1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (Будак, Самарский, Тихонов Сборник задач по математической физике)

23 Содержание (Номера страниш, относящиеся к ответам и решениям, даны курсивом) Предисловие к первому изданию 7 Предисловие к третьему изданию 8 Глава 1. Классификация и приведение к каноническому виду уравнений в 9 частных щюизводны х второго порядка 9 1. Уравнение для функции двух независимых переменивши 9 апп„,+2а зп, +аэзп +Ь,п„+Ьэп +си=1(х, у) 1. Уравнение с переменными коэффициентами (9, 144). 2.

Уравнение с постоянными коэффициентами (10, 148). 9 2. Уравнение с постоянньпчи коэффициентами для функции п независимых переменных Глава П. Уравнения гиперболического типа 12 9 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа; 12 постановка краевых задач 1. Свободные колебания в среде без сопротивления, уравнения с постоянными коэффициентами (13, 152).

2. Вынужденные колебания и колебания в среде с сопротивлением, уравнения с постоянньпчи коэффициентами (1б, 165). 3. Задачи о колебаниях, приводящие к уравнениям с непрерывными переменными коэффициентами (71,1б1). 4. Задачи, приводящие к уравнениям с разрывными коэффициентами, и родственные им (кусочно-однородные среды, сосредоточенные факторы) (18, 1б8). 5. Подобие краевых задач (22, 178). З 2. Метод распространпощихся волн (метод Даламбера) 1. Задачи для бесконечной струны (24, 184). 2.

Задачи для полупрямой (2б„191). 3, Задачи для бесконечной прямой„ составленной из двух однородных полупрямых. Сосредоточенные факторы (30, 205). 4. Задачи для конечного отрезка (31, 208). з 3. Метод разделения переменных 32 1. Свободные колебания в среде без сопротивления (32, 220). 2. Свободные колебания в среде с сопротивлением (35, 230). 3. Вынужденные колебания под действием распределенных и сосредоточенных сил в среде без сопротивления и в среде с сопротивлением (35, 234). 4. Колебания при неоднородности сред и других условиях, приводящих к уравнениям с переменными коэффициентами; учет сосредоточенных сил и масс (39, 255). ~ 4.

Метод интегральных представлении 41 1. Метод интеграла Фурье (41, 2б3). 1*. Переход к конечному интервалу методом отражений (45, 276). 2, Метод Римана (45, 277). Глава Ш. Уравнения параболического типа 47 ~ 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям параболического типа; 47 постановка краевых задач 1. Однородные среды; уравнения с постоянными коэффициентами (48, 283). 2. Неоднородные среды, сосредоточенные факторы; уравнения с переменными коэффициентами и условия сопряжения (49, 287).

3. Подобие краевых задач (50, 289). 8 2. Метод рюделения переменных 1. Однородные нзотропные среды. Уравнения с постоянными коэффициентами (51, 294). а) Задачи теплопроводности с постоянными граничными условиями и свободными членами (511 294), б) Задачи теплопроводности с переменными граничными условиями и свободными членами, зависящими от х и т (53, 302). в) Задачи диффузии (55, 307), г) Задачи электродинамики (55, 308).

2. Неоднородные среды и сосредоточенные факторы. Уравнения с переменными коэффициентами и условия сопряжения (56, 310). ~ 3. Метод интегральных представлений и функции источников 1, Однородные изотропные среды. Применение интегрального преобразования Фурье к задачам на прямой и полупрямой (57, 312). 2. Однородные изотропные среды. Построение функций влияния сосредоточенных источников (58, 31б). а) Неограниченная прямая (59, 31б), б) Полупрямая (60, 319). в) Конечный отрезок (64, 326). 3. Неоднородные среды и сосредоточенные факторы; уравнения с кусочно-постоянными коэффициентами и условия сопряжения (66, 334).

Глава ГУ. Уравненти эллиптического типа ~ 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа и постановка краевых задач 1. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в однородной среде (67, 338). 2. Краевые задачи для уравнения Лапласа в неоднородных средах (68, 343). ~ 2. Простейшие задачи для уравнений Лапласа и Пуассона 1. Краевые задачи для уравнения Лапласа (69, 348). 2. Краевые задачи для уравнения Пуассона (71, 353). ~ 3 Функция источника 1. Функция источника для областей с плоскими границами (72, 35б). 2.

Функцти источника для областей со сферичесытми (круговыми) и плосктвчи границами (74, 3бб). 3. Функция источника в неоднородных средах (75, 374). ~ 4. Метод разделения переменных 1. Краевые задачи для круга, кольца и сектора (76, 31у), 2. Краевые задачи для полосы, прямоугольника, плоского слоя а параштелепипеда (79, 395). 3. Задачи, требующие применения цилиндрических функций (81, 401). 4.

Задачи, требующие применения сферических н цилиндрических функций (82, 422). 2 5. Потенциалы и их применение 51 67 67 127 127 129 137 Глава Ъ'. Уравнения параболического типа 89 9 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям параболического типа; 89 постановка краевых задач 9 2. Метод разделения переменных 91 1. Краевые задачи, не требующие применения специальньи функций (91, 455). а) Однородные среды (91, 455). 6) Неоднородные среды; сосредоточенные факторы (93, 462). 2.

Краевые задачи, требующие применения специальных функций (94,466). а) Однородные среды (94, 466). 6) Неоднородные среды; сосредоточенные факторы (97, 483). 9 3. Метод интегральных представлении 98 1. Применение интеграла Фурье (99, 490). 2. Построение и применение функций влияния мгновенных точечных источников тепла (101, 501). Глава Ъ'1. Уравнения гиперболического типа 106 9 1.

Физические задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа; 10б постановка краевыхзадач 9 2. Простейшие задачи; различные приемы решения 110 9 3. Метод рмделения переменных 115 1. Краевые задачи, не требующие применения специальных функций (115, 527). а) Однородные среды (115, 527). 6) Неоднородные среды (117, 552). 2. Краевые задачи, требующие применения специальных функций (117,534). а) Однородные среды «117, 534). 6) Неоднородные среды (122, 560). 9 4. Метод интегральных представлений 1. Применение интеграла Фурье (122, 561). а) Преобразование Фурье (122, 561).

6) Преобразование Фурье — Бесселя (Ханкеля) (123, 5б15). 2. Построение и применение функций влияния сосредоточенных источников (124, 570). а) Функций влзиння мгновенных сосредоточенных импульсов (124, 570). 6) Функции влияния непрерывно действующих сосредоточенных источников (125, 57б). Глава Ъ'П.

Уравнения эллиптического типа Л и+сп=Г 9 1. Задачи для уравнения Л л-1чагЕарра п=Г 9 2. Некоторые задачи о собственных колебаниях 1. Собственные колебания струн и стержней (129, 686). 2. Собственные колебания обьемов (130, 594). 9 3. Распространение и излучение звука 1. Точечньш источник (133, 611).

2. Излучение мембран, цилиндров и сфер (134, 611). 3. Днфракцьи на цилиндре н сфере (136, 621). 9 4. Установившиеся электромагнитные колебания 1. Уравненьи Максвелла. Потенциалы. Векторные формулы Грииа— Остроградского (137, 633). 2. Распространение электромагнитных волн и колебания в резонаторах (139, 639). 3. Излучение электромапппных волн (140, 650). 4. Антенна на плоской земле (142, 656). Дополнение 1.

Различные ортогональные системы координат 1. Прямоугольные координаты (668). 2. Цилиндрические координаты (669). 3. Сферические координаты (669). 4. Эллиппшеские координаты (669). 5. Параболические координаты (670). б. Зллипсоидальные координаты (670). 7. Вырожденные эллипсоидальные координаты (671). 8. Тороидальные координаты (672). 9. Биполярные координаты (672).

10. Сфероидальные координаты (673). 11. Параболоидные координаты (674). П. Некоторые формулы векторного анализа П1, Специальные функции 1. Тригонометрические функции (674). 2. Гиперболические функшщ (675).3. Интеграл ошибок (675).4. Гамма-функции (675). 5. Эллиптические функции (676). б. Функции Бесселя (676). 7. Полиномы Лежандра (678). 8. Гипергеометрическая функция У'~и, р, 7)(679). ГЧ.

Таблицы интеграла ошибок и корней некоторых характеристических уравнений Литература 668 668 674 674 ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗЛАИИЮ Настоящий задачник возник на основе практических занятий по уравнениям математической физики на физическом факультете и заочном секторе ИГУ. Задачи, предлагавшиеся на этих занятиях, были использованы в курсе «Уравнений математической физики» А. Н.

Тихонова и А. А. Самарского 171 и в стеклографированном «Сборнике задач по математической физике» Б, М. Будака 1121. Однако при составлении настоящего задачника круг рассматриваемых вопросов был значительно расширен, а число задач в несколько раз увеличено. Большое внимание уделено задачам на вывод уравнений и граничных условий. Значительное число задач снабжено подробными указаниями и решениями.

Задачи„ близкие по характеру, снабжены лишь ответами. В главах проведена разбивка на параграфы по методам решения. Все это направлено к тому, чтобы дать возможность учащимся путем самостоятельной проработки достигнуть элементарных технических навыков в решении задач по основным разделам уравнений математической физики. При этом задачник ие претендует на охват всех методов, используемых в математической физике. В нем, например, не рассматривается операционный метод, вариационные и разностные методы, применение интегральных уравнений.