Зенкевич_Упр.манип_02 (Зенкевич С.Л. - Управление манипуляторами), страница 5

При этом, если потребовать, чтобы то, как нетрудно видеть, условия (4.1), а именно: у(~,) = а', ф~, ) = а,, будут удовлетворены. Заметим также, что из соотношения (4.4) следует т.е. скалярная функция А(~) представляет собой с точностью до множителя скорость в каждом сочленении а,,~1). Тогда, выбирая требуемую функцию Х(~), называемую профилем скорости, можно обеспе- чить как перевод манипулятора из у' В у', так и желаемую скорость перемещения.

Кроме тОгО, В приложениях Весьма полезным является соотношение, вытека~)~цее из (4.7): ~д(~)~~ = у' -у' = (д' -д'~ ~~(~~й, )'Х(~)й =1. ~4 8) ~о В геометрическом смысле соотношение (4,8) означает„что площадь, ограниченная линией Х~~) на ~~„~,~, равна 1 ~рис. 4,2) ~для простоты иа рисунке принято 1, =О, ~, =Т). На рис. 4.2, а показан уже рассмотренный случай ~=сопз1, на рис.4,2, б, в изображен треугольный и трапецеидальный профили скорости.

Следует заметить, что а обоих случаях в Вершинах треугольника и трапеции будет иметь место скачок ° 2 .,л1 ускорения. На рис, 4.2, г представлен профиль скорости Х(~) = — яп т т бсспечивающий плавное движение манипуля*ора Вдоль асей траек- рии. Разобьем отрезок 11', Г'1 на три части (рис. 4.3). Пусть на каждом из получившихся отрезков ф~) можно представить полиномами степеней и,, и,, и,. Гогда для нахождения коэффициентов полиномов воспользуемся следующими условиями. 1.

В точках ~ и ~' известны д, ф, д. 2. В точках г,, г, значения функций и их производных до 2-й включительно, взятые слева и справа, совпадают. Итак, имеется всего 12 уравнений, сдедоватедвно, сумма степеней миогочленов удовлетворяет соотношению л, +и, +и, =9. Возможные решения этого уравнения 1, дают, например. следующие тройки г чисел: ~3, 3, 3), (4, 1, 4), ИЗ которых Рис.4,3.Аппроксичациятраектории последняя являе*ся наибол~е привле- миогочленами кательной, поскольку обеспечивает разгон и торможение на начальном и конечном участках траектОрии и движение с постоянной скоростью на среднем участке. Однако следует заметить, что решение соответствующей линейной системы может не всегда существовать, поскольку ф1) на среднем у~асыке тождественно равна нулю и матрица системы может быть вырожденной.

4Л.2. Обход соиокупностн точек Пу~~~ теперь дана последовательность ~Очек в ~ространс~в~ Обобщенных координат Д, которую манипулятор должен обойти, попадая в каждую точку д, в момент времени ~, (рис. 4.4): Ф~ )=~ . (4.12) д ~у ~у ~р ... Ьд ~ 1д Рис. 4.4.

Обход последовательности точек в пространстве обобщенных координат 4.1. Планирование траекторий в пространстве обобщенньи координат ия2 + 2д,"+(1-а,)до = бахо, х„х,), и,~у,"+2д,"+(1-и,)о," =бах,, х„х,), О О О О а, 0 О О ... 1 — (х„, 2 О О х — вектор, компоненты которого и есть искомые неизвестные: ~=«Ч1з Ч~з "' Ч -~) . «4.26) Матрицы такого вида называют ленточными матрицами, или матрицами Якоби, и для их обращения используют специальный рекуррентный метод прогонки. Рассмотрим этот метод. Будем искать решение уравнение «4.25) в виде ~~ =с~~~+~+~к «4.27) а,Ч,"„+2д,'+ «1-и,)д,", = бах, „х,, х,.„), «4.24) а„,д„" +2п,', +(1 — и„,)д„", =6~(х„„х„„х„). 'Гаким образом, получена система линейных уравнений «и — 1)-го порядка ОтносительнО и+1 неиЗВЕстнЬ~х До, ~,', ..., Д,', .

Нетрудно видеть, что система уравнений «4.24) всегда имеет решение. Действительно, выберем произвольно до =и, у,"=Д. Тогда из первого уравнения (4.24) легко можно найти ц," «поскольку а, > О), которую далее подставить в Остальные уравнения. После чего этот процесс необходимо повторять до ТЕХ пОр, ПОКа ИЗ ПОСЛЕДНЕГО ураВнЕНИя НЕ будот НайдЕНО д,',. СлЕдО- вательно, решение системы всегда существует и зависит от двух произвольно выбранных параметров а и 13. Решим систему уравнений «4,24), Для этого зададим д, и д„, т.е. будем считать, что извес*ны значения вторых производных на концах Отрезка ~а, 61.

Тогда система уравнений «4,24) будет являться системой из «и — 1)-го уравнения относительно «и — 1)-й неиЗвестнОЙ вида Ах=Ь, «4.25) где А — матрица «п — 1) х «и — 1): рование траектории следует осуществлять в режиме ОК-Ьпе, что, впрочем, свойственно процедурам планирования, 2. Второе замечание касается планирования циклически повторяемых движений манипулятора.

Представим себе, что манипулятор должен несколько раз обойти последовательность (д,-», ~=О, 1, 2„..., и, аппроксимирующую некоторый замкнутый контур так, что ~у, = у„. 11ри этом необходимо замкнуть траекторию, наложив следующие условия: Можно показать, что получающаяся в результате система линейных уравнений хотя и не совпадает с (4,24), но имеет ту же структуру и решается также методом прогонки.

3. При реализации метода сплайн-функций можно прийти к тому, что на полученной траектории ф~) некоторые компоненты векторов д скоростей у«~„) и ускорений у«~,) будут превышать допустимые значения Д™", Д',."'", т.е. те максимальные скорости и ускорения, которые могут развить соответствующие приводы подвижных сочленений манипулятора.

Поскольку ускорения «как это видно из соотношения (4.14)) изменяются линейно, экстремум достигается на границах отрезков, т.е. в узловых точках. Зависимость скоростей от времени квадратичная «см. «4.16)) и, следовательно, ддя поиска экстремальных значений необходимо дополнительно проверить значение скорости во внутренней точке отрезка. Обеспечение ограничений на скорости и ускорение достигается путем изменения разбиения отрезка [~„г„1, например увеличения того временного интервала, где ограничение «4.33) или «4.34) нарушено. Ясно, что при этом время обхода Т = ~„- ~, манипулятором заданной совокупности точек увеличивается, Однако возможен и другой подход, состоящий в минимизации времени обхода и выборе разбиения (~,- », при которых выполняются ограничения (4,33), (4.34). 4.2. Упрэ®лени© мйнишля~о~~~ ® прО©~рйн~~~© КОО$3ДИНЭХ СХВЗХЭ Изложенные в предыдущих параграфах методы планирования и управления в пространстве обобщенных координат хотя и позволяют строить эффективные алгоритмы, однако обладают тем недостатком, что их нельзя непосредственно использовать в приложениях, где задание манипуляционному роботу формулируется в терминах его рабочего пространства или в терминах координат схвата.

Такой способ описания задания роботу широко используется, в частности, в проблемноориентированных языках программирования. В этом параграфе рассмотрены основные методы управления манипуляторами в пространстВе координат схвата. Заметим, что эти методы управления почти всегда сопряжены с необходимостью решения обратных задач кинематики, Пусть ю, как и прежде, представляет собой 6-мерный вектор, опрееляющий положение и ориентацию схвата как твердого тела.

Предпоожим, что требуемая траектория схвата (вопрос о способе ее получения не рассматривается) описывается уравнением ю = ю'~~). ~4.35) Тогда, решая обратную позиционную задачу ~см. ~ 2.3), получаем прораммную траекторию в пространстве Обобщенных координат: ч'~~) =Х '( 'М)) ~4.36) Несмотря на обескураживающую простоту, этот подход позволяет реализовать весьма эффективный метод управления манипулятором, свободный от необходимости учитывать различного рода вырожденные конфигурации манипулятора. Ясно, однако, что он пригоден лишь в тех редких ~луча~~, когд~ обратная задача пО положению решается аналитически ~например, для манипуляторов РУМА и РМ-О1).

Для решения уравнения ~4.36) требуется много времени ~напомним, что в задачах, связанных с управлением, необходимо обеспечить режим реального времени), поэтому можно поступить следующим обраом. Пусть векторы ю, =ж'~~,), Й =1, 2, ..., л., задают множество положений схвата (з, ), характеризующих программную траекторию 183 ~4.35); у, = у'~~,) — множество решений обратной задачи (4.36), Тогда, используя описанный выше метод сплайн-функций в пространстве обобщенных координат, получаем траекторию ф~), обеспечивающую совпадение положений схвата с программным движением в узлах ~,, Ясно, что отличие заданного положения схвата х'(~) от получившегося в результате использования этого подхода я(г) = ~Дд~~)) будет непосредственно зависеть от разбиения программной траектории (я, ) .

Заметим, что решение обратной задачи о положении (4.36) в узлах ~„и построение сплайн-функции фг) осуществляются на этапе планирования, в режиме ой-1~йе, т.е. когда время вычислений не являе*ся критическим, 4.2.2. Формирование програымной траектории Пусть Т, и Т~ — матрицы положения схвата в начальной и конечной точках фис. 4.6): где матрицы Ро., М~ и векторы р, р, как и прежде, задают ориентацию и координаты схвати соответственно, Допустим, кроме того, что задано время т перемещения схвата из начальной точки в конечную. Рис. 4.6. Положение схвата в начальной и конечной точках рабочего пространства Задача состоит в построении непрерывной траектории схвата в форме Т = Т~~), удовлетворяющей некоторым требованиям (например, обеспечение режима разгон — торможение): Т«») = Т,А«п, Ь«»), ф»)), «4.38) где А — матрица 4 х 4, зависящая от следующих параметров: ю — вектор 3 х1, вокруг которого осуществляется поворо~ схвата, совмещающий Л, н Л2; Ь(2) — угол поворота, р(г) — вектор 3311 переноса.

Таким образом, нахождение Т(1) в форме (4.38) означает, что используется теорема Шаля «см. и. 1,2.4), Используя соотношение «4,38), видим, что А«») = Т«»)ТО ', «4,39) т.е. матрица А имее~ ту же структуру, что и матрица Т, т.е. Я«») р«») ООО 1 Поскольку в начальный и конечный моменты времени матрица Т«») должна совпадать с Т() и Т»: Т«»,) = Т„ Т«», +~)=Т,, «4 4О) то„согласно «4.4О), получаем для А следующие условия на правом и левом концах траектории: Р«»,) = Е, Я«», +~) =Я.,Я», «4.42) р«»,) = О, р«», + с) = А," «г» — г,), «4.43) Геперь, воспользовавшись соотношениями «1,17), «1.18), найдем вектор и, вокруг которого осуществляется поворот, и угол поворота Ь«»О+ 1): сов б(г, + т) = 1/2(Т, Л вЂ” 1), (~32 233~ 113 23!с~ ~21 212) где ~1, — элементы матрицы Я«», + т). Окончательно матрица поворота М«») ищется следующим образом: ф») = сок Ь«»)Е+ «1 — сов Ь«»))пи' + яп 6«»)й„..., «4.46) матрица Й„задается соотношением «3.63).

185 Функцию р~~) и входящую в ~4.46) функцию Ь~~) выбирают, например, исходя из условия обеспечения режима разгон — торможение (рис, 4.7, а, б). Ясно, что эти функции должны удовлетворять краевым условиям «4.43), «4.44). Рис. 4.7. Функции перемещения ~а) и угла поворота ~б), обеспечивающие режим разгон — торможение в декартовом пространстве Таким образом, соотношения «4.42)«4,46) позволяют построить программную траекторию схвата в декартовом пространстве в форме Т = Т«~), обладающую требуемыми свойствами, Для того чтобы обеспечить движение схвата вдоль этой траектории, можно воспользоваться методами, описанными в ~ 4.2, либо методом, который будет рассмотрен в следующем пункте, 4.2.3.