Зенкевич_Упр.манип_02 (Зенкевич С.Л. - Управление манипуляторами)

В этой главе представлены решения задач о скорости и описаны соотношения между скоростями изменения обобщенных координат ~обобщенными скоростями сочленений) и скоростью схвата ~либо дру- ГОГО произВольнОго зВена). При этом скорость схвата определяется шестеркой чисел, из которых первая тройка представляет собой компоненты вектора угловой скорости, а Вторая — компоненты вектора линейной скорости. И отличие от положения ~его также задают шестеркой чисел) скорость схвата представляет собой вектор.

Кроме того, в данной главе рассмотрены малые перемещения схвата, так называемые дифференциальные перемещения. Задачи о скорости широко применяют при разработке методов управления манипуляторами В полуавтоматических режимах, когда сигналы, поступающие с рукоятки, интерпретируются как некоторые компоненты командного Вектора Обобщенной скорости схвата. 3.1. Соотношении для скоростей и ускорений В предыдущих главах были рассмотрены задачи о положении и ОриентаЦИИ звеньев манипулятора либо в декартовом пространстве, либо в пространстве обобщенных координат.

Ясно, что для управления манипулятором необходимо научиться находить скорости и ускорения звеньев, иначе кинематическая модель манипулятора будет неполной. В этой главе мы займемся решением задачи, связанной с получением соотношений между скоростями и ускорениями звеньев манипулятора. НО прежде мы напомним некоторые соотношения из теоретической 103 3.1Л. Скорости и ускорения в относительном движении Пусть имеется две системы координат, одна из которых О,Х,К,К, неподвижна, а движение Второй системы ОХИ относительно первой задано Векторами м (линейная скорость) и со ~угловая скорость). предгголожим, что положение некоторой точки Р задается Вектора~и ~„и ~ в системах координат О,Х,У,К, и ОХИ соответственно ~рис.

3.1). Рис. ЗЛ. Неполвижнм и подвижная системы координат Обозначим Я р ООО ~ матрицу перехода от подвижной системы координат к неподвижной. Тогда в терминах однородных Векторов и преобразований имеет место соотношение где р, и о — однородные Векторы, соответствующие Векторам ~, и г, Согласно известной теореме механики об относительном движении, соотношения для скоростей В пОдВижнОЙ и неподвижной системах координат будут иметь Вид 104 3. 1. Соотношения для скоростей и ускорений ИГ, где — ' — скорость точки Р в неподвижной системе координат й И'~ О Х У У; — — скорость точки Р в подвижной системе координат ООООз ОХТУ.

Заметим, что сумма векторов д Ф' Й' ИхГ+ — =— Й Й определяет скорость точки Р в подвижной системе координат. Для ускорений точки Р в подвижной и неподвижной системах координат запишем следующее соотношение (в механике его называют теоремой Кориолиса): И Ф'о д Го И Р' Й~ ,О = —,О+2их — +озх(гехи)+ — хг+ —, (3,4) й' Й' Й Й Й д *3"О где —,' — ускорение точки Р в неподвижной системе координат; Й' й~ Р',~ — — ускорение точки Р в подвижной системе координат; Й' И Р' 2а х — — кориолисово ускорение; со х (е х г) — центростремительй йо ное ускорение; — х ~ — тангенциальное ускорение. Й Таким образом, соотношения (3,3) и ~3.4) позволяют найти скорость и ускорение точки, находящейся в сложном движении.

ЗЛ.2. Определение скоростей и ускорений звеньев манипулятора методом прямой рекурсии Для нахождения скоростей и ускорений звеньев манипулятора применим полученные выше соотношения. Напомним, что системы координат звеньев были построены (см. ~ 1.4) таким образом, что с каждым ~-м звеном связывалась система координат, начало которой располагалось в (1+1)-и сочленении (рис. 3.2). При этом кинематические параметры звена манипулятора задавались соответствующими параметрами связанной с ним системы координат.

105 Рис. 3.2. Системы координат У-звенного манипулятора Для двух соседних звеньев « ~ — 1)-го и жо «рис, 3,3) интерпретируем систему координат следующим образом: О,Х, У,˄— базовая система координат; О,, ~,, У,,~,, — подвижная система координат; О,Х,У„Л,. — система координат, связанная с точкой Р «см, рис. 3.1). Рис. 3.3. Системы координат двух соседних звеньев Пусть ~, и ж, — линейная и угловая скорости подвижной системы координат, р,, = р, — р,, — вектор, характеризующий расположение начала ~'-й системы координат относительно ~~ — 1)-й.

Тогда в соответствии с соотношениями «3.3) можно записать Р'-~,х «3.5) для угловых скоростей Я,'ю, 1+ Л,.'$0Ч, — для вращательного сочленения, Й,. = Р,;й1, — для поступательного сочленения; для угловых ускорений (3.21) Р;®,-, + Я,- ~Д, + Р,.'~, 1 3~ 3,я,, — для вращательного сочленения, — для поступательного сочленения. В выражениях «3,19), (3.20) р, — вектор положения системы О,,Х,У.,У,1 в проекциях на оси системы координат О,Х,У,У,.; ~, =(О, О, 1)'. 3.1.3.

Запись основных кинемэтических соотношений с помощью блочных матриц ° * Ь„,а, и х 1-блочный вектор, фактический размер которого тп х 1. Для анализа кинематики и динамики манипуляционных механизмов полученные ранее выражения для линейных и угловых скоростей и ускорений з~е~~е~ манипулятора целесообразно записывать через производные его обобщенных координат, Это может быть достигнуто с использованием аппарата блочных матриц 133, 35]. Блочными называют такие матрицы (векторы), компонентами которых также являются матрицы (векторы), Для блочных матриц и векторов сохраняются правила выполнения операций над обычными матрицами и векторами. Так, для пхп-блочной матрицы В = ~Ь„~, ~, ~'=1, ..., л (Ь, — и х и-матрицы), и блочного вектора а = = 1а„..., а„1' 1а, — т х 1-векторы) справедливо равенство Ва =с, Пусть р = ~х', у', ~', 1) — вектор однородных координат точки твердого тела в связанной системе координат О'ХУ2' и Т вЂ” матрица перехода к неподвижной системе ОХУ2.

Гогда нетрудно увидеть» что имеют место следующие соотношения: к =Х~з» Р =Т~з» к =Т~» (3.41) Сг Са~~~ Са С» О 0 О О 1 ~ = Т„,.о» 7, — А,А, ею+Ад. где г и о — однородные векторы точки в системах координат О,Х,Г,У, и О,Х,У„Л„соответственно. Обозначим через ф,. скорости изменения обобщенных координат сочленений. 3огда, согласно ~3.43), имеем Р 7~ ~Я)~ Д2» + ° «» Д~ )~3 Где т„=,'à — 'д,. =~А,А, ...А,, — А„, ...А,д,. (з.45) ~у й дА,. Ч, ~=~ Чс Непосредственной проверкой нетрудно убедиться В справедливости следующего правила дифференцирования матриц А,: где ~ =(х„у, г, 1)', г = ~х, у, 2, О)', г'= ~х, у, Б,О)' — однородные векторы положения, скорости и ускорения точки твердого тела в неподвижной системе координат, а Т, Т вЂ” матрицы, элементами которых являются первые и вторые производные соответствующих элементов матрицы Т.

Пусть теперь мы имеем М-звенный манипулятор, кинематика которого задана однородными матрицами А, » А„..., А~ » построенными по схеме Денавита — Хартенберга ~см, ~ 1.4), т.е. Π— 1 О О 1 О О О О О О О 0 0 О 0 0 О О О О 0 О О О О 0 1 — для призматического сочленения, «3.47) О О 0 О А,А, ...А,,В,А,-А,.„...А„, г < Ф, О, ~>А, т = ~У„,.ф,. р. «3.50 ~=! Аналогично можно получить соотношение для ускорения А-го звена: У; =~У„.ф,. + ~ ~И„„у,у,, «3,51 ~'=1 у=1 А А, ...А,,О,А А„, ...А,,О,А,А,,) ...А„, ~ < у <й„ А,А, ...А,-,О,.А,.А„, ...А,,О,А,А,.„...А„, О, О, Ускорение ~ любой точки Ьго звена, заданной однородным вектором о, легко найти, если воспользоваться соотношением «3.23): ~ =Т„~), «3.53) Скорость г любой точки Ьго звена, заданной в системе координат звена однородным вектором о, определяем слелуюшим образом: Где ~~=Т ОА ~~ — ~.~к-»ок А~~ + Т вЂ” О~ Аий~ .

~3.56) Заметим, что уравнения (3.54) — ~3.56) эквивалентны уравнениям (3,12) — (3,15). Покажем это для линейных ю, и угловых в„скоростей в случае вращательного соединения, Пусть (3.57) ООО 1 ООО 1 В силу системы уравнений ~3.46) имеем А~ =~,А~Ч~ ~3.58) Π— 1 О 0 ~оо» О О О О О 1 О О О О О О О О О О 0 и кососимметрическая матрица Йоо, задает вращение вокруг оси с ортом ~„" = ~0, О, 1)'.

Используя соотношение (3.54) с учетом (3.57) и (3.58), находим Р„= Я„,О„+ Р„,О„, (3,59) 120 где Т„определяется соотношениями ~3,51), ~3.52). Таким образом, скорос~~ и ускорения звеньев, выраженные через скорости обобщенных координат, задаются соотношениями ~3.48)-(3.53). Эти соотношения не являются рекуррентными, однако их нетрудно получить, если воспользоваться соотношением, связывающим положение Ж-го и (1 -1)-го звена: Т„ = Т, » А,, А = 1, 2, ..., Ф, Т Действительно, при дифференцировании этих соотношений по времени можно получить следующие рекуррентные уравнения для скоростей и ускорений: Р =Р - +~~-1 к+ ~ -1~ ~3.60) Рассмотрим сначала соотношение (3.59). В соответствии с известным соотношением Р = Й„Я имеем Матрица А, невырожденная, следовательно, Таким Образом, ~~ — о~~-) + ~й-А~ что совпадает с выражением (3.14) для вращательного сочленения.

Аналогично получим рекуррентную формулу для линейных скоростей. Имеем м й ™ + й К и Г к + К И 0 0 1 К К Г и =~~ ~+~~ Р~ [ю+~ ~ Р~ [Л=~~ ~+Ф +~ ВРк1~ =У, +а, р,, й =У„, +©ОА х И„,„, что совпадает с формулой (3.12) для вращательного сочленения. 3.2.

Дифференциальные преобразования В предыдущем параграфе были получены выражения для скоростей и ускорений звеньев, обусловленных скоростями и ускорениями в подвижных сочленениях. Здесь рассмотрим важную задачу„аналогичную Описанной ранее, а именно: как сказываются малые приращения одних кинематических параметров манипулятора на другие. Этот анализ используют при изучении динамики многозвенных механизмов, а также при построении алгоритмов управления. 3.2Л.