Чураков Е.П. Оптимальные и адаптивные системы (1987), страница 2

Ь)(1;, (В.(1) 2. г!сдостаткосс пзссожсннаго принципа перехода к уравнениям состаянсся является необходпмоссь решения характерпстнческо*,а уравнения (В 6), что с ри б сиших порядках полилома А (з) предстевляет трудоемкую операцию. Дополнительно в случае комплексных корней карактерпстипткога уравнессня коэффициенты уравнении со стояния такгке оказываются комплеьснымл ]48], а это существенно усложняе численный анализ этих уравнений.

Пряхсеняют и иные способы перехода, прл которых уравненвя состоянлл окажусся другими, по па-преэкнему эквнвалетными исходному (В.4) в вышеабусловлеилом смысле. Если леха!гное уравнение разреши~ь относительно старшеи пранзводнол, о можно васпользоватьсл тсзлсгкеннысс ниже (см. п. 5) способом перехода В иных случаях раслрастранениып способ перехода, основанньш яа введении переменных состояния ло правилу ]12] у,=-и„г- — Ь„и; у.,-.— у,+а„,г Ь,и; у, - у,.—, и,,г-- — Ь„,ьп.луз: — у,, У а,г — Ь,и, (В.12) 9 где для упрощения записея принято ](Г) = — -О, приводит к следу!ошей !гатри:!ио-вскторпон форме урлниаиии состояния. У (Г) ...

АТГГ) ', В»(], г(Г', Сарр!)»г!и !Г) (В13) Здесь А-. квадратная гг-»!атрида; В, С вЂ” и мсрныс вс!ыо. РЫ; г! — сказ яр, опредсляемые сост! Ошсииячн С" .. ]! а, 0,0,,0]; ГГ-. ', и,, па, и, 0 0 ...00 ла „0 0 и, ...00 А фб а.,; 1 и, О 0 0 ...6и л„О 0 0 ...00 (В.! !) л а, а,б„ В (В )!), (В !3) переменные ссстояиия имеют рвали! иый смысл. Однако с папашью слепил.!ы!об темеды пере меинь!» мол ио огушесгн!юь перс»ад от однсго уравнения к другому (например, ]48] ). Пр ме В.1, )мпалю»з югш рзможюна на злемевтзрн»е зраример й, ь»н и !рази*|»~ га г з фаине !В1!) Лля объекта у:Гавлс нкя, аюк знаем»на трзг»нею»ем 2г00 -'. !бг|Г)-1-!2г(Г! —.2»г(Г) *, игг).

хграътеба,;в«сека» травке нс 2»а !Ск-' !2 ..б »шее» к:,рнн з =-. — 2, зг=. -3 Иа вмюеа: каеюнаых,ас:ююгннн глслгет О1, Е !9 След, за аль ~с, раза *акз се»галина нк»еют згл гни 2,»г аз. - 19иг2, г У, !.Уг" и У»в:»еак, чта з,ао»:степ и с ю!вычн лаумк !Газик ячн этсй гнгюыы у 9и;(гг-2»2), и,= 19иу((д ! 3)2) н аадггаклю нх зна чем!я з тр.гье !ба~ »ен к., арнхалв» к юх акиму !рззнеьню сбюкта. Э. -.

Ре ультат * зале»ельстзуег аб эквивалентно тн айаг фарм мате»~атаке»ъаг»з .ми акая аоггюз. Пример В,2. Урагюекз абъег га ю ирнчера В! представить в форне (В.13! В гаагвегсганн с (В 14) нахалнч е нг (В.1!) .лел!ю, ~пм чые гразъеяня скт"кюы у,—.- — тгг» ! д,— ГШ» в„...

- бг,— !!и, г у,б-а. 2 3 Если лпффсрен.ируюшни опсратср В(р) нз (В.4) имеет поряд»к лгю л, то переход ь уравнениям состояния »!остаточно пр сто осушеств'юь пс слсдуюшси схс»ге [7]. Пот!букин )(Г) .. 0 и обозначив г(Г)г В(р) -.=гг(Г)гг»4 (р):-=у» представим г(Г):- (Уа-уб,,Р ! .. +ЬыР-] 40 и(!] =-(а,-'а,р!.... »аир")у . Перс!ле!!ныс состсяпия у,=--у„,, Г=), и .); у. = — (г П,у, л,ух - ...

п,,у,,'*, а, прн атом г(Г) — беу,)б,ут( ! бюу,„ю В матричпых обозначениях уравнения состогпшя приоб- рета!от впд Е 0 1 0 0 О 0 ае а, аа 0 ., 0 о 1 'У;Г)+ Ра Ггнгю аерк:и. юга 1!маке» ггк са зеки атг»аси»елька Л, устаюазч и,— -.(11и !Григе(г ~ бр б). Вгик агат ре улыат пал»твены е па ладны у; зга» юе, г зрим.ч к и:лаан му !! завез»на абъекта.. Такнк» абраг»:и н е арак фариа врелгтазленв; урзене»нн га танина м внаален.на ю» и и:ыу ургююкню Сами же .сремы ные ге*»алкая з анан» лукзкк кчгю гз»южнее »люеделенае Обратны зьиыазкг ва ~тз в »лучке арш газлеюю (В 11) матрнна 3 язлкетга лиаганалююь, в та згечя ~ ак магрю,а А тгю сваю таам не обладает. 9 сиота очередь 0 0 а,'(1) - ~~( !)'( )рю«[аа~(йа,(1)1; , (18 0 ! Ь;(1) ~~~(-!)'~ ' ~)р"-[Ь!(1]п«(1)) ( " ~= --'-' .

(1) [Ь„Ь,, Ь„«О ..., О] У(1). Отметим, что персмснпо!с состоянкя в данном случае не содержат явного физического ст!ысча и являются абстрактными натегорняь!и 4 Часто свойства ОУ ичиеняются во времени, г. с ои иестациоиарс.! Если объсь! линю!шмп, то ф рмально нсстацнонариост!, проявляется в точ, !!о ьсьффицпенты в уравнении объек!а !г!меняются ао в(|ех!тты!! и являются некоторыми функциями времени. У ранимее тако! о объекта прн )(1].=.0 имеет вид ~ о,(1) (1! ~ Ь,У) '(1] (В.10!] Прячем, каь и в случае с!ац!юнарпого объе! та, а«(1) чеО, а часть ос!алш!ыт козффш|иецтов ч ь! ет обращаться в нуль. Уравнения соьтстяния для такшо об! скта пол)чает в форме, подобиоп (В 18): у(1] «=Л(1]у(1) ! В(1)ь(1)1 г(1):=С'У(1); |1(1) и(1) (В 16) Однако квадратная и-матрица Л(1), и мерный вскт! р В(1) и ока.

яр с((1), формируюппн зти уравнения, ян.!я|отса функциями крсмепи и совместно с и мер;!ым вектором С вычисляются в соотве!степи с выражениями -( 1)но,'. О1] 1 О... О О, (- 1! 'а,',, (1) О 1... О (! [ (- 1]са,"(1) 0 0... 0 1 [ 1)„Р] О О...ОО! О ( 1)™Ь, (1)а„:|1)-т. (- 1)" '1. !Р) р 1 .. 1 ( - ! у" 'Ьс (1) и„. (1) -, '( - - 1 )н ' Ь„...т (1) В !'1) | ( ! !" 'Ьт (1) и," (1|+( - 1! Ь; (В !(«) « -(- -1)'Ь«(О, (В.(7) 12 (В.21) ны у; В 22) и .ь|я киями вести !ются мож- (В.22) у(!) . ду(!): Вн (!)| у ~рт ~, д ~ 1~ В ~ о (В.!8) й От !и.!инсйнь!х уравнен! й к уравнениям состояш|и перело,! наиболее просто осушсствляемя в гом случае, когда пелиненное уравнение нс содерам|т производных от управляющего воздействия п может быть разрешено отно.

сите. ьио старшей прои сводиоп выходного процесса. Пусть объект оии ывается уравнением 2[г(1 гИ, .,ге|Ой (1)1 =-О. (Б,19) которое можно разрешкть относительно г'«:(1): ст«41) —. 9[г(1) г(1),г« ' 1); (1)]. (В 20) Обозначив г(1) — У,(1), введем переменные состояния по правилу У,|Ц.— 11а(1),У,,'П . У,'.11,; Уа ~ (1) .— У«(1) Та!с как в соответс.в!.и с опредслсниеч всличи нмееч у,:-"г'ч, то пз (В.20) с учетом (В.21) следует р, (1]: —.ф[(т!(1), ут(1],,р,.(В; н(!)!.

[ Уравнения [В.21] и (В.22] совместно с уравнеш!е выхалнон координв!*и объев|! г==шу! и будут уравис состояния для случая (В.!9) Если н рассмотрение в вектор-фушсцпю тр(у), комп ~ыентатн! которой явл! правые части (В 21), (В 22), то уравнения состояния по представить в матрично-векторноп форне У (1) — т(г [Т , '1), и (1)], г (1) = С У 0), где вектор С определен а соответствии с (В.)7) Э!ш ив~од перехода к ур восннчн состоанна часто праненвют н к пнвсйвнч уравпанннь!, прспв ратеаьнс рв репине!ш атно нтеаьно старше» проч«д! оа Так пла принс.

~а В |, оео нанна ахмстную правую часть раап ннн череп н,|*0 н поломав г — -уь в оатвстствнн с (В2!) и (В 22) поаушн И, -рь 'е- — йу,— бр, 05«, нан в матрнч- но векторной форме б Изложенные полходы к образованию урависшш со стояния успешно можно применять и к многомерным объ сктам. В результате услок няю ся соотвсчств>тошве >рая пения, однако внешняя структура их сотранясзся Поэзо му в ш след>юшем будем полагать, шо уравнения сос ~он нпя объекта в достатошо общем сл> ~ас имеют впл У(1) ь)г(У,1],113) 11 ХП) Ф(УД)113, 1) (В 24) Здесь У(1) — и-мсрнып ве:шор сося яния с компонентами Уь уг,,д.,; 0(1) т-мерный вектор управлений с ~ом- понентамн иь пз,, и„й Х(1) .— 1-мсрнь н век~ар управляе- мых ороцессов с составляющими гп г„.

г; Ч' . л-мер- ная вектор.функция с комп~ нснтамп 4,, 4„. Ч..; Ф вЂ” 1- мсРиаЯ вектоР фУнкЦиЯ с компонснтамн Чп ~Рг, Иалн ~ие сзмостояте, ьишо аргумента 1 в (В.24] >назы- вает на явную зависимость вектор-функпий Ч", Ф от врс мели, и такие объекты называют игазтоноиныип (31]. Фн. зическн неавтономность о~на заец шо и об,скту помимо (](1) припоя'сны п другие внешние воздвктвиг Е(1) Прп отсутствии аргумента 1 сс тему (В 24) называют гиггонои- нои Функции Ч" и Ф предполагаются одкозпачпымн, а >рав- нения состояния удовлетворяют т.оречг гии стиованизг и единственно~ ти рггиенил Так как вектор Х(1) однозначно находится по у(1), 0(1), то час~о о.

рапичнваются абьек- тамн управления, описываемыми т~ лько первым пз урав- нений (В 24) Прп этом нрш:имают, что выходом объекта управления является вскт ~р состояния. Именно ты.ой точ- ки зрения нз математическое описание ОУ буч.ем придер- живаться в поспел>чогггсм 7. Изложенные подходи к математическом описанию непрерывных объектов применимы н к днскрстгцчм обьск- там, у кот. рых все входные н выходные процсс~ ы рею>ст- рируются только н дискретные моменгы времени 1г, 1ь 1з.

Такие объекты опнсываютгя нс лифферснцна,нымн, а рпэностньглггг уравнениями, связывающитш дру, :с пру:ом выходшгс и вхолные процессы в разшшные гнскретные моменты времени Применительно к одномсрн: му лпск1ет- пому ОУ разяостное уравнение и-~ о порялка в общем слу- чае имеет вид 9(гкж„„, гь „,иь сю„. чк,:, (е В. > — О, г/ш гь=г(Ц].

Это уравнение, как и в непрерывном случае, руководст- вуясь принципами, близкнмв к излогкс шым, заменяют п 14 разностныь~и уравнениями первого порялка. В результате математическое описание мнсжомерного дискретного объекта в обобщенной мзтрпчпо-векторнои форме свод>гтся к систск е уравнений Ук„, . Чг(Уы(]ы1|); Х,:= Ф (Уь,ОЬ Ц) (В 2,) в сш заве ког рых гмыс,овсе содержание символов совпадаег с ~аковым а (В 24), но все пропсссы рассматриваются в указанные ласкрст;ыс моменты вр пени Вг. цель и ЗАДАЧА упРАВления Введем в рассмотрение ь-мерную систему координа~, по осам котоРои бУдсм озклад:звать величины Уь У„ ,У„ (рис.

В 3). Графи ескп по юбную свете гу мохсно отобразить лишь прп л=1, 2, 3, в остальных случаях она не подластся геомегричсской питер.ретацин и вводится как утобный д..я посс сдуюшег~ из,ю,кения абстрактнып прием. Пространство, карактсри,ускюе этои системой когрлппат, прпня~о называть прог ггюн слон состоянии пли фгитоаьгл лросгранггаои В некочор пх работах под фазе вым простраисчн. м пшпшз>от тот ный случ: и ьр странства со- У ма (г) встственнш выкщ нш» про цс г) са объекта, ока)п стн пзмсие ,:ц(м) з>, ния выход >ого г>р~ цсгса. усьо- О $ Угйа) ргнпя и т ° (примени ельно 17 Уг к одномерному случ,.ю). Одна Угйз) 1 ~ ь ко мы пс будем лелать разли- й Ф чия мел,ту этими зермннамн, считая их синоп тами Пусть в искоторыи момент Рн.