Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 3. Kratnye i krivolinejnye integraly (2001)(ru)(T)(224s) (Антидемидович), страница 25

') х дх + уду+ (х + у — 1) дх, где т — отрезок прямой линии, от точки (1, 1, 1) до точки (2, 3. 4). 184 Гзг. 2. Кратные и криволинейные интегралы 130. Доказать, что величина интеграла ((Оху — у) дх+ хз ду. где ", — зал~кнутый контур, выражает площадь области, ограниченной этим контуролг.

131. Доказатгь что интеграл 1 1»(у) Йх + (хи'(у) + х ) ду равен утроенному моменту инерции однородной плоской фигуры. ограниченной контуром ",, относительно оси ординат. Найти функции по данныл~ полнылг дифференциалам: г. гг = ~ '-*" ».1зг» ~ 1» У ~ У. = 1» зыз Вычисл1»ть поверхностные интегралы: 134. д — „, . где Я вЂ” цилиндр, заданный уравнениелг х +у = Н, ограниченный плоскогг вв 2 з 2 г стями. уравнения которых г = О и г = Н, а г — расстояние от точки поверхности до начала координат.

133. Ц вЂ ,. где 5 — сфера, заданная уравнением х' + уз + гз = а а р — расстояние элемента поверхности до точки (О, О, с). расположенной вне сферы. 138. Цугйхду+ хгдудг+ худхдг, где Я вЂ” внешняя сторона поверхности, располох щенной в первом октанте и составленной из цилиндра, заданного уравнением х + у = Н . 2 з з и плоскостей, уравнения которых х = О. у = О, г = О и х = Н.

137. Цузгдх Иу+ хгдудх+ хзуИх Ых, где 5 — внешняя сторона поверхности, располов женной в первом октанте и составленной нз параболоида вращения, заданного уравнениелг г = х + у, цилиндра, заданного уравнением ха+у = 1, и координатных плоскостей. г з 2 2 138. Ц((г" — у") соз а + (х" — г") соз 5+ (у™ — х") соз;) 65, где Я вЂ” верхняз половина х сферы. заданной уравнением х +у +г = а .

а созе, сов 5, соя т — направляющие косинусы з внешней единичной нормали и к поверхности Я. ~ 5. Формулы Остроградского, Грина и Стокса Пусть К вЂ” компакт с краем дК в евклпдовом пространстве И~ с фиксированным базисом. Определение 1. Ко»такт К называется элементарным, если каждая прямая е пространстве е1~. параллельная оси Ох;, л = 1, т, либо не пересекается с К, либо имсега с К один общий сегменол. когиорый.ножет вырождагвься а олочку. Указанный в определении сегл~ент л~ожно задать в виде р,(хы ..., х; и х,»л, ..., хт) < з, ( г)Ч(хг, ..., х, л, хвел, ..., х,„), где Лв,.

ф; — непрерывно дифференцируемые функции своих аргументов. Определение 2. Ь"омиакт К С и с кров»~ дК называется простым, если существует его представление в виде К=ЦКзч 1 где К» — зз»ментарные ко»нгокты без общих внутренних точек с хроями дК», У = 1, т. 8 б. Формулы Остроградского» Грина и Стокса 18т Следовательно, 11 12 2. В» 181. Вычислить кривоаинейиээй интеграл 1 = / (с» нв у — ту)де + (с*от у — т) ду, 4»»0 где ЛвэΠ— верзила поауокрумиость, задэикал уравненном х + у ах, пробегаемал от 2 2 точки Л = (а, 0) до точки О т (О, О). < На сегменте (О, а) подынтегральиое выращенке равно нулю„поэтому интеграл по кривой ЛтО равен интегралу по замкнутому контуру ЛтОЛ, состолщему из кривой ЛтО и сегмента (О, а), ограничивающему область 11 = (» (х, у) ч Жэ: 0 ~( х ь а, 0 ( у ( 4ах — хэ), в силу чего момен применить формулу (8); 1»а / (е зэку — ту)дх+(е сову — т)ау= .йз»од 1»1'( — э - >- — э — >)»».- 1/д д / ~дх ду о т 2 Ддхду т — .

° 8 и Рис. 1а 162. Вычислить криволинейный интеграл 1 = / (р(у)с — ту) дх+ (р (у)с — т)ау, Лтд ЛтВЛ и ло отрезку ЛВ (рис. 19): 1 т (р(у)с" — ту) де+(р(у)е — т) ду+ (р(у)е — вэу) да+ (р (у)е* — т) ду = 1~+ Хэ. Интеграл 1» вычислим, применив формулу (8): 11/д, . д = 11'( — ~ 'и"- )- — ~че"--») ""="Ц""-"» 11 ~дх ду о Длл вычксаекна интеграла 1э преобразуем подынтегральное вырамснке к виду (р(у)с — ту) дх + (э» (у)е — т) Ыу = (р(у)с* — ту) да + (р'(у)е — тх) ду+ т(х — 1) ду = Ыв + т(х — 1) ду, где 4в — полный дифференциал некоторой футщии.

Следовательно, 1, ~ + 1~( -1)ду, где э», э»' — непрерывные фуикцкк, Лт — произвольный путь, соедииающий точки Л = (хм у~) и В = (хэ, уэ), ко ограикчнвиощий вместе с отрезком ЛВ фигуру З, площадь которой равна данкой величине Р. ч Интеграа ло кривой Л тВ представим з виде суммм интегралов по замкнутому контуру 188 Гл. 2. Краттгыен криволинейные интегралы где первый интеграл в правой части зтого равенства не завксит от выбора пути интегрирования, соединяющего точки А н В. Таким образом, з Ур 4и = / (у(уг)е — пзу>) 0х+ ~ (Зз (у)е** — пзхз) ду = Ю(уз)е*' — р(у>)е ' — >п(хгуз — х1у>). яв 91 На отрезке АВ выполняется равенство у = у1 + -"з=хь(х — х>), в силу чего имееы *з-з~ зз зз пз /(х — 1)Ну=из (х — 1)дх ж пз хз — х> у хз — хг 2 яВ пз п1 = — (уз — у>)(х> + хз — 2) = — (уз — у>)(х1 + хз) — тл(уз — у> ).

2 2 Складывая полученные значения интегралов, окончательно найдем 1 = тпР + >з(уз)еы — >з(у~)е ' — — (хг — х~ Иуз + у> ) — пз(уз — уз). М 2 183. Определить дважды непрерывно дифференцируемые функции Р: Из И, Я Из — И так, чтобы криволинейный интеграл Х = ~ Р (х + о> у +,3) <Ь + Щх + о, у + р ) ду для любого замкнутого контура > не зависел от постоянных а. и д. М Если функции Р и Я удовлетворяют поставленному условию, то должно выполняться равенство (х+ ~ у+д)ях+фх+о>у+д)Дум ~ Р(х у)ох+1>(х )д для любого замки>.того контура т, в сиду чего имеем 1> =~Рдх+ Яду = 0, где Р = Р(х+.о, у+ д) — Р(х, у), Ц = 1„>(х+ а> у+ д) — ьг(х.

у). Для того чтобы криволинейный интеграл з1 по любому замкнутому контуру т был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы в односвязной области, ограниченной этим контуром. ц на самоа> контуре выполнялось равенство — = — (которое следует нз формулы Грина). е7< зя з* зз Обозначив х+ а = С, у+ д = «, получил> написанное условие в виде дЯ дЯ дР дР— (6 «)- — (х у) = — й, «)- — (х:у) дб ' дх ' д« ' ду откуда имеем равенство — й, «) — — (6 «) = — (х, у) — — (х у). д9 дР д9 дР дб ' д« ' дх ' ду Левая часть зтого равенства не зависит от С л «, поскольку правая его часть зависит только от х и у, следовательно, дг> дР дс) дР— =С, С=совзц дв дд д« да 189 3 б.

303ОРЫУКЫ Остроградского, Грина и Стокса Из условна а, — — „= С получасыравенство — (Щз, у)-С*) = — (*, у), справедливое вишь э эг в тоы саучае, когда Щх, у) — Сз = ~(з, у)+ 0(у), Р(з, у) = э (э, у) + У(э), где в, р, й— дважды мепрерывио щэфференцвруеыые функции. Окончательно накодиы Вэ 0 Р = — + и(*), Я ж Сх+ — + й(у), С ж совзз. 1ь а ' = 09 1 лбу — 90з 164. Вычмсакть мнтеграа 1 ж ~ , где т — простой замкнутый контур, не 22+ 2 проходящий через начаао косрдмиат, пробегаеыый в поаожмтеаЬНОЫ иаПРаваенмн. ч Еслм контур т не окружает качало координат, то, применив формулу Грина, получки У-Ц(д— (,~,)у — (~))а а - (1 " ',+;, "а н =а и о Если контур т окружает начало коордмнат, то применять формулу Грмма нельза, поскольку область В в этом случае неоднссвязна. В зтоы случае будем вычмслять интеграл 1 непосредственно.

Обозначмм через ы дифференциальное выраженке цод знаком интеграла 1. Покажем, что интеграл т не завнсат от выбора кривой т, окружающей начало координат. Пусть Ъ н уэ — произвольные непересекающиеся замкнутые гладкие нлн кусочно-гладкие контуры, окружающие начаао координат н огранмчивающме простую область 11 С Из'1((0, О)) . Прм положвтеаьиой ориентации границы Рнс.

30 т = щ 33 тэ обаасти 13 мапрэалення обхода кривых щ и тз будут противоположны (рнс. 20). Двухсаэзная простая область Р ие содержит особой точкк подынтегрального выражения ы, поэтому, согласно формуле Грина, ныееы откуда следует равенство показывающее, что интеграл 1 ке зависит оз выбора замкнутой хривой у, окружающей начало координат. Взяв окружность у = ((*, у) б Из; * ж асов и, у ж с ив и, 0 4 22 4 Зт), получки 3 31 Г 2 2 ' 2 3 1 с ''ы и+с ыв э э IэЪ» 185.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривой т, заданной уравиеиисы ~-) + () -() () + Н е) О О) О и> О, котрсэкаык осей координат. 01 13 О М Д222 Ре3веина примера аоспользуеыса форэаулой (у). ЬОО Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы 2 з Полагая х = орсоз 1», у ю 6рзщ 1» (О ( з» < "-), получим уравнение заданной кривон в полярных координатах, используя которое, находим ее параметрические уравнения з з Ь соззызгп»1»+млз1зсоз» 1»1 з 2 а созз1»з1л'и го+ з1лз рсоа» 1р1 2 соз» <р 3 ил» р 3 ь и Пз разенсгза к = — гл 1», О < с» < —, получаем г --1 соз и 1» 1 з 3-- --1 з з -(хйу — у~1х) = -х О ~-) = — згп рсоа и:р+2з1в1»сохо+»1в псов и йр, 2 2 ~х) в О < д < —.

2 з з 3 2 з 2 3 а-- . з-- ап» рсоа рамаз = ( соз«рз1л и р4». о о Получим 2 3 г г 1 з-- юл с» со» г» Нез+ ал З»соз» 1»О»» 2аЬ Р=— в 186. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой т, заданной уравиениелз (-) +Я =с( — ) (-), >О, Ь>О, с>О, в>О. з М ПЕрЕХОдя К ОбОбщЕННЫМ ПОЛврНЫМ КООрдниатаы ПО фОрМупаМ Х = арСОЗЗ»Е! ЗЗ, К = 2 2» зп Ьр»1п~~+' 1», получим уравнение кРнвой У в виде р = ссозз»а' пап з»+з Зз, из котоРого заключаем, что прн изменении р от О до и криваа выходит нз начала координат и возвращается г в него, т.е, является петлей. Используя уравнение кривой т в повлриой системе координат, получим ее параметрические уравнениа, в которых параметроы служит угол ри Зп+2 зп х = оссоз ьн.1 П зщ зпе),р 3 в»аз т р = 6ссозз ез р ага зп+з 1» О <,и < 2' Поскольку х йв — вал = О на отрезках осей координат, ограничивающих фигуру.

то форл~ула (7) принимает вид Р= — ~ хйу — у~1х. 2 / Заменим криволинейный интеграл определенным. приняв во внимание равенство 192 Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы При стягивании контура 1 в точку (яо, уо) получим, применив теорему о среднем и пользуясь непрерывной диффереицируемостью функций Р и 14: 1 (Г !дР дЯ 1 дР д() Ищ — г г ~ — + — ) дя Иу = — (яо, уо) + — (хо, уо).