Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (2-е издание), страница 16

е. при т, (т) лолу- чаем соотношения (21), (22), чем и заканчивается докааательство. 3 а м е ч а н и е. Анализируя проведенное доказательство, мы заметим, что оно основывается на формуле (1) и уравнениях в вариациях (формулы (14) — (16)). Поэтому, учитывая формулу (2) и замечание 2 на стр. 93, мы приходим к следующему выводу. Если все величины бг„ й„..., И„й зависят непрерывно от некоторого параметра с, изменяющегося в компактном множестве Х, то формулы (21), (22) сохраняют силу, причем величина о (е) в формуле (21) (зависящая, конечно, от и) имеет р а в н он е р н о п о с более высокий порядок малости, чем з.

5 14. Основные леммы Если какое-либо из чисел й, равно нулю, то его можно отбросить при определении проварьированного управления из (1) вместе с соответствующими точками т,. и э, — от этого управление и* (1) не изменится. Обратно, добавление новых точек т,, вп для которых 6~, = О, не изменяет управления и* (г). Пользуясь этим, мы можем, если речь идет о к о н е ч н о м числе управлений и( (~), ..., и" (1), получающихся варьированием одного и того же управления и (~) при одном и том же т, считать, что все точки т,, э, при определении управлений и7 (С), ..., и~р(с) о дик а козы и взяты в одинаков о м числе, а все различие между этими управлениями заключается в том, что у них не одинаковы числа Й,. и й. Этой возможностью — считать все точки т,, г,. одинаковыми (при рассмотрении к о н е ч н о г о числа различных вариаций одного и того же управления) — мы будем пользоваться в дальнейшем, не отоваривая каждый раа.

$04 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИНЦИПА МАКСИМУМА [ГЛ, т Вектор Ью (см. (22)) не зависит от е, но существенно зависит, конечно, от выбора точек т,, Р,, т и чисел й и бг,. (4 = 1, 2, ..., г). Обозначим совокупность величин т,, Р„т, й,, й через а: а=[т,, Уо т, й,, й), и будем вектор (22) обозначать далее через Лю„, подчеркивая тем самым его аависимость от этих величин. В этом параграфе мы будем предполагать, что правильная точка т управления и (г) з а ф и к с и р о в а н а и что все рассматривающиеся вариации этого управления удовлетворяют условию г' ( т, < т, ( ...

( т, ( т ( гг. Пусть имеется к о н е ч н о е число величин и'=(т,, сы т, й;, бг'), а' = (г..., т, й,"., й ), Мы можем считать (см. выше), что все точки т„и, о д и н а к о в ы у всех величин о', а", ... (что и предусмотрено обозначениями). Линейную комбинацию Л'о' + + Л"а" + ... величин а', а",... снеотрицательными коэффициентами Л', Л", ... Мы определим формулой *) Л'а'+Л"с" +... = (го Р т Лй(+Л Й' + ° ° ° Лй +Л Й + ° ° (Неотрицательность коэффициентов Л', Л", ... существенна потому, что в противном случае величины Л'й;. + Л"бг(+...

могли бы оказаться отрицательными, что недопустимо.) Будем теперь, имея некоторое управление и (г), ге =. Г ( ( г„и соответствующую траекторию ю (~), рассматривать векторы гьж = Ьв для различных символов о (т фиксировано). Легко видеть, что имеет место следующая лемма. е) Отметим, что, вообще говоря, добавление иовых точек ть иь для которых бй = 0 (благодаря чему все точки те иг у рас™- сматриваемого конечного иабора величии а', а", ... становятся одними и теми же), может быть проиаведеио иеодиозкачио. Вследствие етого линейная комбинация Л'а'+ Х"а" + ... также определена неоднозначно. Однако, как легко видеть, ета кеодкозиачиость пикал ие скажется иа результатах последующих вычислений.

ОСНОВНЫЕ ЛЕММЫ 105 Л е м м а 2. Если а = Л'а' + Л" и" + ... (где Л' ~ О, Лю ) О, ...), то еоответстауюи)ие векторы йх связаны такой же линейной зависимостью Лх, =Л'Лх, +Л Лх,. + .. Это непосредственно вытекает из того, что в формулу (22) все числа 6(д, ..., 61„61 входят л и н е й н о. Мы будем считать йх связанным вектором, исходящим нэ точки х (т), т. е. будем считать этот вектор элементом пространства Хт (см. 2 12). Если мы будем брать всевозможные символы а (т фиксировано), то векторы сьх= Ьхо заполнят некоторое множество К, в пространстве Х,.

Докажем теперь, что множество К, является выпуклым конусом е) векторного пространства Х,. *) Множество М, лежащее в некотором векторном пространстве Х, называется выпуклым конусом с вершиной в точке о, если 1) оно является конусом, т. е. вместе с каждой отличной от о точкой о содержит и весь луч оа, 2] оно выкукло, т. е. вместе с каждыми двумя точками содержит целиком соединяющий их отрезок. Заметим, что если выпуклый конус М не заполняет всего векторного пространства Х, в котором он расположен, то существует в пространстве Х такая гиперплоскость, проходящая череа вершину конуса о, что весь конус М расположен целиком в каком-либо одном (замкнутом) полупространстве, определяемом этой гнперплоскостью.

Точка х~Х называется внутренней точкой выпуклого конуса М с- Х, если некоторая окрестность точки х в пространстве Х целиком содержится в конусе М. Множество всех внутренних точек конуса М с: Х называется его внутренностью. Пусть, далее, М, н М, — два выпуклых конуса пространства Х, имеющих общую вершину о. Конусы М, и М, назовем раодслкомыми в Х, если существует разделяющая их гйперплоскость, т. е. такая гнперплоскость, что конус М, расположен целиком в одном (вамкнутом) полупространстве, определяемом атой гиперплоскостью, а конус Мь — в другом полупространстве. Для того чтобы конусы Мг и Мч были разделяемыми, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих двух условий: 1) существует гиперплоскость, содержащая оба конуса Мм Мс; 2) не существует точки, которая была бы внутренней точкой каждого из конусов М„М, относительно его несущей плоскости.

Таким образом, если конусы Мт и М, (с общей вершиной о) не являются рааделяемыми в Х, то линейная оболочка их несущих плоскостей совпадает со всем пространством Х, и, кроме того, существует точка о, являющаяся внутренней точкой каждого конуса Ми Мз относительно его несущей плоскости.

В атом случае 106 ДОИАзАтвльство пРинциПА МАксимумА 1гл, 3 В самом деле, если а' и а" — две точки пространства Х„ принадлежащие множеству К„т. е. если существуют такие символы с, з", что а' = Лхе, а" = Лхз-, то для любых неотрицательных )«', А" мы имеем в силу леммы 2 )'а'+) а' = Л'Лх, +Х"Ьх,* =. Ьх(»;«+ 1-«.), т. е. точка 1«'а' +». 'а" также принадлежит множеству К .

Это и оаначает, что Кт есть выпуклый конус пространства Х, (или, что то же самое, выпуклый конус пространства Х с вершиной в точке х (т)). Мы будем называть множество К конусом достижимости. Докажем теперь две леммы, служащие основой для применения вышеизложенных конструкций к изучению оптимальных процессов. Л е м м а 3. Пусть т (1« ( т ( 1») — правильнвя точка управления и (1), х (1) — траектория, соответствующая управлению и (1) и исходящая из точки хо, а Л вЂ” некоторая линия, исходящая из точки х (т) и имеющая в точке х (т) касательный луч Е.

Если луч Е принадлежит внутренности конуса К, (т. е. если все точки луча Е, кроме еео конца, являются внутренними точками множества К,), то существует такое управление и (1), что соответстаующая ему траектория х (1), исходящая из той же точки х, проходит через некоторую (отличную от х (т)) точку линии Л. Д о к а за т ель ст в о. Выберемна лучей какую-либо точку А, отличную от х (т), и из этой точки А проведем и векторов в„ез, ..., е„равной длины г, ортогональных через точку а можно провести такую плоскость С, ортогональную прямой оа и пересекающуюся с несущей плоскостью конуса М, только в точке а, что все точки плоскости С, достаточно бливкие к о, принадлежат конусу М„и, кроме того, линейная оболочка плоскости С и несущей плоскости конуса М«совпадает с Х.

Иначе говоря, шар малого радиуса с центром в точке а дает в пересечении с плоскостью С «дополнительную площадку» к несущей плоскости конуса М„причем зта площадка ортогональна прямой оа и целиком содержится в конусе М,. Размерность атой «дополнительной площадки» равна разности размерностей пространства Х и конуса М,. 1от основныв лкммы ! 141 лучу Ь и попарно ортогональных между собой. Положим, далее, !! = — е!, ! = 1, 2, ..., и, причем векторы также будем считать исходящими иэ точки А.

Число г— общую длину векторов е!, ..., е„,у„...,~„— будем считать настолько малым, чтобы концы всех этих векторов принадлежали конусу К, (это возможно, так как А есть в н у т р е н н я я точка этого конуса). Наконец, через с обоэначим вектор с началом в точке т (т) и концом в точке А. Так как векторы с, с+ е„с + еэ,..., с+ е„, с+у„с+ум..., с+ у„ (исходящие иэ точки х (т)) принадлежат конусу К, то существуют такие символы а„а„..., а„, а!, ..., а', что Мха! = с, Ьт, = с + е„..., Лл„= с + е„, Ла!„=с+у'„..., Лх, =с+у„.

Определим теперь две (очевидно, непрерывные и неотрицательные) функции Йь (р) и Й (р) действительного переменного р, положив: ~ р при р~О, ~ 0 при р)0, ( 0 при р(0; ( — р при р'(О. При (р!)а+ (р!)'+ ... +(р")а( 1 формула а=а(р',..., р")= 1! !! а = (( — — '~ ~р'~) . + — ',у,Й'(р!) «!+ — '„у; Й-(р') а! $= ! 1=! $1 определяет эависящий от и действительных чисел р', ..., р" символ а (р", ..., р"). (Действительно, у нас имеется к о н е ч н о е число символов а„а!, а,', причем все коэфи фициенты Й+(р!), Й (р!) и 1 — — ~~~~~ ~ р' ~, как легко видеть, ! ! неотрицательны.) Вектор Ла, соответствующий символу а = а (р', ..., р"), имеет, в силу леммы 2 и соотно!пений А = — е!, Й+(р) +Й (р) = ~р~, Й+(р) — Й (р) = р.