demidovich-zad (Бараненков Г. С., Демидович Б. П., Ефименко В. А. - Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов), страница 9

Вычислить в точке (1; 2) длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали. 648. Найти. подкасательную кривой у = 2" в любой ее точке. 649. Показать, что у равносторонней гиперболы х* — у* =а' длина отрезка нормали в любой точке равна полярному радиусу втой точки. 650. Показать, что поднормаль гиперболы х' — у' =а' в любой ее точке равна абсциссе атой точки, хэ З~ 651. Показать, что подкасательные эллипса —, + —,:= 1 и окружности х'+у'= а' в точках, имеющих одинаковые абсциссы, рав- 61 приложения пгонзводнои ны между собой.

Какой прием построения касательной к эллипсу отсюда вытекает? 652. Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной н поднормали у циклоиды х = а (г' — з! п г'), у=а(! — созг) в произвольной точке. 653. Найти угол между касательной и полярным радиусом точки касания у логарифмической спирали г = ае"е. 654. Найти угол между касательной и полярным радиусом точки касания у лемиискаты г'== а'соз 2~>. 655.

Найти длины отрезков полярных касательной, нормали, подкасательной и поднормали, а также угол между касательной и полярным радиусом точки касания у спирали Архимеда г=а~р в точке с полярным углом ~р= 2п. 656. Найтидлииыотрсзков полярных подкасательной, поднормали, касательной н нормали; а также угол между касательной и полярным радиусом у гиперболической спирали г =. — в про- Ф извольной точке <р = р„; г = г„.

657. Закон движения точки по оси ОХ есть х = 31 — Р. Найти скорость движения точки для моментов времени: 1,=0, г',=1 и 1,=2 (х дается в сантиметрах, à — в секундах). 658, По оси ОХ движутся две точки, имеющие законы движения х = 100+ 51 где 1) О. С какой скоростью удаляются эти точки друг от друга в момент встречи (х дается в сантиметрах, г — в секундах)? 659. Концы отрезка АВ = 5 м скользят по перпендикулярным прямым ОХ и 01' (рис. 16).

Скорость перемещения конца А равна 2 и/сек. Какова скорость перемещения конца В в тот момент, когда конец А находится от начала координат на расстояний ОА=Зм? [гл. и ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 62 880*. Закон движения материальной точки, брошенной в вертикальной плоскости ХОг' (рис. 17) под углом а к горизонту с начальной скоростью о„дается формулами (без учета сопротивления воздуха) х = о,1 соя а, у = о,1 з!и а —— а1~ 2 где 1 — время, д — ускорение силы тяжести.

Найти траекторию движения и дальность полета. Определить также величину скорости движения и ее направление. Рас. 17. Рис. 16. 661. Точка движется по гиперболе у= — так, что ее абсцис- 1О са х растет равномерно со скоростью 1 единица в секунду, С какой скоростью изменяется ее ордината, когда точка проходит положение (5; 2)? 662. В какой точке параболы у'= 18х ордината возрастает вдвое скорее, чем абсцисса? 663. Одна сторона прямоугольника имеет постоянную величину а= 10 см, а другая Ь изменяется, возрастая с постоянной скоростью 4 см1сек. С какой скоростью растутдиагональ прямоугольника и его площадь в тот момент, когда Ь=ЗО см? 664. Радиус шара возрастает равномерно соскоростьюбсм/сек. С какой скоростью растут площадь поверхности шара и объем шара в момент, когда радиус его становится равным 50 см? 668.

Точка движется по архимедовой спирали г =- а<р (а= 10 см) так, что угловая скорость вращения ее полярного радиуса постоянна и равна 8' в секунду. Определить скорость удлинения полярного радиуса г в момент, когда г = 25 см. 63 ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 666. Неоднородный стержень АВ имеет длину 12 см. Масса его части АМ растет пропорционально квадрату расстояния текущей точки М от конца А и равна !О г при АМ=2 сж. Найти массу всего стержня АВ и линейную плотность в любой его точке М.

Чему равна линейная плотность стержня в точках А и В? $5. Производные высших порядков 1'. Определение высших производных. Производной второго порядка илн второй нроизеодной фуннцин у=)<(х) называется производная от ее нроиззодной, т. е. (у')' Обозначается вторая производная так: й ту у", или —, или /" (х). йхз ' йзх Если х=)(!) — Закон прямолинейного движения точки, то — есть уской!э рение этого движения. Вообще, лроиэеодной лню лорядка от функции у=.-г'[х) называют производную от производной порядка (л — 1). Для и-й производной употребляются обозначения у<"з, илн —, илн )""< (х).

йну йхч ' П р ии е р 1. Найти Вранээодную 2-го порядка от функции у=!В (1 — х). Р е ш е н н е. у' = —; у" = ( — ) ! — х ' (,! — х) (1 — х)з 2'. Ф о р м у л а Л е й б н и ц а. Если функции и =-Чз (х) н о = ф (х) имеют производные до л-га порядка включительно, та для вычисления л-й производной произведения этих функций можно пользоваться формулой Лейбница л (л — 1) (иа)<к<=и«" э+ли«-зз М + и<" <<а" +...

+ив<из. 1.2 3' Производные высших иорядков функций, заданныя и а р а м е т р и ч е с к и. Если йзу то производные у„==- —, у„„= —.... последовательно могут быть вычис. йх' йхз ' лены па формулам: у< - / , ° (у.')< - (у..)< Ух.= †. Ухк = <Ук) х = , Уххг = , и т. Д. хг х< хг 64 (гл. и днаэепанцнповдннв функции Дли произзодиой 2-го передке имеет место формула к»уи — киу» Укк = (,')з Пример 2. Найти у", если (== к=асоз», У=Ь и!п».

Решение. Имеем р (Ь з»п»]» Ь ° соз» Ь у'=, = . =- — с(ХФ (а сои»)» — аз!п» а ( Ь Х' Ь, — ! — — с!х») а )» а Мп» Ь у (а соз») — а з(п» а' Миз» А. Производные высших порядков явных функций Найти производные 2-го порядка от следующих функций: 667. у=х'+7х' — 5х+4. 688. у=е" . 669. у =з|п'х.

670. у=!п~~Г | -|л'. 671. у=!п(х-»-)'аз+хе). 872. ((х)=(|+х)агс1их. 673. у = (агсз|п х)'. 674. у=-ас)» —. а кз+2к-|-2 675. Показать, что функция у= 2 удовлетворяет дифференциальному уравнению 1+у"=2уу". 1 676. Показать, что функция у= — х'ек удовлетворяет дифференциальному уравнению у" — 2у'-|-у=е"'. 677. Показать, что функция у=С,е- +С,е '" при любых постоянных С, и С, удовлетворяет уравнению у" +Зу'+2у=-О.

678. Показать, что функция у = ез" а|п 5х удовлетворяет уравнению у" — 4у'+ 29у = О. 679. Найти у'", если у=хи — 5х'+7х — 2. 680. Найти ~'" (3), если ~(х) =(2х — 3)'. 68! Найти ут от функции у = 1п(1+х). 882. Найти у"' от функции у=з|п2х. 683. Показать, чта функция у=е-"сазх удовлетворяетдифференциальному уравнению ую + 4у=О. 684. Найти )(0), 7'(0), /.'(0) и уао (0), если 7 (х) = е" з|и х. 685. Уравнение движения точки по осн ОХ есть х = 100+ 5! — 0,001 !з. 3 51 пеоизводные высших поеядкоа Найти скорость и ускорение точки для моментов времени ?,=О, 1,=1; 1,=10. 686.

По окружности х'+у*=а' движется точка М с постоян- ной угловой скоростью со. Найти закон движения ее проекции М, на ось ОХ, если в момент ! =0 точка занимает положение М,(а, О) (рис. 18). Найти скорость и ускорение днижения точки М,. Чему равны скорость и ускорение точки М, в начальный момент и в мо- е н,,х мент прохождения начала координат? Каковы максимальные значения абсолютной величины скорости и абсолютной величины ускорения точки М,? Рд. 1В. 687.

Найти производную и-го порядка от функции у = (ах + Ь)" (и — натуральное число). 688. Найти производные и-го порядка от функций: а) у = —,„.„б) у = ) 'х. 689. Найти и-ю производную от функций: а) у=з!пх; д) у 1 б) у=соз2х; е) у=,*,; 1*» в) у=-.е-'"; ж) у=а!и'х; г) у=1п(1+х); з) у=-!п(ах+Ь). 690. Применяя формулу Лейбница, найти уы>, если: а) у = — хе»' г) у=— 1+» у» б) у=х'е '"; д) у = х' ! п х. в) у=(1 — х')созх; 691. Найти ~'»'(О), если ((х) =!и —, 1 Б.

Производные высших порядков функций, заданных парамеп1рически, и неявных функций Веу Найти — — от следующих функций: вд» ( х=агс1и1, ( х=агсз!пС б) 1 „!и(!+1,). в) ! „), !в 1, ( х= асов»1, б) ~ у=аз)п»11 ( х=-!и1, 692. а) ) „ ( х=асоз?, 693. а) ) у=аз!п1; 3 пад дед. Б.

и. д»мидов»»а 1гл. и 66 диоевввнцннованним'нкцни х=а(1 — в(п1), ( х=а(в(п1 — 1сов(), д = а (1 — сов 1); г) ( у = а (сов!+ г в1п 1). 1 х=соз21, Ф 2 1 ( х=е-" (х 1пг, б) 1 1 — Г' ( х=е'сов1, 696. Найти ~— „если 11 у еау ( х=1п(1+1'), 697. Найти — хУ при 1=0, если ~ „ 698. Показать, что д, как функция от х, определяемая уравнениями х=в1п1, дц ае'г '+Ье-""', при любых постоянных а и Ь удовлетворяет дифференциальному уравнению (1 — х') — „— х — = 2д.

Еау оу оха Ех Найти у"'= —" от следующих функций: Еха ( х=вес1, (х=е 'сов1. 699' '( у=1К1. 700' '(у=е тв(п1. ( х=е-', 1 х=1п1, 701. ~ д 1, 702. Найти,—,хе, если ~ „ 703. Зная функцию у=1(х), найти производные х, хим об. ратной функции х=1-ь(у). 704. Найти у", если х'+у'=1. Р е ш е н н е. На основании правила дифференцирования сложной фуввции имеем 2х+2уу"=О; отсюда у'= — — и у"= — ~ — ) = — —.

Подстав~у) у' лян вместо у' его значение, онончательво получим: у'+ х' 1, у уа уа Определить производные у" от следующих функций у=1(х), заданных неявно: 705. у'=2рх. х' уа 706 аа + аа =~1. 707. у-х+агс(ау. Еау о ах 706. Имея уравнение у=х+1пу, найти — „, и —,. $61 дифевркнциллы первого и высших порядков 67 709. Найти у" в точке (1; 1), если х'+ 6ху+у' — 2х+у — 6 = О. 710. Найти у" в точке (О; 1), если х4 — ху+ уа = 1. 711. а) Функция у задана неявно уравнением х'+ 2ху+ у' — 4х+ 2у — 2 = О. Найти „вЂ”,, в точке (1; 1). г(ау 6) Найти —,У, если х'+у'=а'.