Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (2-е издание)

Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (2-е издание), страница 16

DJVU-файл Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (2-е издание), страница 16 Оптимальное управление (369): Книга - 9 семестр (1 семестр магистратуры)Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (2-е издание): Оптимальное управление - DJVU, страница 16 (369) - СтудИзба2017-12-25СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (2-е издание)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "оптимальное управление" из 9 семестр (1 семестр магистратуры), которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "оптимальное управление" в общих файлах.

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 16 - страница

е. при т, (т) лолу- чаем соотношения (21), (22), чем и заканчивается докааательство. 3 а м е ч а н и е. Анализируя проведенное доказательство, мы заметим, что оно основывается на формуле (1) и уравнениях в вариациях (формулы (14) — (16)). Поэтому, учитывая формулу (2) и замечание 2 на стр. 93, мы приходим к следующему выводу. Если все величины бг„ й„..., И„й зависят непрерывно от некоторого параметра с, изменяющегося в компактном множестве Х, то формулы (21), (22) сохраняют силу, причем величина о (е) в формуле (21) (зависящая, конечно, от и) имеет р а в н он е р н о п о с более высокий порядок малости, чем з.

5 14. Основные леммы Если какое-либо из чисел й, равно нулю, то его можно отбросить при определении проварьированного управления из (1) вместе с соответствующими точками т,. и э, — от этого управление и* (1) не изменится. Обратно, добавление новых точек т,, вп для которых 6~, = О, не изменяет управления и* (г). Пользуясь этим, мы можем, если речь идет о к о н е ч н о м числе управлений и( (~), ..., и" (1), получающихся варьированием одного и того же управления и (~) при одном и том же т, считать, что все точки т,, э, при определении управлений и7 (С), ..., и~р(с) о дик а козы и взяты в одинаков о м числе, а все различие между этими управлениями заключается в том, что у них не одинаковы числа Й,. и й. Этой возможностью — считать все точки т,, г,. одинаковыми (при рассмотрении к о н е ч н о г о числа различных вариаций одного и того же управления) — мы будем пользоваться в дальнейшем, не отоваривая каждый раа.

$04 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИНЦИПА МАКСИМУМА [ГЛ, т Вектор Ью (см. (22)) не зависит от е, но существенно зависит, конечно, от выбора точек т,, Р,, т и чисел й и бг,. (4 = 1, 2, ..., г). Обозначим совокупность величин т,, Р„т, й,, й через а: а=[т,, Уо т, й,, й), и будем вектор (22) обозначать далее через Лю„, подчеркивая тем самым его аависимость от этих величин. В этом параграфе мы будем предполагать, что правильная точка т управления и (г) з а ф и к с и р о в а н а и что все рассматривающиеся вариации этого управления удовлетворяют условию г' ( т, < т, ( ...

( т, ( т ( гг. Пусть имеется к о н е ч н о е число величин и'=(т,, сы т, й;, бг'), а' = (г..., т, й,"., й ), Мы можем считать (см. выше), что все точки т„и, о д и н а к о в ы у всех величин о', а", ... (что и предусмотрено обозначениями). Линейную комбинацию Л'о' + + Л"а" + ... величин а', а",... снеотрицательными коэффициентами Л', Л", ... Мы определим формулой *) Л'а'+Л"с" +... = (го Р т Лй(+Л Й' + ° ° ° Лй +Л Й + ° ° (Неотрицательность коэффициентов Л', Л", ... существенна потому, что в противном случае величины Л'й;. + Л"бг(+...

могли бы оказаться отрицательными, что недопустимо.) Будем теперь, имея некоторое управление и (г), ге =. Г ( ( г„и соответствующую траекторию ю (~), рассматривать векторы гьж = Ьв для различных символов о (т фиксировано). Легко видеть, что имеет место следующая лемма. е) Отметим, что, вообще говоря, добавление иовых точек ть иь для которых бй = 0 (благодаря чему все точки те иг у рас™- сматриваемого конечного иабора величии а', а", ... становятся одними и теми же), может быть проиаведеио иеодиозкачио. Вследствие етого линейная комбинация Л'а'+ Х"а" + ... также определена неоднозначно. Однако, как легко видеть, ета кеодкозиачиость пикал ие скажется иа результатах последующих вычислений.

ОСНОВНЫЕ ЛЕММЫ 105 Л е м м а 2. Если а = Л'а' + Л" и" + ... (где Л' ~ О, Лю ) О, ...), то еоответстауюи)ие векторы йх связаны такой же линейной зависимостью Лх, =Л'Лх, +Л Лх,. + .. Это непосредственно вытекает из того, что в формулу (22) все числа 6(д, ..., 61„61 входят л и н е й н о. Мы будем считать йх связанным вектором, исходящим нэ точки х (т), т. е. будем считать этот вектор элементом пространства Хт (см. 2 12). Если мы будем брать всевозможные символы а (т фиксировано), то векторы сьх= Ьхо заполнят некоторое множество К, в пространстве Х,.

Докажем теперь, что множество К, является выпуклым конусом е) векторного пространства Х,. *) Множество М, лежащее в некотором векторном пространстве Х, называется выпуклым конусом с вершиной в точке о, если 1) оно является конусом, т. е. вместе с каждой отличной от о точкой о содержит и весь луч оа, 2] оно выкукло, т. е. вместе с каждыми двумя точками содержит целиком соединяющий их отрезок. Заметим, что если выпуклый конус М не заполняет всего векторного пространства Х, в котором он расположен, то существует в пространстве Х такая гиперплоскость, проходящая череа вершину конуса о, что весь конус М расположен целиком в каком-либо одном (замкнутом) полупространстве, определяемом этой гнперплоскостью.

Точка х~Х называется внутренней точкой выпуклого конуса М с- Х, если некоторая окрестность точки х в пространстве Х целиком содержится в конусе М. Множество всех внутренних точек конуса М с: Х называется его внутренностью. Пусть, далее, М, н М, — два выпуклых конуса пространства Х, имеющих общую вершину о. Конусы М, и М, назовем раодслкомыми в Х, если существует разделяющая их гйперплоскость, т. е. такая гнперплоскость, что конус М, расположен целиком в одном (вамкнутом) полупространстве, определяемом атой гиперплоскостью, а конус Мь — в другом полупространстве. Для того чтобы конусы Мг и Мч были разделяемыми, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих двух условий: 1) существует гиперплоскость, содержащая оба конуса Мм Мс; 2) не существует точки, которая была бы внутренней точкой каждого из конусов М„М, относительно его несущей плоскости.

Таким образом, если конусы Мт и М, (с общей вершиной о) не являются рааделяемыми в Х, то линейная оболочка их несущих плоскостей совпадает со всем пространством Х, и, кроме того, существует точка о, являющаяся внутренней точкой каждого конуса Ми Мз относительно его несущей плоскости.

В атом случае 106 ДОИАзАтвльство пРинциПА МАксимумА 1гл, 3 В самом деле, если а' и а" — две точки пространства Х„ принадлежащие множеству К„т. е. если существуют такие символы с, з", что а' = Лхе, а" = Лхз-, то для любых неотрицательных )«', А" мы имеем в силу леммы 2 )'а'+) а' = Л'Лх, +Х"Ьх,* =. Ьх(»;«+ 1-«.), т. е. точка 1«'а' +». 'а" также принадлежит множеству К .

Это и оаначает, что Кт есть выпуклый конус пространства Х, (или, что то же самое, выпуклый конус пространства Х с вершиной в точке х (т)). Мы будем называть множество К конусом достижимости. Докажем теперь две леммы, служащие основой для применения вышеизложенных конструкций к изучению оптимальных процессов. Л е м м а 3. Пусть т (1« ( т ( 1») — правильнвя точка управления и (1), х (1) — траектория, соответствующая управлению и (1) и исходящая из точки хо, а Л вЂ” некоторая линия, исходящая из точки х (т) и имеющая в точке х (т) касательный луч Е.

Если луч Е принадлежит внутренности конуса К, (т. е. если все точки луча Е, кроме еео конца, являются внутренними точками множества К,), то существует такое управление и (1), что соответстаующая ему траектория х (1), исходящая из той же точки х, проходит через некоторую (отличную от х (т)) точку линии Л. Д о к а за т ель ст в о. Выберемна лучей какую-либо точку А, отличную от х (т), и из этой точки А проведем и векторов в„ез, ..., е„равной длины г, ортогональных через точку а можно провести такую плоскость С, ортогональную прямой оа и пересекающуюся с несущей плоскостью конуса М, только в точке а, что все точки плоскости С, достаточно бливкие к о, принадлежат конусу М„и, кроме того, линейная оболочка плоскости С и несущей плоскости конуса М«совпадает с Х.

Иначе говоря, шар малого радиуса с центром в точке а дает в пересечении с плоскостью С «дополнительную площадку» к несущей плоскости конуса М„причем зта площадка ортогональна прямой оа и целиком содержится в конусе М,. Размерность атой «дополнительной площадки» равна разности размерностей пространства Х и конуса М,. 1от основныв лкммы ! 141 лучу Ь и попарно ортогональных между собой. Положим, далее, !! = — е!, ! = 1, 2, ..., и, причем векторы также будем считать исходящими иэ точки А.

Число г— общую длину векторов е!, ..., е„,у„...,~„— будем считать настолько малым, чтобы концы всех этих векторов принадлежали конусу К, (это возможно, так как А есть в н у т р е н н я я точка этого конуса). Наконец, через с обоэначим вектор с началом в точке т (т) и концом в точке А. Так как векторы с, с+ е„с + еэ,..., с+ е„, с+у„с+ум..., с+ у„ (исходящие иэ точки х (т)) принадлежат конусу К, то существуют такие символы а„а„..., а„, а!, ..., а', что Мха! = с, Ьт, = с + е„..., Лл„= с + е„, Ла!„=с+у'„..., Лх, =с+у„.

Определим теперь две (очевидно, непрерывные и неотрицательные) функции Йь (р) и Й (р) действительного переменного р, положив: ~ р при р~О, ~ 0 при р)0, ( 0 при р(0; ( — р при р'(О. При (р!)а+ (р!)'+ ... +(р")а( 1 формула а=а(р',..., р")= 1! !! а = (( — — '~ ~р'~) . + — ',у,Й'(р!) «!+ — '„у; Й-(р') а! $= ! 1=! $1 определяет эависящий от и действительных чисел р', ..., р" символ а (р", ..., р"). (Действительно, у нас имеется к о н е ч н о е число символов а„а!, а,', причем все коэфи фициенты Й+(р!), Й (р!) и 1 — — ~~~~~ ~ р' ~, как легко видеть, ! ! неотрицательны.) Вектор Ла, соответствующий символу а = а (р', ..., р"), имеет, в силу леммы 2 и соотно!пений А = — е!, Й+(р) +Й (р) = ~р~, Й+(р) — Й (р) = р.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее