Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (2-е издание), страница 13

управление и(г), ге(г = Сы называется озраниченпым, если множество всех точек и (г), ге ( г ( г'„имеет в пространстве Е„компактное замыкание. В дальнейшем предполагается, что выбран некоторый класс Р управлений; управления, принадлежащие этому классу, будут называться допустилыии. От класса П допустимых управлений требуется только, чтобы: он удовлетворял следующим трем условиям: е) Првводнмые ниже рассуждения проходят беа всякого наменення для случая, когда У представляет собой нронавольное подмножество некоторого топологячесвого хаусдорфова пространства со счетной базой.

Незначительное нзмененне доказательства позволяет снять в требование существования счетной баам. Однако мы ограничиваемся в тексте случаем подмножества г-мерного векторного пространства вак наиболее простым н вполне достаточным для приложений. а аа! лопь стимыв тпгавлвния т) Все управления и (~), ~а ( ~ ~ ~, принадлежащие классу Р (т. е. допустимые), измеримы и ограничены. 2) Если и (~), та ( ~ ( 8„— допустимое управление и если и — произвольная точка множества бх, а 1', 8"— такие числа, что 1а ( 8' ( а"' ( 1„то управление ит (8), а ( 1 ( 8ю определяемое формулой е при С'(С(Ю', ид(С)= и(ю) при Ю,~г~у и К" <Ю~~„ также является допустимым. 3) Если отРезок 8а ( ~ ( та Разбит точками делениЯ на конечное число частичных отрезков, на каждом из которых управление и (~) допустимо, то зто управление допустимо и на всем отрезке ~а ( ~ = 8а. Допустимое управление, рассматриваемое на частичном отрезке, также является допустимым.

Управление, получающееся из допустимого управления и (а), 8а ( 1 ( 1ю Сдвигом времени (т. е. управление и, (~) = и(1 — а), 1а+ са ( т =. ~а+ + и), также является допустимым. В качестве класса допустимых управлений м о ж н о взять, например, множество всех изме р и м ы х о г р ан и ч е н н ы х управлений. Этот класс допустимых управлений, очевидно, содержит в себе любой другой класс допустимых управлений, и потому мы будем обозначать его символом Ртах. Другим примером может служить множество всех к у с о ч н о- н е и р е р ы в н ы х управлений, о которых мы говорили в первой главе. Наконец, классом допустимых управлений является множество всех кусочно-постоянных управлений (т.

е. таких управлений и(~), ~ ( т ( т„что отрезок ~а ( 1 ( 8д можно разбить точками деления на конечное число частичных отреаков, внутри каждого из которых управление и (~) постоянно). Этот класс допустимых управлений, в силу условий 2) и 3), содержится в любом другом классе допустимых управлений. Позтому класс всех кусочно-постоянных управлений мы будем обозначать символом Ртап. В дальнейшем на протяжении всей этой главы мы будем предполагать, не оговаривая етого специально, что 86 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИНЦИПА МАКСИМУМА (ГЛ.

3 раз навсегда фиксирован некоторый класс допустимых управлений. Этот класс будет обозначаться символом 1). Введение в рассмотрение измеримых (а не только кусочно-непрерывных) управлений объясняется отнгодь не стремлением к наибольшей математической общности. Дело в том, что в главе 3 при доказательстве весьма важной теоремы существования мы будем вынуждены пользоваться измеримыми управлениями (несмотря на то, что в окончательной формулировке теоремы участвуют лишь кусочно-постоянные управления). В связи с необходимостью рассматривать измеримые управления мы отметим здесь некоторые важные для дальнейшего свойства измеримых функций.

Пусть и (1)— произвольная измеримая функция, заданная на интервале а (1( Ь и принимающая значения в области управления 0. Точку 8 интервала а ( е ( Ь мы будем называть правильной точкой для функции и (1), если для любой окрестности 0~0 точки и (8) выполнено соотношение -(.— (о) () Л юеег о щее1 здесь и е (О) — множество всех точек еинтервала а (1( Ь, для которых и (1) ~ О, через 1 обозначается произвольный отрезок, содержащий точку О, а символ шез овначает лебеговскую меру множества.

Очевидно, что всякая т о ч к а не п р е р ы в н о с т и функции и (1) является ее правильной точкой (ибо если отрезок 1, содержащий точку О, достаточно мал, то 1с:и ' (О)). Таким образом, если функция и (1) кусочно-непрерывна, то все точки интервала а (1( Ь, за исключением лишь конечного числа их, являются правильными точками для функции и (1). Окавывается е), что в случае произвольной измеримой функции и (1) множество всех правильных точек имеет на интервале а(1(Ь полную меру, т. е. почти все точки интервала а (1 ( Ь являются правильными точками для функции и(1) . е) Это утверждение легко следует вз того факта, что почти все точки произвольного измеримого множества являются его точками елоееносоее(см., например, Ф.

Р в ос в Б. С е к е ф а л ь в в- Н а д ь, Лекции пофувкцяопаяьвому анализу, ИЛ, М., 1954, етр. 21; И. Н. Н а т в в с о е, Теория функций вещественной ееремеявой, Гостехиздет, М., 1957, стр. 285). 9 1о1 допустимые упРАВления Далее, пусть д (1, и) — действительная непрерывная функция пары переменных 1~ (а, Ь), и ~ У и и (1), а(1( Ь, — о г р а н и ч е н н а я иамеримая функция со значениями в У. Если 8 — правильная точна для функции и (1), то имеет место соотношение в+ее д(1, и(1))х()=з(д — р)я(8, и(8))+о(з); (1) в+ре здесь р и д — проиавольные действительные числа, е — достаточно малое положительное число, а о (з) — бесконечно о (е) малая более высокого порядка, чем е, т. е.

1пп — =О; е-е интеграл понимается в смысле Лебега. Соотношение (1) легко выводится нз определения правильной точки. Отметим, что если функция л непрерывно зависит еще и от параметра т, изменяющегося в к о и и а к т н о м множестве ))г (например, в замкнутом ограниченном множестве некоторого конечномерного векторного пространства), то формула (1) сохраняет силу: в+ее л(1, и(1), У)~й= В+те =з(д — р)д(В, и(8), у)+о(з, у), у ~)у, (2) причем величина о (з, у) р а в н о м е р н о по т имеет боо (е, т) лее высокий порядок малости, чем з, т.

е. отношение— РаВНОМЕРНО ПО У(- ЛГ СтРЕМИтСЯ К НУЛЮ ПРИ Е -е О. Сделаем еще некоторые замечания о дифференциальных уравнениях с ивмеримыми правыми частями е). Рассмотрим охг — =й'(хг, ..., х, 1, и), х'=1, 2, ..., Вх. (3) Правые части уравнений (3) непрерывны по совокупности переменных гх, гх, ..., г, 1, и и непрерывно дифференцируемы по з', ге, ..., х .

Пусть и (г) — произвольная ограниченная измеримая функция, заданная на отрезке (е ( 1 ( (х и принимающая значения в П. Мы будем рассматривать а б с о л ю т н о н е и р е р ы в н ы е функции е) См. С. С аг а 1Ь е о 6 о г у, г'ог1ехппбеп йЬег гее11е Рпп)гИопеп, ).е1рх)я, 1927, стр. 665; Дж. С а н с о н е, Обыкновенные дифференциальные уравнения, т. П, ИЛ, М., 1954, стр.

120. 88 дОБАзАтельстВО пРинципА мАксимумА (гл. г г~ (Г), ..., г (1), удовлетворяющие почти всюду на некоторой части отрезка («( 1 ~ 1» соотношениям =й((г»(1), ..., г ((), 1, и(»)), 1=1, 2, ..., т. Каждую такую систему функций г» (1), ..., г (г) мы будем нааывать решением системы (3), соответствующим управлению и (1). При таком понимании решений для системы (3) справедливы (при произвольно заданном управлении и (г)) все основные факты теории обыкновенных дифференциальных уравнений и, в частности, теорема существования и единственности решений.

Вообще говоря, решение системы (3) определяется н в н а в с е и о тр е з к е 1«(г(г„на котором задано управление и (1) (и, следовательно, правые части системы (3)). Однако, если система (3) л и н е й н а относительно г', ..., г'", то любое решение системы (3) определено на в с е м отрезке »»(1~«» задания управления и (»). В случае, когда правые части системы (3) непрерывно зависят еще и от некоторого параметра р, имеют место обычные теоремы о непрерывной зависимости решений от параметров. В частности, решения системы (3) непрерывно зависят от начальных значений. Кроме того, «добавки», которые получают функции г' при малом изменении начальных значений, удовлетворяют обычной с и с т е м е уравнений в вариациях (ср. $12).

$11. Формулировка принципа максимума для произвольного класса допустимых управлений Как и в предыдущей главе, мы будем рассматривать систему дифференциальных уравнений — =~( (хг, х», ..., х", и», ..., и") †: ~((х, и), (4) 1=1,2,...,и, или, в векторной форме, †„- = 1 (х, и). (5) Функции (ю', ) = 1, 2, ..., и) О ОП ФОРМУЛИРОВКА ПРИНЦИПА МАКСИМУМА 89 предполагаются заданными и непрерывными на прямом произведении ХхП, где П вЂ” замыкание множества 0' в пространстве Е„.

Как и в предыдущей главе, мы введем в рассмотрение интегральный функционал (6) где /' удовлетворяет тем же условиям, что и функции /', ( = 1, 2, ..., п. Поставим задачу: среди всех допустпимых управлений и = и (1), переводящих фавовую точку иг положения х« в положение хю найти такое, для. которого функционал (6) принимает наименьшее возможное значение (моменты времени 1» и 1, ааранее не заданы). Термины «оптимальное управление» и «оптимальная траектория» мы сохраним и в этой главе.

Дословно так же, как и В главе 1, поставленная оптимальная задача формулируется в следующем эквивалентном виде. В (и + 1)-мерном фазовом пространстве Х переменных х', х', ..., х" даны точка х, = (О, х,) и прямая П, параллельная оси х» и проходящая через точку (О, хг). Среди всех допустимых управлений и = и (1), обладающих тем свойством, что соответствующее решение х (1) системы 1 =О, 1, ..., п, (7) с начальным условием х (ОО) = хг пересекает прямую П, найти такое, для которого точка пересечения с прямой П имеет наименьшую координату х'. Для формулировки принципа максимума мы, как и в главе 1, введем в рассмотрение систему уравнений 4 В~ (х, и) а=« для вспомогательных неизвестных ф„фю ..., ф„и функцию п оу('"(«р, х, и) =(«р, г'(х, и))= " ', фаг'а(х, и), а=г 99 доклзлткльство пгинципа мьксимтмк [гл, з с помощью которой уравнения (7) и (8) записывазотся в виде гамильтоновой системы вв'е1 дол <й дт1 ' д.;У 1=0, 1,..., и, (9) 1=0, 1,..., и, (10) будет означать, что функции ~р, и у, почти всюду совпадают.

Цель настоящей главы состоит в доказательстве принципа максимума (теорема 8) и условий трансверсальности. Ваяв произвольное управление и (Ф), Ее = 1( ем класса Й (т. е. допустимое) и начальное условие х (1,) =- хю мы можем найти соответствующую (т. е. удовлетворяющую системе (9)) траекторию х(Е) = (х' (Е), х' (1),..., х" (1)). Предположим, что она определена на всем отрезке се(1 Фд. Тогда, подставив функции и (1) и х (1) в правые части системы (10), мы получим линейную систему относительно неизвестных ~р„ф„..., ф„, коэффициенты которой определены и непрерывны на всем отрезке Е,( Е(1м Каждое решение Ч' Ж = Оре (е) ф (с) " Ф (е)) этой системы (оно также определено на всем отрезке 1е~с(1,) мы будем называть решением системы (10), соответствующим функпиям и (е) и х (е).