1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (Голубев Основыu), страница 11

Например, если точки с одинаковой массой расположены симметрично относительно некоторой плоскости, то центр масс должен принадлежать этой плоскости. Ей же принадлежат две главные оси инерции, а третья перпендикулярна плоскости симметрии. Если множество точечных масс обладает осью симметрии, то центр масс принадлежит этой оси. С ней же совпадает одна из главных осей инерции, а две другие перпендикулярны к ней.

Если симметрия круговая, то любое 1.11. Тензорное умножение векторов 57 направление в плоскости, перпендикулярной к оси симметрии, будет главным. Если ось симметрии получается как пересечение двух взаимно перпендикулярных плоскостей симметрии, то две другие главные оси должны соответственно принадлежать этим плоскостям. 8 1.11. Тензорное умножение векторов Рассмотрим билинейную форму относительно векторов х и у, значение которой инвариантно при преобразованиях координат о(х,у) = -[(х х а) (у х Ъ) + (х х Ь) (у х а)], 1 2 где а и Ь вЂ” фиксированные векторы, порождающие форму.

Коэффициенты формы образуют тензор второго ранга и получаются (см. 1 1.8) как значения формы на всевозможных парах базисных векторов выбранного ортонормированного репера. Возьмем пару ер, ее базисных векторов. Положим х = ер, у = ее. Тогда коэффициенты формы примут вид 5р — †(ер,ее) = -[(ер х а) (е х Ъ) + (ер х Ъ) .(ее х а)] = 1 2 е — [2ер(а Ъ) — а(Ь ер) — Ь(а ер)]. 2 Если р = д, то получим диагональные компоненты тензора: орр — — (а Ь) — (а ер)(Ь ер). При р 76 о найдем его внедиагональные компоненты: 1 Яре — — — -[(а ер)(Ь ее) + (а ее)(Ъ ер)], р 6 о. 2 Определение 1.11.1. Для произвольной пары векторов а, Ь определим бинарную операцию тензорного умногесения векторов "9" по правилу а®Ъ=Б=(ор ).

Эта операция билинейна, коммутативна, дистрибутивна и ассоциативна. В результате ее применения каждой паре векторов ставится в соответствие тензор Б. Перечисленные свойства операции непосредственно следуют из вида коэффициентов оре. В декартовом репере Оегегез тензор Б = а 9 Ь принимает вид агЬг + азЬз — (аг Ьг + агбг )/2 — (агЬз + азбг )/2 а 3 Ь = — (агЬг+ агЬ|)/2 агЬг+ азЬз — (агЬз+ азЬг)/2 -(агЬз + азЬд)/2 †(агЬз + азЬг)/2 агбе + агЬг Глава Е Векторные свойства евклидова пространства 58 Теорема 1.11.1.

Тензорное умножение векторов равно нулевому тензору тогда и только тогда, хогда хотя бы один из еомнозкителей равен нулю. Доказательство. Необходимость. Непосредственно из выражений для компонент тензора а ® Ъ следует, что если хотя бы один из векторов равен нулю, то и все компоненты тензора окажутся равными нулю. Достаточность. Пусть все компоненты тензора а З Ь оказались равными нулю.

Его диагональные компоненты дают следующие соотношения агЬг + азЬз = О, а1Ь1 + азЬз = О, а1Ь1 + азЬг = О. Поэтому асЬ| = агЬг = азЬз = О. Пусть, например, Ь| ф О. Тогда а1 = О. Далее имеем Яю — (а1Ьз + агЬ!)/2 = Яз1 = -(а1Ьз + азЬ1)/2 = О. Отсюда аг = аз —— О. Аналогично разбираются остальные случаи.0 Из доказанной теоремы, в частности, следует, что если заданы тензор В и вектор Ь и существует такой вектор а, что а З Ъ = Б, то вектор а единственный. Замечание 1.11.1.

Тензор инерции множества точечных масс относительно полюса О можно выразить формулой: Л='~ тг;Згь Таким образом операция сЗ" удобна при вычислении тензоров инерции множества точечных масс, если радиусы-векторы точек выражаются как линейные комбинации других каких-нибудь векторов. П р и м е р 1.11.1. Пусть радиусы-векторы точечных масс представлены в виде г; = г, + рь где г, — центр масс системы, так что т,ре = О. Тогда найдем Л = ~ т,(гс+ ре) З(ге+ Ре) = ~ тегсЗгс+2г,З~~~ тер;+ егм с си сх1 ь о + ~ т р; З р; = Мг. З г, + ~ тере З р;. Элементарными алгебраическими преобразованиями мы еще раз полу- чили теорему 1,10,1.

О 1.12. Критерий тензора инерция 59 9 1.12. Критерий тензора инерции Как мы видели выше, всякому множеству точечных масс можно сопоставить тензор инерции Л. Компоненты этого тензора в каждом конкретном ортонормированном базисе образуют неотрицательно определенную симметричную матрицу. Однако если взять произвольную такую матрицу, то ее не всегда можно считать матрицей тензора инерции в каком-либо базисе, т.е. не для всякой симметричной неотрицательно определенной матрицы существует множество точечных масс, порождаюшее тенэор инерции с соответствуюшими компонентами. Укажем критерий того, что заданная неотрицательно определенная симметричная матрица может считаться составленной из компонент тензора инерции. Лемма 1.12.1.

Длл любого симметричного неотрицательно определенного тензора 1 второго ранга существует множество точечных масс, для которого выполнено равенство и 1х = ~т;(г; х)г;, ва1 где 1х — линейный оператор, соответствующий тензору 1. Доказательство. Коль скоро тензор симметричный и неотрицательно определенный, он имеет три ортонормированных собственных вектора еы ез, ез с неотрицательными собственными значениями Лз, Лз, Лз, Произвольно зададим три массы: т~>0, тз>0, тз>О и разместим их соответственно в точках с радиусами-векторами 1= 1,2,3, что, очевидно, всегда можно сделать из-за неотрицательности значений Лы Лш Лз.

Рассмотрим линейный оператор т;(г, . х)г, = ~~~ Л,(е; х)е;. Этот оператор имеет те же собственные векторы и собственные зна чения, что и оператор 1х. Следовательно, з 1х = ~~~ т,(гс х)г;,П Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства 60 Теорема 1.12.1. (Критерий тензора ннерпнн.) Симметричная магирица 7' 7п АЗ Аз 1 — 721 722 722 711' — 711 зз1 ззг 7зз может бить матрицей тензора инерции а каком-нибудь ортонор- мироеанном базисе тогда и только тогда, когда матрица 2 (722 + 7ЗЗ вЂ” 7п) — 712 — 71з 1 = —,7щ 2( 7ЗЗ + 7п 722) 723 — ЗЗ1 — ЗЗ2 1(7п + 722 7ЗЗ) определена неотрицательно. Доказательство. Необходимость.

Пусть задано некоторое множество точечных масс. Соответствующую ему билинейную форму Т(х, у) преобразуем с использованием свойств векторного умножения: и и о 'г (х,у) = у ~ ~иц(г; х (х х г;)) = у х 7 т;г; — ц~1 тг(г; х)(гг у) или 1 Т(х,у) = -(7п + з22+ ззз)(у х) — У(х,у), 2 где У'(х, у) = ~~1 тпг(гг х)(г; у) 1=1 инвариантная при преобразованиях координат симметричная билинейная форма, причем У'(х,у) > 0. Форме У(х,у) соответствует линейный оператор 1 1х = ~ т;(г1 .

х)г; = — Лх + -(д11 + 722 + 7зз)х. 2 1=1 Поскольку У(х, у) > О, матрица 7 оператора 1х неотрицательно определена и, как нетрудно видеть, совпадает с матрицей, указанной в утверждении теоремы. Достаточность. Пусть матрица 7 неотрицательно определена. Тогда с ее помощью можно образовать линейный оператор 1х. Согласно лемме 1.12.1 для оператора 1 существует множество точечных масс такое, что 1х = Ц~~ т;(гг х)гг. 1.13. Свойства моментов инерции 61 По операторы Лх и 1х связаны простым соотношением Лх = -1х+ хбр1, где Бр 1 — след матрицы 1, инвариантный относительно ортогональных преобразований координат.

Значит, когда множество точечных масс реализует оператор 1х, то это же множество реализует и оператор Лх с матрицей,7, заданной в условии теоремы. С1 Следствие 1.12.1. В главных осях критерий тензора инерции состоит в выполнении неравенств треугольника для главных моментов инерции. 8 1.13. Свойства моментов инерции Дополнительно к понятиям осевых и центробежных моментов инерции (см. з 1.8) введем понятия моментов инерции относительно плоскости и полюса. Пусть плоскость 'Р, имеет нормаль е и проходит через полюс О. Моментом инерции относительно плоскости 'Р, множества точечных масс тг с радиусами-векторами г; называется величина п П, = ) нн(г; е) = У(е,е), ьп1 представляющая собой сумму произведений масс точек на квадраты их расстояний до плоскости Р,.

У'(х,у) — форма, введенная при доказательстве теоремы 1.12.1. Выберем в точке О ортонормированный базис еы ег, ез. Для моментов инерции относительно координатных плоскостей будем иметь Пг = ~ тг(гг ег)г, Пг = ц ~т;(гг ез), Пз = ) тг(гг ез) . Моментом инерции относительно полюса называется величина ,и = г пцг;.