Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (2-е издание), страница 15

Выберем, далев, произвольные неотрицательные числа бг„..., Й„произвольное (не обязательно неотрицательное) действительное число Й и произвольные (не обязательно рааличные) точки ры о,, ..., р, области управления У. Определим теперь зависящие от е полуинтервалы Х„1„..., л, следующим образом. Положим Й вЂ” (Й,+...+Й,), — (бсг+" +бза) — (Йз+...+ Й ), если т,=т; если т,=т,(т; если т,=т,,=... ... =,(т;, 0'(в), 4 Л. С. Понтрягин н Нр, при различных значениях параметра с семейство гиперплоскостей, перенесенных вдоль траектории х (с). Оказывается, что такие функции тр„(г) можно находить из систе„,м (8), т.

е. если тр (г) = (тро (г), ту, (~), ..., тря (г)) — некоторое решение системы (8), то гиперплоскости (20) нолучаютсл друз от друга переносом вдоль траектории х (с). В самом деле, если функции ф, (г), а = ОА, ..., и, удовлетворяют системе (8) и если вектор 9о лежит в гиперплоскости ~ту„(зо) х" = 0 (т. е. скалярное произведение =о (тр (~о), зо) обращается в нуль), то и при любом Г скалярное произведение (тр (г), А, с (йо)) обращается в нуль, т. е. каждый вектор ф, = Аь ь (9о), получающийся из зо переносом вдоль траектории х (1), лежит в соответствующей гиперплоскости (20).

Так как зто справедливо для любого вектора з„лежащего в гиперплоскости а ~ ', тр, (го) х" = О, то гиперплоскости (20) получаются друг из а=о друга переносом вдоль траектории х (г). 98 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИНЦИПА МАКСИМУМА !ГЛ. 2 и обозначим через 1«полуинтервал т,+е»»(г(т,+в(7,+де;). Таким образом, если т« = т»+,—— ... — — т,, то полуинтервалы 1,, 1, „..., 1; следуют, примыкая друг к другу, слева направо; если же к полуинтервалу 1„не примыкает справа следующий полуинтервал (т. е. если тд ( тд+, или 7« = г), то правым концом полуинтервала 1д является точка тд при т„(т и точка т + еде при тд — — т.

Длина полуинтервала 1; равна едго В случае 6», = 0 соответствующий полуинтервал 1, является «пустым», т. е. отсутствует. При достаточно малом э полринтервалм Х„..., 1, попарно не пересекаются и располагаются все на основном отрезке г ( г ~ г„причем левее точки т + ей. Считая, что е удовлетворяет этим условиям, мы определим управление ив (г) на отрезке ~в =. г ( т + ей, положив: и(г), если г не принадлежит ни одному * (г) = иэ множеств 1„Х, ..., 1„ ап если»(--1,.

Мы будем говорить, что управление и* (г) получается варьированием управления и (с). В силу соглашений о классах допустимых управлений (э 10), управление и* (») является (при достаточно малом е) допустимым. Пусть х = $ (е), 0 (е( е„— параметрическая запись гладкой линии, проходящей при э = 0 череэ точку х, и имеющей в точке х, касательный вектор $в (= / Ый(0)) ев Обоэначим через х (г), гв ( г ( г„траекторию, соответствующую (см.

(7)) управлению и (г) и исходящую иэ точки х„а череэ х* (г) — траекторию, соответствующую проварьированному управлению ив (г) и исходящую иэ точки $ (в). (Параметр е в определении проварьированного управления и* (г) и в параметрической Записи линии $ (е) — один и тот же.) Так как управление ив (г) ограничено и отличается от и (г) только на множестве меры е (й, + ...+ й,), то иэ теоремы о непрерывной Зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных Значений легко з ~з! влгилции тпиавлвнии и тглвктогии 99 вытекает, что при достаточно малом з решение хв (Г) определено на всем отрезке т, ( 1( т + ебт, на котором рассматривается управление и* (с). Нашей ближайшей целью является вычисление положения точки хе (т + эбт).

Именно, мы покажем, что справедлива формула хе(т+ебс)=х(т)+еА, и(9,)+еЛх+о(е), (21) где Лх — ие зависящий от з вектор, определяемый равен- ством Лх=у(х(т), и(т)) 6|+ + ~ А, (у(х(т,), о,) — )'(х(т,), и (т,))) бсо (22) 4=! Доказательство формул (21), (22) мы проведем индукцией по в. Прежде всего, применяя соотношение (1) к векторной функции д (с,и) = у (х (г), и) (очевидно, непрерывной по совокупности своих аргументов) и полагая О=т, р=О, у=68, мы получим т+еес ,)'(х(Ф), и(С))аг=ебс,у(х(т), и(т))+о(з), или, так как х(с) есть решение (абсолютно непрерыв- ное() системы (7), х(т+ эбан) = х(т) + е)'(х(т), и(т)) 61+ о(е). (23) Далее, если т, ( т, то при достаточно малом е отрезок между точками т и т + ебс расположен п р а в е е точки т„так что на этом отрезке управление и* (с) совпадает с и (с) и потому х" (т+ е61) — х*(т) = с+ем т+ зФ У(х*(1), и*(1)) а( = ),1'(ха (1), и(1)) сЮ.

(24) Кроме того, как легко видеть (используя теорему о непрерывной зависимости от начальных значений), решение х*(с) равномерно (на всем отрезке 1 = с( т+ з61 4' еоо докАЭАтильство пРинципА мАксимумА [гл. т стремится к х (Е) при е -~ О. Поэтому у(хе (Е), и (~)) = =у(х (Е), и (Е)) + $е (Е), где $е (Е) равномерно (по Е) стремится к нулю при е -э О. Отсюда получаем е+ пм у'(хе (~), и (Е)) ей = $ У(х (1), и (8)) ей + о (е) = = х(т+ ей) — х(т)+ о(е) = еУ(х(т), и(т)) Й+ о(е) (см. (23)). Сопоставляя это соотношение с (24), находим (при т, (т) хе (т + еЫ) = х* (т) + еУ(х (т), и (т)) ое + о (е). (25) Наконец, найдем приращение функции х* (Е) на полу- интервале ее Так как на этом полуинтервале Е'(хе (1), и" (1)) =Е'(х(1), Ре) + $ (1), гдове (~) равномерно стремится к нулю при е — ~ О, то для приращения хе (те + е (ее + се,)) — х* (те + еее) = хе )е, функции х* (~) на полуинтервале ее получаем следующее аначение: хе ~е, = ~,Е'(хе (1), и (е)) Й = ЕЕ = ),е (х(~), Р,) ей + о (е) = еЕ (х (т,), Ре) Ы, + о (е) (26) (напомним, что длина полуинтервала Хе равна ей,, причемпри е -+ О этот полуинтервал стягивается к точке т,).

Переходим к индуктивной проверке соотношений (21), (22). При г = О мы имеем и" (~) = и (1). Поэтому (см. (14), (15), (19)) хе (~) = х (1) + еА с и Яе) + о (е). В частности, хе (т) — х(т) = еА,,П($е)+ о(е). ВАРиАции упРАВлениЙ и тРАектоРНЙ ю~ г дг1 7'еперь в силу (23) и (25) получаем хг (т+ ей) — х(т+ ей) = хг (т) — х(т) + о(е) = = еАт и($г) + о (е), откуда (см. (23)) г (т + ей) = х (т+ ей) + еА,, и (3г) + о (е) = = х (т) + е1'(х (т), и (т)) й + еА,, и (ег) + о (е), и формулы (2д), (22) при г = О установлены.

Предположим теперь, что формулы (2д), (22) доказаны уже для случая, когда число полуинтервалов Х„Х„... м е н ь ш е чем г, и докажем справедливость этих формул при наличии г полуинтервалов 1„Х„..., Х,. Обозначим через х такое целое число, что тд„— — тдг, =... =т, и тд(т, П1ди д(й (случай )г = О не исключается). Заменяя точку т точкой т„число бд числом дд,д, а число г м е н ь ш и м числом )г, мы, в силу индуктивного предположения, получим нз (2д), (22) х*(т, + едд+д) = х(т,)+ еХ(х(т,), и(т,)))д~д+еА,,Ц(аг)+ + е,5' Ат, с [.Х(х (т ), Рд) — Х (х (тд), и (т ))) й, + о (е). (27) д=д Это есть значение функции х* (д) в левом конце полуинтервалаХА+д.

Далее, так как полуинтервалыХ„А„...,Х, примыкают один к другому, то, суммируя соотношения (26) для д = и + д, ..., г, мы получим приращение функции х* (д) от левого конца полуинтервала 1дм до правого конца полуинтервала Х„ т. е. до точки т, + е (д, + й,): хе(т, + е(д, + й,)) — хе(т, + е) д) = з =е ~ч', Х(х(тд), Р,)йд+о(е). Д А+д СОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИНЦИПА МАКСИМУМА (Гл, ! Складывая это соотношение с соотношением (27), найдем хе (т, + е ((, + й,)) = х (т,) + е1'(х (т,), и (т,)) ( +! + в +еА,, 1,Яв)+ е ~ ~(х(т!), Р!)Ыс-)- !ь Ь+1 ь +е ~ Ав,,„. (! (х(т!), о!) — ! (х(т!), и (т!))) 6!!+ о(е) = в=! = х (т,) + ег'(х (т,), и ( с,)) ((А 1+ йьы +...

+ й,) + + еА,, 1, (ев) + е ~ (у (х (т!), о!) — у(х (т,), и (с,))) й,. + 1=А+1 + е ~А.„.!(.г(х(т!), У!) — 3'(х(т!), и(т,))) й!+ о(е). 1=1 Учитывая, что А,, = Е при ! = л + 1, ..., г (см. (17)), можем последнее соотношение переписать в виде хв (с, + е (!', + й,)) = х (т,) + + ег'(х (т,), и (т,)) ((д+! + ймы +... +й,) + ЗАв 1, (ев) + + е ~ч~ ~А,, [у(х(т!), У!) — ~(х(т!), и (т!)Ийс+ о(е). (28) в=1 Если т„„= т,=т, то, в силу определения чисел 1„мы имеем ~, + 6с, = бс, 1дв! + 6с„„+...+ 6с, = 6с, так что соотношение (28) совпадает в этом случае с (21), (22).

Если же т,(т, то 1, + 6с, = О, 1„„+ йд ! +...+ й, = О, и соотношение (28) принимает вид х*(т,) = х(тв)+ ЗА, 1,($0) + + е ~ч~~ А,, (у (х (т!), Р!) — У(х (т1), и (т,) ) ) й! + о (е). (29) 1=1 Так как в этом случае на участке т, ( с ~ т управление и* (с) совпадает с и (с), то (см.

$ 12) с точностью до величин более высокого порядка малости чем е, векторы х* (с) — х (с) при т, ( с = т получаются друг из друга переносом вдоль траектории х (с) (см. (19)): х'(С) — х(С) = А1,,(х*(т,) — х(т,))+ о(е) (С~т,). Поэтому, применяя к формуле (29) преобрааование А юз основныв лвммы 5 14! мы получаем (см. второе из соотношений (17)) л*(т) — л(т) = з 4., ц($о) + в + е,У, А» т (у'(х(т,.), э,.) — у'(х(т;), и(г,.))) й,. + о(з). Наконец, складывая последнее соотношение с соотношением (25), мы и в этом случае (т.