Чураков Е.П. Оптимальные и адаптивные системы (1987), страница 4

Физически олип из механизмов проявлсиия понятия управ. ляемогти заключается в том, ч)о управление П(!) должно оказыва)ь юшяиие иа все компоненты вектора состояния )(((1 (см например, (22) ) !!Сио. что задачу оптимального управления можно ставить применительно лишь к объектам, управляемым и)) Капкану (искл)очая тот случаи, кс:гда 2" 19 неуправляемые переменные состояния не входят в критерий оптимальности). Выявление условий, сри которых объект оказь.кается полностью управляемым, является весг ча с шк иои задачеп, )!анбо, ьшпе успехи достигнуты в случае шшеииых, в !аспюсти стационарных, объектов Если объект управления описывается уравнениями У(з] — "-АУ(з] —; ВОВС г(!) ==СУ[!) ! Г)и(!), где А, В, С, 0 .

постоянные матрицы надлежащей раз мерносхтг, то необходимое н достато шое условие Калмаиа полной управляемости этого вовек~а сводится к с ~еду!хь шсму. Составляется матрица управляемости [см. (Т]) К (В'АВ,А'В' ° .'А" 'В], представляющая собой прямоугольиу!о катрину размерности пХпт, где и н т размерности векторов <осхояния н управления саответс веиио Объект полностью управляем тогда, когда ранг это матрицы равен л. Г!рактически юо значит, что среди пш сто: бцов матрипы К должны быть линеиио независимы и сто.!бцав.

Если управление яв: яется скалярным и В вектор, успение полчан управляемости сводится к исвырождеш!о.ти в этом случае квалратиой и матрицы К Паконец, если матрица А диагонали ая с ра ~личныви эшеменгами [см, представление (В ! !)), то объект полностшо управляем, если матрица В не имеет пуз евых строк Управляел!осгь является внутренним свойством объекта, хак как она обусловлена только своиствами матриц А и В в структуре уравнения ОУ. При формулировке условий управлнемости полагаем, что на управление ограиичевии не наложено, поэтому приведенные условна управляемости отражают как бы потенциальные способности объекта быть у~ равляемым. Так как во многих реальных условияк иа 0 (з] излагаются ограничения, то потенциально ио Калл1аиу полностью управляемы[!! объект практически может оказаться неуправляемым в связи с тем, что в жестко ограниченной области допустимых управлений не удастся относительно некоторых У([„) подобрать допустимые управленвя, нереводяшие объект нз У(з,) в У(Т) =--0 В этих случаях возникает вопрос о существовании оптимального управления для данного объекта при конкретных ограничениях и начальных состояниях.

Соответствуюшие исследования проводятся с использованием понятия достимхимости. Состоя- 20 :-"::-""!:,;вне [У(Т), Т) называют достижпл!ызг из походного состояния (У(з„), с,) относительно Р[[)), если найдется такое Г)еэО ([!), при котором объект за конечное время Т. переводится из У[!з) в У[?). Совокупность всех достнз.иных состоянии образует мнозкество Г, называемое ооха стью до гкх измял со ноякин в момен. Г из (у([„), г,) ио отискиеигпо к О([]) Если Т вЂ” ьсо, то область Г', расширяет ся и преврашается н об. а: гь управ.

келгосгп Г.. Славить задачу огтимальнога управления имев~ сл~гзсл липы в том случае, ес !и предусмотренное задачек конечное состою!ие Объекта ирн;!адлежит облаем досюокилихх состоянии Выявление этих областей самостоятельная и сложная проблема, входящая в обшую проблему сушествования решения зачач о:тима: ьного управления и исссле гусман на охновании ряда не рассматряваемых адесь подходов (например, [3].) К счастшо, в большинстве технических постановок зв. ач соответствуюшие условия выполняются, и а этом смысг,е иаи и начальные утверзкдекня о миогочнслениостн иутси решения задачи управления оказываются оправдашгыми При постановке зада нг оптимального управления мы полагалн и.костным начальное ш стояние У(з,) Г!рп ии жеисрном под~оде к проблеме зто положение ие вызывает нарекании. если век:ор состояния у(!] мозкно измерить Одна~хо реально изме! яются не компоненты вектора состоя ния, некоторые из которь!х могут и пе иметь явного фнзи чес..ого смысла, а выходные и входные кооршшаты объекта.

т е. векторы Х(!) п О(!]. В э!их условиях во пнкает необхо пмость по наблюдениям за выходом объекта Х(!) и его вколол~ [)(!) иа некотором конечном временном отрезке [[в, Т] нос: тапавливать начальное состояние объекта У(зч). Возможность голобного восстановления называется нпбзк давностью. ! сварят, что нскоторос с~ сжяиие [У (й ), (с) иаблюдаемо, если ирн заданнол~ [з(!) сушествует такай конечный промежуток времени Т вЂ” [„что знания входа объекта [)(!) и вы~ода Х(!) на этом нромежутке доста'точно для определен1!я у([к). Если каждое сосгояхке У(ха) .в любои меме~!т з; являешься наблюдаемым, то обьект по Калману называют лолмоспю наблюдоемылс Проблема наблюдаемосю!, как и управляемое и, наиболее просто решается для линеииых стационарных объектов. С .этой целью на основании уравнения состояния ОУ составляется матрица иаблюдаемости Г) . (Ст!АкСт (Ат]зСт' .

'[А']"-'С') 2! .ш ам;;и имеющая размерность 4>Х«41, где (. размеряость вектора Х!1). Для полпой иаблюдаемости объекта иесбходимо и достазочно, пабы ранг лгприцы Н был ранен и, т. е. чтобы среди Ы столбцов этап матрицы и столбцов были лкиейиай иезависимы Ес, и объект одномерпыи и С асктор строка, то условие иаблюдаемости сводится к треб4 валяю иевыра:ьде4 пасти матрицы Н, т. е к ие равенству кулю очредел,пел>4 «тай матрицы Прп диа аиа: ьиоп матрице А объект полностью паблвдасм, когда матрица С ие имеет нулевых столбцов. Наблвдземость, как и управляемость, отрля.ае4 виутрениие свойства объекта.

При последующем ра смотрспии проблелл оптимального уиравлеиия будем негде ио полагать, что условия управляемости, наблюдаел>ости я лостижиллости выполняются. » Х 4 К»Ь««ЧОМНЬЧК» ЗЬДЬЧ Оо«ИМЬ»ЬИОГО ЭП»*»»»Н«М >С,аы ифилаи44я любь х зал..ч яаг4яется р 4в.шаг. а обымг 4й ПРацгДуроп, опрггелясмой Разл4«чН>ал4И 44Ри4П,; кама, поэ«4шу ограни 44 моя систематизацвси иапболсе рас. пр,стр; 44п4нь х вариаптов за.ач оптамальиог >п; ап;ения 1 Сформ> .пров, ьиая за,л 4а о, тима "ы ого т~ рз44аеипя прслсолз асц 4то оптима, 4п. г у4 равлсике 0(4) пиш4ся к„к фуп. иия врсмсни 1 Такой стратегии чи(4зк с. иия сот гвстстаует разо«444~4>пая с44с«44а, пе имшоц4ая абра ньж спя 4ей и раб,та4ощзя по сущсстзу в зр 4рвммиам; 4чьиме По«тому 4а>гз 4у иа4ь4вэ4от ала „«4 о44ги»4а 'ьиого ира рпм 44ног44 ц44рпилл н44л 2 Из пракп числит сообрак еви4 болел и,4п ьш яа 4»- етсЯ 4~она>4 огпп4зль>и,го УпРавленкЯ в )п4;ьш4п в4ктойав состоя 4» 3 ла~ о4" »а чш4сти44я 44 В * 44>'ш4 44., 4 4 и фгрм« Ь(У((),Х(!), Р(г)) Э" о«4у со 4ве«с.в>от ~ оябиинргюз4еэя сист4 и; у4:рзвл4и.4я.

абладаюи;ая ьзк; .4" мл абпатпщ4 свя и и кг'чпсисаш>и возму4цшп4и Прю4м>ш4. 4вл "4акил сис4см по сраваопи4о с раэамк;узы44и харак а жлвсстпь4 Зач; ча \ъравле и я в этом сл> ~ае сзо,ится к рагрзбг тле такого ал4ори ма уьрчвля4оше о >с4ройства или сп сэр>ктуры к параметров п! и которых пз ап4ога ппн ииформаиии об У (!), Х(1), Г(() а каждый момс4 т вр.

ме4~44 вы'пс: ястся дги устимое управтен44е, даст> вя4ои>г. экстрам>м показзтег4о ка ~сства В с,4>чае эг,4 иам4,»4 с>4стсмь4 огпима ~4 кое управ.4сиис и>истов как фупкы4я сост44я4и44 О(У(1)) Подобпьк' зсл4ши «пти«444тац4о4, соь!ввшк«а, 44ь с оргаи44 аиией ош4ималы4ы, проис.,ур Ь (У, Х, Г) или О(У) и приводящие к системам с обратными саязямп, 22 ;;."; ' ирина го называть задачаця сишеэа опгилильн 442 улрлалвний.

В ии к«парном отношении ззи задача представляют болыпия иитсрес, чем задачи агтимальиаго ,'4рогр 4мт п4 го :%:,:(т) >гирав. сипя, тзк каь приводят к за»444нутьп4 систсмам, ио в математи ~еском отпошепии их решение час:о ола ы вистся гатсе сло»киым Решсиия оптимальных задач существеипо оград '4явгся ограпич«44иями 44а сглотав~ пн ОУ и время управ 4е4п4я 11 эп444 .»риш4аьак аы:,гг яю44я 1.

Задача без ограничения иа переменные состояния. В этих сл>чаях >славия (В. 28) снимаю ся и псрсмеииыс сос:ояп44я могу~ прпиал;е.кз.ь всему чр ы р;шсгву состоя444>я 2 Задача с фиксированным временам. Зд ш арама Т явг яс|ся изаестнои фиьсирава44иои вели 4ичап 3. Задача с закрепленным правым концом траектории.