоа точке которой единичный вектор р ептироваииая граница компа гз'2 2 2ахз2<г<Ь) ° где = хау,г У вЂ” (( а,г)бП:х +у <Ь,г~ +у и к илиндрическпм координатам и и залаеиим получеииыи В тройном интеграле перейдем к пилив интеграл повториыла. Найдем 198 Гл. З. Кратные и криволинейные интегралы Применив формуву Стокса (9), получим г = зЦ буях+ Вйхйх+ 2 гхгу=зЦ( з'и+ зб+ Гт)йз= г 0 йВ=зв, 5 5 5 где  — плов[адь площадки Я. И Применяя формулу Стокса (9), вычислить интегралы: 189.

1 = ~убх+хеу+х Их, где 2 — окружность, полученная в результате пересечения сферы Я = ((х, у, х) е Я~: х + уз + зз = аз) с плоскостью Яы заданной уравнением х + у+ х = О, пробегаемая против кода часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны осн Ох. П Применим формулу Стокса. взяв в ней в качестве поверхности круг 52 радиуса а, лежащий в плоскости Я2. Получим Т=- Дгг».~»~ »ЬЬ=- Д»..»». Р~. ЕЮ, 52 52 где созе, созд, сову — направляющие косинусы нормали и к плоскости оы Так как вектор и и орт й оси Оз образуют острый угол, то в ка2кдой из формул для вычисления сова, со»,9, созт перед радикалом в знаменателе следует взять знак "+». Приняв во внн- 1 манне, что соз а = соя Д = соз т =, имеем чз ' 2' = — ~ГЗ ЧИЮ = — ъ~Зха, так как площадь круга Яз равна яа . ° 2 л()().

2 = ((у — х) йх+ (х — х) йу+ (х — у) ях, где у — кривая. полученная в результате 7 пересечения поверхности Я цилиндра Т = ((х, У. 5) б Я~: х + у ~С аз, х б И) с плоскостью х з Яю заданной уравнением — + — = 1, а ) О, я ) О, пробегаемая протяв хода часовой стрелки, а а если смотреть с положительной стороны оси Ох. М По форыуле Стокса (9) имеем ю» -гЦю 9.99*» ьь=-юД[ + д+ )и», 52 52 где зз = Т й Яг — ь2иожество всех точек эллипса оз=)(х,у,я)ияс:х +у (~а, — + — =1), ' а я сова., сов Д. соху — направляющие косинусы нормали и к плоскости 52.

Множество точек Яз проектируется на круг Р = ((х, У) б м~: 52+у ( (а ). Поскольку нормаль к плоскости 52 образует острый угол с ортом й оси 05, то в кюкдой из формул я» Ф х 1 созе ж *ДГ»+7.' *ЛГ»+».' +»5+".+ У перед радикалом в знаменателе следует взять знак "+".. Перехода от поверхностного инте- грала к двоякому н принимая во внимание равенство ИЯ = 1+ я' + я„' ах ву, получим ~2 1 = 3 ~~ (я'(х, у)+ х'(х, у) — 1) дх Иу. о $ б. Формулы Остроградского, Грина и Сток такса 199 л = й — -х то х', = —, х = О. Следовал Так как на множестве 8~ выполняется равенство х = — —,, з —,, з = тельно, — г // (1+ ) сгх лгу = -2 1+ -~ рта = -2рга( + ).

а и 201. 1= (у +х)Нх+(х + ) у з з з згй + (хз + уз) 4г, где у — кривая, полученная ол с е ы 5 = Дх. ур х) б Вз: х + у + х = 211хр х > ) в результате пересечения полусф Р е ол 'с е ы и наименьшая область остается слева. ограниченная ею на внешней стороне полусферы наиыень а Ч Применив формулу Стокса, получим поверхностный интеграл 1=2 (у — х)буйх+(х — х)Охах+(х — у)йхйу= зр = 2 // ((у — х) соз о + (х — х) соз рб + (х — у) соз -р) а'Яр Яр я, вы езанный из нее поверхностью яр, сохо, созлу, созт — нагде Яз — кусок полусферы, выр некто а нормали и к Яз, гга множестве з ы правляющие косинусы ве р р, гг й Р б аз ют острый — хз — з, г' = — з, х' = — ".

Так как вектор и н орт л оси г о разу с,у, соз . пе ед радикалом в знаменателе следует ' ол, то в формулах для вычисления соз о, совру, сох з перед рад угол, г' Ых й, получим взять знак "+ . ринам "»".и р и-»' р*.р 1 ы 2 //((у — х(х, у))(-х' (х, у)) + (х(х, у) — х)( — гз(х, у)) + (х — у)) йх йу = ,а( ° 1 /' 1'(у - '(* ))(™) + ('(* "' х) у +. у '1 Ь бр рх гя ц (1 - — "~ бх йу, и где Р = ((х. у) Е м~: хз+ у ( 2гх). Поскольку /2з- 2 — р.