Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн (1992), страница 3

В дальнейшем вектор Н для краткости часто будем называть просто магнитным вектором. 4.2. Плотность тока проводимости. Дифференциальная форма закона Ома Током проводимости называют коллективное (упорядоченное или хаотическое) движение заряженных частиц в материальных средах или в вакууме.

Предположим, что к границе раздела между вакуумом и проводящим веществом подведены два электрода, соединенные с источником ЭДС (рис. 1.2). Линии тока внутри вещества распределяются таким образом, что наибольшая их часть проходит по области, представляющей для тока малое сопротивление; лишь незначительная часть тока ответвляется в глубь проводящей среды.

Очевидно, 1.2. Плотность тока проводимости. Закан Ома !3 что для подробного описания данной системы недостаточно измерить только значение тока во внешней цепи. Здесь необходимо располагать сведениями об интенсивности и направлении движения носителей заряда в каждой точке проводящего тела. С этой целью вводят понятие векторного поля плотности тока проводимости 3нр, определяя его следующим образом: З„,=Агдп, (1.6) где У вЂ” концентрация носителей заряда, т. е.

число носителей в единице объема веп!ества; д — заряд одного носителя; ч — скорость носителей в рассматриваемой точке пространства. Рис. !.3, К формулиров- ке закона Омк Рис. !.2. К определению поня- тия плотности тока пронодимо- сти Легко проверить, что в соответствии с формулой (1.6) величина я„р имеет размерность А/мз и действительно характеризует силу тока через единичную площадку, перпендикулярную вектору скорости заряженных частиц. Найдем связь между векторами плотности тока проводимости и напряженности электрического поля, существующими в некоторой точке пространства, С точки зрения классической физики носители заряда, перемещаясь внутри кристаллической решетки вещества, испытывают силы, подобные силам трения. Скорость носителей, а следовательно, и плотность тока проводимости в установившемся режиме должна быть пропорциональна действующей силе, т.

е. напряженности электрического поля. Таким образом, 3„,= Е, (1.7) где о — размерная постоянная, называемая удельной проводимо- стью данного вещества. Глава 1. Основные положения теории электромагнетиэма 14 Металл Серебро Медь Цинк Латунь Пример 1.1. По круглому медному проводнику диаметром с(= =0.6 мм протекает постоянный ток 1=1.5 А. Найти напряженность электрического поля внутри проводника. Сечение проводника в=от/4=2.83.10 ' м', плотность тока Уир —— 1/я=5.3.10е А/м'. Модуль вектора напряженности электрического поля Е =-1пр/0=0.093 В/м. Из физических соображений ясно, что вектор Е направлен вдоль оси проводника. Удельная проводимость полупроводников и диэлектриков на несколько порядков ниже, чем металлов.

Для описания электро- проводящих свойств этих материалов удобно использовать другую числовую характеристику — угол диэлектрических потерь, речь о которой пойдет в дальнейшем. Докажем, что равенство (1.7) является одной из форм закона Ома для участка резистивной цепи. Для этого рассмотрим куб с ребром длиной 1, выполненный из исследуемого вещества (рис.

1.3). Предположим, что две противоположные грани куба покрыты слоем идеального проводника и к ним приложено напряжение и. Под действием этого напряжения во внешней цепи протекает некоторый ток с. Очевидно, что 1=1Япр1(е; 1Е) =и/1, откуда, используя (1.7), получим с=о1и. Последнюю формулу можно рассматривать как запись закона Ома, если положить, что 01=1/ук, где )та — сосирл противление, измеренное между противоположными гранями куба. 6.1.

10' Равенство (!.7) иногда назыб'7.10т вают дифференциальной формой 1.7 10' закона Ома, поскольку оно уста- 1.4 '0' навливает прямую пропорциональность между плотностью тока проводимости и напряженностью электрического поля в пределах малой окрестности точки наблюдения.

Легко убедиться, что в СИ удельная проводимость о имеет размерность См/м. Металлы являются хорошими проводниками электрического тока, и для них характерны высокие значения удельной проводимости. Приведем для справок небольшую таблицу значений о, измеренных на постоянном токе. Прямым Расчетом легко убедиться, что для возникновения тока в доли ампера достаточно создать в металле электрическое поле весьма малой напряженности. йЗ.

Закон сохранения заряда 1.3. Закон сохранения заряда Одно из фундаментальных положений теории электромагнетизма состоит в том, что ни при каких условиях электрический заряд не может ни зарождаться, ии исчезать. Этот факт, многократно проверенный экспериментально, лежит в основе закона сохранения заряда '. Предположим, что внутри произвольного замкнутого объема У, ограниченного поверхностью 5, содержится некоторый электрический заряд с), распределенный в пространстве с объемной плотностью р (Кл/м'). Ясно, что при этом б)= 1 рбмк~. (1.8) Если с течением времени значение Я изменяется, то на основании закона сохранения заряда это связано с тем, что либо часть заряда покидает границы объема, либо заряд поступает извне.

Как следствие, в пространстве возникает ток проводимости с некоторой плотностью За„. Интегрируя функцию З„з по замкнутой поверхности Ь', находим результирующий ток проводимости в рассматриваемой системе: 1= ~.)ярг(Б. (1.9) По определению, понятия тока, в данном случае 1= — г(Я/81 (ток считаем положительным, если заряд внутри объема уменьшается).

Отсюда с учетом равенств (1.8) и (1.9) будем иметь д б'м = — ~ 3„,Ж Ъ 3 Преобразовав правую часть последней формулы по теореме Остроградского — Гаусса, получим др сП:= — ) б!и Л„тс1Ь'. дт У Это равенство будет выполняться тождественно при любой форме объема к" лишь в том случае, когда подынтегральные выражения левой и правой частей одинаковы. Отсюда приходим к закону сохранения заряда в дифференциальной форме +01п .)„р — — О. (1.10) дт ' Из физики элементарных частиц известны явления «рождения» и <гибели» электронно-позитронных пар.

Это не противоречит закону сохранения заряда, так как суммарный заряд пары равен нулю. Глава 1. Основнаге положения теории электроиагнетиэтла Это равенство часто называют уравнением непрерывности тока проводимости. По физическому смыслу оно эквивалентно первому закону Кирхгофа, известному из теории электрических цепей. 1.4.

Закон Гаусса Данный закон, найденный экспериментально, устанавливает связь между векторным полем Е и величиной заряда Я, порождаюшего это электрическое поле. Рассмотрим некоторый объем Ъ', ограниченный замкнутой поверхностью 5 (рис. 1.4). Пусть внутри объема произвольным образом размещен электрический заряд Я. По закону Гаусса, поток векторного поля Е, порожденного зарядом, через замкнутую поверхность 5 численно равен величине заряда, деленной на электрическую постоянн о: Еб5 = Оуас. (1.11) Если рассматривают точечные за- ряды, то значение 4, находят алгебРнс. 1.4. Закон Гаусса раическим суммированием. Если же заряд распределен по объему непрерывно, то Я определяют интегрируя плотность заряда р по объему у'. Говорят, что формула (1.11) выражает закон Гаусса в интегральной форме.

Этот закон в ряде случаев позволяет с успехом находить напряженность электрического поля при достаточно простой конфигурации заряженной области. Пример 1.2. Внутри сферической области радиусом а равномерно распределен заряд с объемной плотностью р. Средой является вакуум. Определить напряженность электрического поля во внутренней (г(а) и внешней (г аа) областях. Рассмотрим воображаемую сферическую поверхность радиусом г, концентричную с заряженной .областью. Заряд, заключенный внутри этой поверхности, вычисляется по-разному в зависимости от соотношения между г и а: 41апрга прн г<а, рСИг =') У 141аиРаа пРн г>а. 17 1.4.

Закон Гаусса Ввиду симметрии сферической области вектор Е имеет единственную составляющую Е,1„направленную вдоль радиуса. Поэтому Еб3=4пг'Е„ откуда на основании закона Гаусса РгЛЗм) при г<а, раз /(Зерага) при г а. Пользуясь приемами векторного анализа, можно из интегральной формы закона Гаусса получить дифференциальную форму. Для этого заметим, что, по теореме Остроградского — Гаусса, '~ Ебй= ~ б)тЕбЬ', следовательно, З 6ЬЕбу= ~ Р б)г. (1.12) к ч) Поскольку объем У совершенно произволен, это равенство возмож- но лишь в том случае, если подынтегральные выражения тождест- венно совпадают.

Таким образом, б(ч Е=р/ам (1.13) Равенство (1.13) называют законом Гаусса в дифференциаль- ной форме. В соответствии с определением понятия дивергенции это соотношение означает, что силовые линии векторного поля Е имеют источники и стоки в тех точках пространства, где располо- жены электрические заряды. т.з. Закон неразрывности магнитных силовых линий Экспериментально было обнаружено, что силовые линии векторного поля магнитной индукции В всегда замкнуты в пространстве (рис. 1.5) независимо от того, создается ли поле постоянными магнитами нли катушками с током.

Для математического описания этого факта удобно, как это делается в векторном анализе, представить себе силовые линии магнитного поля как воображаемые линии скоростей движения частиц несжимаемой жидкости. Расположим внутри области существования магнитного поля произвольный объем У, ограниченный поверхностью Б. Если силовые линии замкнуты, то поток втекающей Глава д Основные положения теории электромагнетиэма жидкости в точности равен потоку, вытекающему из объема. Таким образом, В с5=-0. (1.14) Проводя выкладки, аналогичные изложенным в предыдущем параграфе, получим соотношение, относящееся к бесконечно малой окрестности выбранной точки пространства: б!и В=О.

(1.15) Формулы (!.14) и (1.15) математически выражают закон неразрывности магнитных силовых линий в ингеграль ной и дифференциальной форме соответственно. Эквивалентной формулировкой рассмотренного закона служит утверждение о том, что векторное поле В нигде не имеет источников.