Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (2-е издание)

548 П 56 УДК 5!9.9 Лев Семенович Понтрягин, Владимир Григорьевич Болтянский, Реваз Валерианович Гамкреяидве, Веселий Фролович Мищенко МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНЬУХ ПРОЦЕССОВ М., 1969 г., 384 стр. с илл. РедактоР Н. Х. Розов. Техн. Редаитор С. Я. Швяяр. Корректор Г. С. Иванова. Сдано в набор 4СО 1988 г. Подписано в печати 3/П! 1969 г. Бумага 84Х!089ж Фиа.

печ. л. 12. Услсвн. печ. л. 20,16. Уч.-изд. л. 18,66, Тираж 21 600 звз. Т-02699. Цена книги 1 р. 40 в. Заказ М 140. Иадательство «Наува», Главная Редакция визиво-математичесвой литературы. Москва, В-11, Ленинский проспевт, 18 Ордена Трудового Красного Знамени Ленивградсвая типограйия М ! ° Печатвйй Двор» имени А. М. Горелого Главполиграйпрома Комитета по печати йри Совете Министров СССР, г.

Ленинград, Гатчвнсвая ул., 26. 2-2-6 6!Ч4В ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ко второму иадаяию 52 67 75 79 Глав $ $ 92 97 103 И1 121 199 1' Глав $ 1 $ $ $ $ Глав $ $ $ $ а 1. Привцип максюаума 1. Допустимые управления 2. Постановка основной аадачи ........... 3. Принцип максимума 4. Обсуждение принципа максимума 5.

Примеры. Задача синтеза 6. Задача с подвижными концами и. условия трансверсалькости 7. Принцип максимума для неавтономных систем 8. Задача с аакреплеивым временем 9. Свяаь принципа максимума с методом динамического программирования а 2. Доказательство принципа максвмума..... 10. Допустимые управления И. Формулировка привциоа максимума для проиавольного класса допустимых управлений ....

12. Система уравнений в вариациях и сопряжеииая ей система 13. Вариации управлений и траекторий ....... 14. Осковвые леммы . 15. Доказательство привципа максимума ...... 16. Вывод условий травсверсалькости ........ а 3. Линейные оптимальные быстродействия.... 17. Теоремы о числе переключений 18. Теоремы единственности 19. Теоремы существования .............. 20.

Синтез оптимальпого управления......... 21. Примеры 22. Моделивовавие линейных оптимальных быстродействии при помощи репейных схем....... 23. Линейные уравнения с переменными коаффици- евтами 13 13 15 23 27 28 128 128 137 142 152 157 Огллнлинии Глава 4. Разные задачи .. 6 24. Случай функционала, ааданного несобственным интегралом .. 6 25. Оптимальные процессы с параметрами...... $26. Применение теории оптимальных процессов к задачам приближения функций..........

6 27. Оптимальные процессы с запаздыванием..... 6 28. Одна задача преследования Г л а в а 5. Принцип максимума и варнацнопное исчисление 6 29. Основная задача вариациоппого исчисления 6 30. Задача Лагранжа Г л а в а 6. Оптвмальные процессы при ограниченных фааовых координатах 6 31. Постановка задачи 6 32. Оптимальные траектории, лежащие на граняце области $33.

Докавательство теоремы 22 (основные построения) $34. Доказательство теоремы 22 (окончание) ..... 6 35. Некоторые обобщения............... 6 36. Условие скачка 6 37. Формулировка основного результата. Примеры. Г л а в а 7. Одна статистическая задача оптимального управления $38. Понятие о марковском процессе. Дифференциальное уравнение Колмогорова $39. Точная постановка статистической задачи .... 6 40.

Сведение вычисления 'функционала Х к решению краевой задачи для уравнения Колмогорова 6 41. Вычисление функционала Х в случае, когда уравнение Колмогорова имеет постоянные коэффициенты $42. Вычисление функционала Х в общем случае Литература 206 206 209 215 233 247 260 261 271 281 283 295 316 324 326 337 344 349 351 354 377 383 НРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Физические процессы, имеющие место в технике, как правило у п р а в л я е м ы, т. е. могут осуществляться различными способами в зависимости от воли человека. В связи с этим возникает вопрос о нахождении наилучшего в том или другом смысле или, как говорят, оптимальнозо управления процессом. Речь может идти, например, об оптимальности в смысле быстродействия, т.

е. о достижении цели процесса за кратчайшее время, о достижении этой цели с минимальной аатратой энергии и т. п. Математически сформулированные, эти вопросы являются аадачами в а— ри ацио ни о го исчисления, котороеиобязаноим своим возникновением. В классическом вариационном исчислении нет, однако, решения целого ряда вариационных задач, важных для современной техники. Коллективу авторов этой книги принадлежит налагаемое здесь решение значительного числа таких вариационных задач неклассического типа. Решение это в существенных чертах объединяется одним общим математическим приемом, который мы называем п р и н ц и п о м м а к с и м ум а.Следует заметить, что все основные необходимые условия классического вариационного исчисления с обыкновенными производными следуют из принципа максимума (см. главу 5).

Мы рассматриваем здесь такие управляемые процессы, каждый из которых может быть описан системой обыкновенных дифференциальных уравнений — = г" (х~, ..., з", и', ..., и"), 1 = 1, 2, ..., п; ($) с здесь л', ..., х" — величины, характеризующие процесс 6 пгкдисловии ко ВтОРОму иэдАнию т. е. фаэовые координаты управляемого объекта, определяющие его состояние в каждый момент времени и',..., и" — параметры управления, определяющие ход процесса, и ~ — время.

Для того чтобы ход управляемого процесса (1) был определен на некотором отрезке времени 1э ( г ( Г„достаточно, чтобы на этом отрезке времени были заданы (как функции времени) параметры управления и~, ..., и": и'=и'(1), у'=1, ..., г. (2) Тогда при заданных начальных значениях х (га) ~а~ (3) решение системы (1) определяется однозначно. Подлежащая решению вариационная эадача, связанная с управляемым процессом (1), заключается в следующем. Рассматривается интегральный функционал У = )/'(х', ..., х", и', ..., и") <Й, (4) гдов' (х', ...,л", и', ..., и') — заданная функция. Для каждого управления (2), заданного на некотором отрезке 8е = 8 =- Г„одноэначно определяется ход управляемого прсцесса, и интеграл (4) принимает определенное значение.

Допустим, что существуют управления (2), переводящие управляемый объект иэ заданного начального фааового состояния (3) в предписанное конечное фаэовое состояние л'(81) = х~, 1 = 1, ..., и. (5) Требуется отыскать управление и'(г), у'=1, ..., г, (6) которое осуществляет переход управляемого объекта иэ состояния (3) в состояние (5) таким обраэом, чтобы функционал (4) имел минимальное эначение. При этом моменты времени Г, и ~, в рассматриваемой постановке задачи не фиксируются, а требуется только, чтобы в начальный момент времени объект находился в состоянии (3), а в конечный момент — в состоянии (5) и чтобы фундционал (4) достигал минимума. (Случай, когда моменты времени пгвдисловив ко втогомг изданию 7 г„г, фиксированы, также представляет цнтерес; он легко сводится к задачам, упоминаемым в этом введении, см.

з 8.) В частном случае, когда функция 7' (х', ..., х", и', ..., и"), определяющая функционал (4), тождественно равна единице, функционал (4) имеет величину г, — г„и наша вариацяонная задача превращается в оптимальную задачу быстродействия. В технических задачах, где параметры управления и~, ..., й определяют, например, положение рулей машины, эти параметры не могут принимать произвольных значений, а подчинены некоторым ограничениям.

По самому устройству описываемого системой (1) механизма параметр и' может, скажем, принимать лишь значения, удовлетворяющие условию (7) !и'!~1 Иля, например, если параметры и', из характеризуют векторную величину на плоскости, модуль которой не превосходит единицы, а направление произвольно, то эти параметры подчинены условию (и')'+ (из)з ( 1. Вообще следует считать, что точка (и', ..., и") должна принадлежать некоторому множеству 77 пространства с координатами и', ..., и", причем выбор этого множества У отражает специфику объекта (1). Множество У (зобласть управления») в математической постановке задачи считается произвольным, но для технических задач особенно важен и характерен случай з а м к н у т о г о множества У (ср. неравенства (7), (8)).