Зенкевич_Упр.манип_02 (Зенкевич С.Л. - Управление манипуляторами), страница 4

выполняется усло- вие (3.204), обе формы представления псевдообратной матрицы А", заданные соотношениями (3.206) и «3.209), совпадают, что легко мож- но проверить, если в скелетном разложении «3.208) принять Х,=А, Р = Е либо Х. = Е, Я = А . Одна из особенностей поиска псевдообратной матрицы .У' «у) со- стоит в том, что ее ранг может быть разным в различных точках про- 153 странстна обобщенных координат, поскольку матрица /® функциональная.

Все выведенные соотношения для псевдообратных матриц сохраняются и для случая, когда обращаемой матрицей А является матрица Якоби,У«у), Заметим, что если,У«у) — квадратная матрица и при некотором и = и' Йе1 3(и') = О, то псеадообращение в форме (3.206) не является приемлемым, поскольку в этом случае Йе1«.У' «у),У«д)) = «де1«,У«у))) ' и, следовательно, в точке ~у = у' матрицы,У' и,У вырождаются одновременно, В этом случае следует использовать представление для,У' в форме (3.210). Пр и м е р 3,4. Для двухзвенного плоского манипулятора «см. рис. 3.8) матрица Якоби У«д) имеет вид — И«Я, +Ж„) -ИЗ„ ,У«Ч) = И«С, +С„) ИС„ де1,У = х,.

Тогда обратная матрица Якоби .У '«д, „д,) существует во всех точках «д1, д,), кроме точки «д„лл), Построим сначала псевдообратную матрицу в точках «о„2лл) . Ее скелетное разложение имеет вид — 2 ИЗ, — ЙЮ, — 31 ,У«д„2лп) = ' =и ' «2 1) =ЕК. 2ИС, ИС, С, ВыпОлняя Все необходимые Операции, получаем 1 — 2и5', 2ис, У «Ч1, 27й)=— 5 — ИУ, ИС1 Аналогично можно найти псевдообратную матрицу,У' «д, 2яф + 1)): О О .7 (д„2кф+1)) — ИЗ| ИС1 Нетрудно заметить, что в сингулярных точках имеет место равенство .У' =а,У', «3.211) где а = а(11) — скалярная функция. СледоВВтельно, 2(1+ оу,) 1+ сд, .~;,(ч„ц,'1з,, Ы„ч,) = 1+сд, 1 Рис.

3.11, Распределение допустимых скоростей для двухавенного манипулятора Характеристические числа последней матриць~, определяемые из урзинения ЙеК,У,',.7„— ХЕ) = О, раВны Х,2 — — (3+2сд, +~9+12сд, +4с2~у,)~')~2. При изменении д, от О до 7~ значение Х,' соответствует характеристическому числу со знаком плюс перед корнем. На границе рабочей зоны, т.е. при д, = О и д, = ~~, как отмечалось, оценка «3.227 ) теряет смысл, В остапьньи точках рабочей зоны можно записать: В отличие от ранее рассмотренной оценки, в данном случае можно установить направления, в которых манипулятор развивает минимальную и максимальную скорости, а также найти оценки этих скоростей.

Еще более точное распределение скоростей дает непосредственный анализ формулы (3.224 ), Фиксируя значение у = у' и изменяя ф в области ~ф,.~ < С„г = 1, ..., К, или полагая в более общем случае можно построить соответствующую область Х",, в пространстве скоростей ~, Поскольку ~3.223) определяет параллелепипед и преобразование ~3.224) линейно, то область допустимых скоростей представляет собой выпуклый многогранник или многоугольник, когда рассматриваемая область лежит в плоскости. П р и м е р 3.7, Построить многоугольник допустимых скоростей в примере 3.6 при д, = О, д„= и/2 .

Р е ш е н и е . В рассматриваемой точке уравнение (3.224) имеет вид Рис, 3.12. Многоугольник допустимых скоростей С учетом ограничений ~ф, ~ < 0,1, ~ф, ~ <0,5 область допустимых значений скорости — это ромб с вершинами в точках (1,6; 1,1); ~1,4; О,9); ~0,6; 1,1); (0,4; 0,9) ~рис, 3.12). Максимальная скорость достигается в 162 Недостатком рассматриваемой интегральнОй оценки мобильности является то, что она не учитывает возможность развития скорости в нужном направлении к В связи с этим вводят также оценку мобильиосии 6 данном напраадеиии как максимальное значение скорбсти в этом направлении с учетом заданных ограничений ~3.223). В случае использования эллипсоида распределения скоростей (3.228) эту величину определяют как пересечение луча ~ = л~, проведенного в направлении вектора ~, с поверхностью эллипсоида, т.е. из решения следующего уравнения относительно параметра г 2 т ~ у-1)т у-1 С2 ~3.232 ) При построении многогранников допустимых скоростей определяется пересечение луча ~, = л с соответствующей плоскостью многогранника.

Анализируя оценку мобильности по направлению, определяют область в рабочем пространстве, в которой следует планировать рабочую операцию, если скорость должна меняться, преимущественно, В Заданном наПраВЛЕнии. В качес~~е оценки О~~оси~ель~ой .мйййф~ля~~~йос~и, т.е.

возможности развить скорость ~„по отношению к норме скорости обобщенных координат ф, может служить показатель ж=!!"!Л4 Из нера~енства ~3.26) следует оце~~а о~носитель~ой манипулятивнОСти СНИЗУ: Чем больше Я~~у), тем шире диапазон изменения и„при изменении ф, т.е. тем больше Относительная манипулятивность. Итак, были рассмотрены оценки манипулятивности по отношению к скорости поступательного движения. Значительно реже ~акие оценки дают по отношению к угловой скорости. Тем не менее, при планировании некоторых технологических операций такие оценки также могут представлять интерес, например при захвате манипулятором объектов, имеющих собственную угловую скорость, В соответствии с формулами, полученными в ~ 3.1, угловая скорость определяется выражением, аналогичным (3.224): со = /„~у)ф. ~3.235) где Х' и Х. — максимальное и минимальное из характеристических чисел симметрической матрицы 1;, ~у) ~,, ~~у) . Эти оценки не всегда удовлетворительно описывают качество манипулятора., которое мы назвали приемистостью.

Как, впрочем, и оценки манипулятивности. Дело в том, что мы использовали только уравнения кинематики манипулятора, в то время как его движение подчиняется уравнениям динамики. Очевидно, что приемистость будет зависеть от моментов или сил, развиваемых двигателями степеней подвижности ~~~~пулятора, а также от его инерционных характеристик. Степень влияния динамики манипулятора на его программное движение зависит от многих причин, к которым наряду с указанными относится мощность приводов, перемещаемые массы, развиваемые ускорения.

Эти же факторы определяют и степень достоверности рассмотренных в этом параграфе оценок, особенно это относится к оценкам развиваемого ускорения. Поэтому вернемся к ним после описания динамики манипуляционных механизмов. КОнтрОльные вОИРОсы и зздэнии 1. Что ~а~о~ линейные и угловые скорость и ускорение звена манипулятора? 2. Выведите соотношения (3,19), (3.20) для скоростей и ускорений звена в связанной системе координат.

3, Выведите соотношение для дифференцирования матриц относительного положения звеньев А по обобщенной координате. 4. Исходя из соотношений (3.54)-(3,56), получите рекуррентные соотношения для векторов угловых и линейных скоростей для случая телескопических сочленений. 5. Выведите соотношения ~3.68) для ортогонального преобразования век- торного произведения. 6.

Сформулируйте прямую задачу о скорости. 7. Цолучите выражение для дифференциальных перемещений в форме (3 122), ~3.123) для случая телескопических сочленений, 8. Сформулируйте обратную задачу о скорости и прокомментируйте количество решений в зависимости от ранга матрицы Якоби. 167 у'. Иными словами, задача состоит в определении е = у(~), ~ н ~~„~,1, с краевыми условиями ф~10) = Я' ФА) =Ч . ~4.1) Ясно, что при гакой формулировке задача может иметь сколь угодно много решений (рис. 4,1), если дополнительно не будут наложены никакие ограничения, Весьма привлекательным ввиду простоты реализации, на первый взгляд, является движение по прямой ~в пространстве Д).

И этом случае ее параметризация приводит к следу~ощему результа гу: ф — ф ф — ф ~о Д вЂ” Я Безусловно. необходимо позаботиться о том, чтобы компоненты полученного вектора скорости (4.3) не превышали (по модулю) максимальные скОрости ф, > О, которые могут развить приводы подВижных сочленений: ! ° 3пах ю,~ д, Рис, 4.М.

Перевод мапииудятора из точки в точку в пространстве обобщенных координвт единственным выходом из этого положения является увеличение времени ~, . Эта проблема возникает, вообще говоря, всегда в процессе решения задач планирования, который приобретает итерационный характер. Во избежание этого можно не задавать время ~,, а дополнительно к неравенству ~4.1) добавить условие тах ~ф~)~ = с, Где с — заданнОе число.

В этом случае 1, являешься дополнительнОЙ неизвестнОЙ., которую находят В процессе решения задачи. 171 Однако не будем развивать этот подход, а укажем на недостаток, который делает невозможным применение этого «наивного» метода управления. Действительно, предположим, что в ~оме~~ времени 1„ манипулятор неподвижен (т.е, ф~) = О, ~ <~,).

Тогда при реализации ~~~о~~ у~р~в~~~и~ (4.2) в момент време~и 1, с~орос~~ имеет разрыв первого рода, а ускорение — разрыв второго рода, что приводит к необходимости прикладывать к звеньям манипулятора со стороны приводов бесконечно большие силы или моменты. Аналогичный случай возникает на правом конце траектории, если необходимо, чтобы манипулятор остановился в точке а'. Существует несколько методов решения этой задачи, рассмотрим два из них . Сиециальная параметризация.

Перепишем выражение (4,2) следующим образом: где Ц~) = 14.5) 1 О Если скалярная функция Ц~) удовлетворяет условию ~4.5), то манипулятор осуществляет движение вдоль прямой ~в пространстве Д) с постоянной скоростью, что не приемлемо в силу указанных причин. Выбор зависимости для Ц~), отличной от ~4.5), приводит к тому, что движение будет осуществляться также по прямой, но с переменной скоростью.