1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (Голубев Основыu), страница 9

Найдем компоненты тензора Л: е е Т(ер,е ) = ~~ т!(г! х ер) (г, х е ) = ~~! т!ец [г! х (ер х г!)] Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства или Т(ер,е ) = ~~ теее[ерр! — ге(г; ер)]. г е=! Пусть р = д. Тогда » ,7 = Т(ер,ер) = «п!![с~ — (г! ер) ], р = 1,2,3. !»1 Величина 7рр представляет собой момент инерции относительно оси, направляющий орт которой имеет номер р.

Как уже отмечалось выше, осевой момент инерции урр равен сумме произведений масс точек на квадраты их расстояний до соответствующей оси. Предположим, что р ~ !7. Величина Ур — Т(ер, ее) = — ~ пй(ер г;)(е г;)] называется ценшробезеснмм моментом инерции относительно плоскости Оер, ее. Вернемся к определению формы Т(х, у) и преобразуем смешанное произведение; » Т(х, у) = у . ~ пе! [г! х (х х г;)]. Изменяя порядок суммирования в выражении той же формы через тензор инерции, можно получить з з Т(х,у) = ~~! уе «,7резр.

е»! р=! Определим вектор я = е!е! + стет + езез с помощью соотношении » я = ~~~ т![г! х (х х г!)]. Сопоставив два выражения для Т(х, у), получим 3 з ед —— « ~,7рдкр — — ~~,7ер*р, !7 = 1, 2, 3. р»1 р=! Таким образом, тензор инерции порождает в пространстве В~ линейный оператор инерции Л, переводящий вектор х в вектор и. Форма Т(х, у) может быть представлена в виде Т(х,у) = у я = у Лх. Е 8. Геометрия масс Пусть теперь е — произвольный единичный вектор.

Напишем момент инерции У„соответствующий направлению е: и У, = 'Т(е, е) = ) т;(гу — (г; е)г], ьп1 Выберем вектор х = е/и~1,. Для него 'Т(х,х) = 1. Другими словами, конец вектора х принадлежит поверхности второго порядка. Если для любого направления е справедливо У, ~ О, то эта поверхность ограничена в пространстве. В этом случае она представляет собой эллипсоид, который называется зллипсоидом инерции. Теорема 1.8.1. У, = О тогда и только тогда, когда все точечные массы рассматриваемого множества принадлежат оси с направляющим вектором е. Доказательство. Если все точки принадлежат оси с направляющим вектором е, то их расстояния до этой оси равны нулю.

Значит, д, = О. Обратно, пусть У, = О. Но г", по определению есть сумма произведений положительных масс точек на квадраты ик расстояний до рассматриваемой оси. Равенство нулю такой суммы может быть только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю,С1 Теорема 1.8.2. Если вес точечные массы принадлежат оси с единичным направляющим вектором 1с: г; = г;1с и нс все г; равны пулю, то поверхность, определенная уравнением Т(х,х) = 1, представляет собой круговой цилиндр с осью 1с. Доказательство. С учетом равенства г; = г;)с получим и и 'Т(х,х) = ~~~ т;(гт1с х)г = (1с х х)х Ц~~ т;гх = 1. ~=1 в=1 По условию теоремы имеем и тггх ф О =ь ]1с х х] = ~~~ т;гх вп1 ~п1 Но ])с х х] есть расстояние от конца вектора х до оси с направляющим вектором )с. Следовательно, это расстояние постоянно для любого вектора х, принадлежащего поверхности Т(х, х) = 1.П 48 Глава 1.

Векторные свойства евклидова пространства В дальнейшем будем предполагать, что заданные точечные массы не принадлежат одной прямой, так что уравнение Т(х, х) = 1 определяет в пространстве Еэ эллипсоид инерции. Теорема 1.8.3. Если не все точечные массье принадлежат одной прямой, то матрица Л = (,7ре), р, д = 1, 2, 3, соответствующая тенэору инерции, невырождена.

Доказательство. Рассмотрим систему линейных уравнений з гр — — ~,7р,*е — — О, р = 1, 2, 3. ч=е Пусть матрица Л вырождена. Тогда существует ненулевое решение х этой системы и для него х в=яде=О, э где Л, — момент инерции множества точечных масс относительно оси, параллельной х. Но к~ ф О. Значит,,7, = О. Следовательно, все точечные массы принадлежат оси х, что противоречит условию. П Теорема 1.8.4. Пусть множеству точечных масс соответствует эллипсоид инерции и пусть х определяет фиксированную точку эллипсоида.

Тогда вектор я = Лх есть нормаль к плоскости, касающейся эллипсоида в точке х. Доказателъство. Уравнение эллипсоида инерции представим в виде х . Лх = 1. Зададим плоскость П уравнением у Лх = 1, где х — постоянный вектор, а конец вектора у выделяет точку плоскости. Допустим, что плоскость П сечет эллипсоид. Тогда существует вектор у, конец которого одновременно принадлежит плоскости П и эллипсоиду, причем у ф х. Для такого вектора у должны быть выполнены равенства у Лх=х Лу=1, у Лу=1, х Лх=1. Поэтому (у — х) Лх=О, (у — х) Лу=О или (у — х) Л(у — х) = О.

Отсюда получаем, что все точечные массы принадлежат оси, параллельной ненулевому вектору (у — х). Тогда уравнение Т(х, х) = 1 определяет цилиндр, что противоречит 1.9. Главные осн инерции 49 условию. Таким образом, плоскость П, кроме точки, определяемой вектором х, не имеет общих точек с эллипсоидом и, значит, касает- ся эллипсоида в точке х. Вектор (у — х) принадлежит плоскости П. Равенство (у — х) Лх=О свидетельствует, что вектор Лх перпендикулярен плоскости П.

С2 8 1.9. Главные оси инерции Пусть для полюса О построен эллипсоид инерции. Главной осью инерции для него называется ось, которая проходит через точку О и коллинеарна нормали к эллипсоиду, взятой в точке пересечения оси с ним. Обозначим х радиус-вектор точки пересечения главной оси с эллипсоидом инерции. Тогда, согласно определению главной оси и в соответствии с теоремой 1.8.4, будем иметь я = Лх = Лх или 1Л вЂ” ЛЕ)х = О, где Л вЂ” оператор инерции, Š— тождественный оператор. Получен- ная однородная линейная система должна иметь ненулевое решение. Поэтому ее определитель обязан обращаться в нуль: Л11 — Л 112 413 Л21 Л22 Л Л23 Л21 Лзг Лзз — Л )Л вЂ” ЛЕ) = 4 — 1503 Это уравнение называется характеристическим уравнением эллипсоида инерции.

Левой частью этого уравнения служит характеристический мяогочлея третьей степени. Из теории поверхностей второго порядка известны следующие свойства решений характеристического уравнения и главных осей. 1. Все решения характеристического уравнения действительны.

2. Простому корню характеристического уравнения соответствует единственная главная ось. 3. Главные оси, соответствующие двум различным корням характеристического уравнения, взаимно перпендикулярны. 4. Если все три корня характеристического уравнения различны между собой, то имеется три и только три главные оси и они взаимно перпендикулярны. Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства 50 5. Если из трех корней Л1, Лг, Лз два равны между собой и отличны от третьего, например Л =Л ФЛз, то все оси, перпендикулярные к единственной оси, соответствующей корню Лз, суть главные оси, отвечающие кратному корню Л1 — — Лг. Таким образом, имеется бесконечно много троек взаимно перпендикулярных главных осей.

Каждая из них содержит единственную главную ось с единичным вектором ез, соответствующую простому корню Лз, тогда как две другие определены произвольными единичными векторами е1 и ег, перпендикулярными между собой и вектору ез 6. Если все три корня характеристического уравнения равны между собой, то каждая ось — главная. Таким образом, три взаимно перпендикулярные главные оси существУют всегда. ВыбеРем еДиничные вектоРы е1, ег, ез, им соответствующие, в качестве базисных. Ясно, что тогда 212 = 221 = 212 = 221 = Уга = Уаг ее О, и уравнение зллипсоида инерции принимает канонический вид е1!х1+ Уггх2+ Уэзхз — 1.

Матрица о оператора инерции оказывается диагональной. Компоненты д11 222 233 отнесенные к главным осям, называются главными моментами инерции. Отметим, что равенства 212 = 112 = О служат необходимыми и достаточными условиями того, чтобы ось с направлением е1 была главной. Аналогичное утверждение справедливо и для других осей. 8 1.10. Преобразование эллипсоида инерции Пусть в Ез задано множество точечных масс й. Значение введенной в 2 1.8 билинейной формы 1 (х,у), взятое для одной и той же пары векторов х, у, зависит от того, какая точка пространства принята за начало векторов гь Выясним зту зависимость. Центр масс множества Д обозначим С.