1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (Голубев Основыu), страница 13

с 2 Из симметрии круга относительно любого диаметра заключаем, что МВ2 '111 '~22 ~33 2 4 Момент инерции Хзз можно найти также и более экономным способом с помощью интегрирования. В самом деле, используя указанное выше разбиение круга, будем иметь У М МВ азз / Р 22кР11Р = о 1.14. Примеры вычисления тензора инерции 69 где р и р+ !тр — радиусы двух соседних концентрических окружностей, а выражение М(2ярйр)/(ягт!) есть с точностью до членов второго порядка малости масса слоя, заключенного между ними. Формула, найденная для 1'з, может иметь и самостоятельное значение, например когда задано множество равноудаленных друг от друга точек отрезка, массы которых составляют арифметическую прогрессию.О П р и м е р 1.14.8. Определить центральный тензор инерции для однородного сплошного эллипса массы М, с границей, заданной в декартовых осях (з1, зг) посредством уравнения г — + — = 1.

г аг 62 Р е ш е н и е. Уравнение эллипса задано в каноническом виде. Следовательно, оси координат служат осями симметрии эллипса. Центр масс С совпадает с началом координат. Поэтому оси координат будут главными центральными осями инерции. Третья главная центральная ось перпендикулярна плоскости эллипса. Сделаем замену переменных з1 — — ау1, зг —— 6уг.

В результате эллипс превратится в круг единичного радиуса. Разобьем эллипс на элементы малой площади. Пусть каждый элемент имеет массу бМ, и координаты (з1,з~г). Тогда '111 ~' (зг) 6М1 = 6 ~~~ (уг) 6М', ! ! 122 ~~! (з~) бМ; = а ~~! (у')гбМ1, Примем, что масса элемента при преобразованиях координат не изменяется. Уменьшая максимальную площадь элементов, в пределе получаем точные соотношения Ма г '~22 а '~11 4 где 111 — момент инерции единичного круга массы М относительно его диаметра (см. пример 1.14.7). Третий главный момент инерции эллипса дается формулой )зз = 111+ 122 = — ( '+ 6') ф 4 П р и м е р 1.14.9. Определить центральный тензор инерции однородной сферы массы М и радиуса П. Глава 1.

Векторные свойства евклидова пространства 70 МВг П,=Пг=Пз= 3 Следовательно 2МЯг ггг = айаг = изз = 3 П р и м е р 1.14.10. Определить центральный тензор инерции однородного шара массы М и радиуса Я. Р е ш е н и е. Центр масс шара совпадает с его центром С. Как и в примере 1.14.9, назначим произвольно три взаимно перпендикулярные координатные оси с началом в точке С и направляющими единичными векторами еы ег, ез. Найдем момент инерции шара относительно точки С. С этой целью разобьем радиус шара на и одинаковых частей и рассмотрим совокупность концентрических сфер с радиусами рк = гйУп.

Вычислим массу шарового слоя между соседними сферами с радиусами р; и р; М; = ~-кр~ — -кр~ ( = — (Зго — Зг'+ 1). 4кВз1,3 ' 3 ' '( пз Если по каждой сфере радиуса р; равномерно распределить массу Мп найти ее момент инерции относительно центра и просуммировать значе- ния, полученные для всех сфер, то и п З~ 1 — 3~~ 1 +~ аг гэц гвц гво МВг р', = ~ Мер,' = —, ла Мог пз + 1И2п+ 1) Зп'+ Зп — 1 6 5 (и+ 1)г п(п+ 1И2п+ 1) 4 6 г — 3 Момент инерции р, шара относительно центра выражается формулой ЗМйг р,=!пп р',= 5 Решение. Центр масс совпадает с центром С сферы. Любая ось, проходящая через точку С, есть главная центральная.

Назначим произвольно три взаимно перпендикулярные координатные оси с направляющими единичными векторами еы ег, ез, проходящие через точку С Момент инерции сферы относительно точки С, очевидно, будет р, = МГтг. В силу симметрии сферы моменты инерции Пы Пг, Пз относительно координатных плоскостей будут одинаковыми. Но так как р, = Пг + Пг + Пз, то 1.14. Примеры вычисления тенэорв инерции 71 Моменты инерции шара относительно координатных плоскостей будут одинаковыми. Учитывая, что р, = П1+ Пг + Пз, получим М 772 Пг = Пг = Пз = —. 5 Поэтому с с е 7?? — 7гг = узз ге 5 Значение р, можно получить с помощью интегрирования.

Сложим все массы, лежащие в тонком сферическом слое, радиус которого равен р, а толщина Ир. Получим НМ = — 4яр Нр. ЗМ 4я?1? Следовательно, ЗМ 7, ЗМВ? де = / Р г1М = — з / Р "Р = —.О П р и м е р 1,14.11. Определить центральный тензор инерции однородного сплошного эллипсоида массы М, граница которого задана в декартовых осях (хы хг, хз) посредством уравнения 2 ? .2 — + — + — = 1. г з аг аг сг Решение. Уравнение эллипсоида задано в каноническом виде. Следовательно, оси координат служат осями симметрии эллипсоида.

Центр масс совпадает с началом координат, Поэтому оси координат будут главными центральными осями инерции. Сделаем замену хг —— ауы хг — — буг, хз = суз оставив неизменным направление осей координат. В результате эллипсоид превращается в шар единичного радиуса.

Разобьем эллипсоид на элементы малого обьема. Пусть каждый элемент имеет массу бМ; и координаты (хг~, х~г, хз). Тогда П, =~ (х,)?ЗМ?= г > (у,)?ЗМ;, г г П? м'~(хг) ЗМ; = 6 ~ (уг) ЗМ;, 3 1 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства 72 П ш" (~~) бМ1 = с'~ ~[уз) бМ1.

1 1 Потребуем, чтобы масса каждого элемента при преобразованиях коорди- нат не менялась. Уменьшая максимальный объем элементов, в пределе получим точные соотношения П1 = а П'„Пг = 62П',, Па=с П',, г где П', — момент инерции единичного шара массы М относительно плоскости большого круга. Воспользовавшись результатом примера 1.14.10, найдем Маг Мбг П1= —, Пг = —, 5 ' 5 Мсг П 5 Главные центральные моменты инерции выражаются формулами М[62 + сг) , М[аг + сг) , М[аг + 62) 11 2 + 3 — 22 '~33 5 ' 5 ' 5 Центральный эллипсоид инерции задается уравнением М 2 — [(Ь~+ с )х21+ (а + с )хг+ (а + 6~)х~~] = 1.

Полуоси его равны 5 М[62+ с )' Примем, что для осей заданного в условии зллипсоида выполнено соотношение а > Ь > с. Тогда Ь+с <а+с <а+6. Поэтому 5 5 5 > > Следовательно, центральный эллипсоид инерции отслеживает форму зллипсоида, заданного в условии. Большой полуоси заданного эллипсоида соответствует Большая полуось эллипсоида инерции, средней— средняя, меныцей — меньшая. Контрольные вопросы к главе 1 73 Контрольные вопросы к главе 1 1.1.

Можно ли утверждать, что любой направленный отрезок есть вектор? Если нет, то приведите пример, подтверждающий Ваше мнение. 1.2. Доказать, что расстояние, введенное с помощью скалярного произведения векторов, удовлетворяет неравенству треугольника. 1.3. Посредством какой из перечисленных форм можно определить скалярное произведение векторов? » » ~~,(х +у)' — ~~' (,'+у,'); » » (х; — у;); ~ (х;+ у;) 1»1 ~»1 » » ) (х — у)' — ~(х?+у,"). 1=1 1=1 !»1 1.4.

Пусть задан базис е1,..., е», в нем вектор х = 2',,"ы, х;е; и метрический тензор 6 = (д; ). Показать, что существуют ровно » и — 1 линейно независимых векторов у = 2',;», у,е;, ортогональных вектору х. 1.5. Показать, что с помощью выбора подходящего базиса всякий метрический тензор можно привести к диагональному виду. Единственным ли способом это можно сделать? 1.6. Пусть 0 = (дб) — метрический тензор. Показать, что бе1 с' ~ О.

1.7. Показать, что если ортонормированный базис в результате линейного преобразования перешел в новый ортонормированный базис, то матрица преобразования является ортогональной. 1.8. На плоскости с декартовой прямоугольной системой координат заданы векторы, образующие между собой угол т/4. Найти метрический тензор, для которого они ортонормированы.

1.9. Указать геометрический смысл модуля результата векторного умножения двух векторов. 1.11. Каким условием связаны Плюккеровы координаты скользящего вектора? 1.10. Указать геометрический смысл смешанного произведения трех векторов. Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства 74 1.12.

Почему момент пары скользящих векторов есть свободный вектор? 1.13. Как меняется при изменении полюса проекция суммарного момента на направление, перпендикулярное суммарному вектору? 1.14. Пусть Н х М = О, Й. М = О. К какому простейшему виду можно привести такую систему скользящих векторов? 1.15.

Как зависит центр системы параллельных скользящих векторов от направления этих векторов? 1.16. Обобщить понятие центра масс для бесконечного ограниченного множества точечных масс. Доказать теорему 1.7.1 для такого множества. 1.17. Используя свойства функции у = ~/я и свойства центра масс, доказать неравенство 1.18. Показать, что матрица тензора инерции симметрична в любой системе координат. 1.19.

При каком условии существуют две неколлинеарные оси, отно- сительно которых моменты инерции множества точечных масс равны нулю? 1.20. Показать, что если множеству точечных масс соответствует эл- липсоид инерции, то матрица тензора инерции невырождена в любой системе координат. 1 21. Пусть поверхностьУ(х,х) = 1(см. з 1 8) есть цилиндр с осью 1с.

Найти нормаль к этой поверхности. Показать, что этот цилиндр прямой круговой. 1.22. Доказать, что,7щ = У~э = О, где,7щ,,7~з — центробежные мо- менты инерции, есть необходимое и достаточное условие того, чтобы ось е~ была главной осью инерции.