1611141232-257f7f55a747e91bc7649c760a2ebb5e (Ильин Позняк 1999 Аналитическая геометрияu), страница 45

Снова очевидно, что в примененнн к прежним точкам определенное на а соотношение «конгруэнтен» сохраняет старый смысл. Очевидно также, что для точек пополненной прямой а опре- делен порядок следования и справедливы аксиомы конгруэнт- ностн 111,1 — 3 н аксиома Архимеда 1Ч,1. Тем самым мы установили возможность пополнения прямой, противоречащую аксиоме линейной полноты 1Ч,2. Достаточность доказана. 2. Необходимость. Докажем, что еслн аксиома линей- ной полноты 1Ч,2 не имеет места, то координаты всех точек прямой а не исчерпывают всех вещественных чисел. Если аксиома Ч1,2 не имеет места, то существует пополнен- ная новыми точками прямая а, для всех точек которой опреде- лены соотношения «лежит между» и «конгруэитен», определен порядок следования и справедливы аксиомы конгруэнтностн И1,1 — 3 н аксиома Архимеда 1Ч,1.

В силу первой основной теоремы на пополненной прямой а можно ввести координаты (в этой теореме аксиомы 1,1 — 3 н 11 использовались лишь в форме возможности установления на данной прямой порядка следования точек), Мы получим, что каждой точке пополненной прямой й отве- чает определенное вещественное число, причем разным точкам отвечают различные вещественные числа.

Но отсюда следует, что те вещественные числа, которые отвечают точкам, произво- дящим пополнение, не будут соответствовать нн одной точке исходной прямой а. Необлходнмость доказана. Вторая основная теорема полностью доказана. % я ивпоотивотвчнвость тяетмвтони евклида 2!Г 6.

Аксиома параллельности. Самая последняя аксиома играет в геометрии фундаментальную роль, определяя разделение геометрии на две логически непротиворечивые и взаимно исключающие друг друга системы: евклидову и неевклидову геометрии. В геометрии Евклида эта аксиома формулируется так: У. Пусть а — произвольная прямая и А — точка, лежащая внг прямой а, тогда в плоскости а, определяемой точкай А и прямой а, существует нв более одной прямой, проходящей чвргэ А и нв пересекающей а. Долгое время геометры выясняли вопрос о том, не является ли аксиома параллельности Ч следствием всех остальных аксиом 1, !1, Ш, 1Ч. Этот вопрос был решен Лобачевским*), который доказал, что аксиома У не является следствием аксиом 1 — 1Ч.

По-другому результат Лобачевского можно сформулировать так: если н аксиомам ! — !Ч присоединить утверждение, отрииающгг справедливость аксиомы Ч, то следствия всех этик положений будут составлять логически непротиворечивую систему (негвклидову геометрию Лобачевского). Схема доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского излагается в 5 3 настоящего Приложения. Здесь же мы отметим, что систему следствий, вытекающих из одних только аксиом 1 — 1Ч, обычно называют абсолютной геометрией. Абсолютная геометрия является общей частью как евклидовой, так и неевклидовой геометрий, ибо все предложения, которые могут быть доказаны только с помощью аксиом 1 — 1Ч, верны как в геометрии Евклида, так и в геометрии Лобачевского (примеры таких предложений читатель найдет в предыдущих пунктах). й 2.

Схема доказательства непротиворечивости геометрии Евклида Наметим схему доказательства непротиворечивости всех пяти групп аксиом геометрии Евклида. Ради простоты ограничимся доказательством, не п р от н в аречивости пл а ни метр ии Е в кл ид а, т. е. установим непротиворечивость системы аксиом 1, 1 — 3, 11 — Ч. Для доказательства достаточно построить какую-нибудь конкретную реализацию совокупности объектов, удовлетворяюшмх всем указанным аксиомам. Мы построим так называемую декартову или арифмвтивгскую реализацию совокупности объектов, удовлетворяющих *) Нкколей Иванович Лобачевский — велкккй русской метеиеткк (!793— 1859) .

й)В приложение. пРОВлемы ОснОВАнии ГБОметРии аксиомам цланиметрии. Тем самым вопрос о непротиворечивости планиметрин Евклида будет сведен к вопросу о непротиворечивости арифметики. Назовем точкой любую упорядоченную пару вещественных чисел (х,у), а прямой — отношение трех вещественных чисел (и: о: в) при условии, что из+ оз Ф О «). Будем говорить, что точка (х, у) принадлежит прямой (и: о:в), если справедливо равенство их+ Оу+ в = О.

(П.б) Докажем справедливость аксиом 1, 1 — 3. Каковы бы ни были две различные точки (хи у1) и (хм уз), прямая '«) (уз — уз . хз — х1 . х1уз — хзу~), как легко убедиться, содержит эти точки (аксиома 1, 1). Далее из уравнений их,+оу,+в О, их»+пуз+в О вытекает, что и: о: в =(уз — уз): (хз — х1): (х1уз — хзу~), так что точками (хиу1) и (хз,уз) определяется только одна прямая (и: о: в) (аксиома 1,2). Наконец, справедливость аксиомы 1,3 вытекает из того, что уравнение (П.б) с двумя неизвестными х и у всегда имеет бесчисленное множество решений и не всякая пара х и у есть решение уравнения (П.б).

Теперь определим соотношение «лежит между». Так как из+ оз чь О, то либо и Ф О, либо о чь О. Если о чьО, то будем говорить, что точка (хз, уз) лежит между (хьу~) и (хз,уз), если либо х1 (хз (хь либо х|.;» хз > ,з хз. Если же о =О (при этом заведомо ичьО), то будем говорить, что точка (хз, уз) лежит между (хь у1) и (х, у ), если либо у~ ( уз ( ум либо у~ ) уз ) уз.

Справедливость аксиом П, 1 — 3 проверяется тривиально. Несколько кропотливую проверку аксиомы Паша П«4 мы опустим. Обратимся теперь к определению соотношения «конгруэнтен». С этой целью рассмотрим так называемое ортогональное преобразование. Преобразование (П.7) у' а + йзу+ с„ х'=а,х+ Ь,у+ с„ «) Отномеяяем (и: о: и) на»мелется еовокувносп трех вмяественнмк чнсел и, о, и ярн условия, что орн любом Хчь О совокунностн и, о, м я Ан, Хо Ам рассматриваются квк тождественнме.

««) Твк кзк точки (кь у~) н (лз уз) различны, то (хз — лз)з+(уз — уз)зчь чь О. $21 иепоотивоьвчивость гвоматоии евклида переводящее произвольную точку (х, у) в определенную точку (х',у'), называется ортогональным, если выполнены соотнощения а',+ Ьо=1, ао+ Ьо=1, а,а, + Ь,Ь, О. (П.й) Легко доказать, что всякое ортогональное преобразование (П.7), (П.8) можно представить в одной из следующих форм: либо в виде х' = ах — ру -)- с„у' = рх+ ау+ с,, (П.9) либо в виде х' ах+ ру+ с„у'= (1« — ау+ см (П.10) причем в обоих случаях а'+()о=1. Преобразования (П.9) и (П.10) обычно называют ортогональными преобразованиями соответственно первого и второго рода. Пусть даны произвольная прямая (и: о: в) и на ней некоторая точка (хо, уо), так что ихо+ оуо+ гв = О. Легко убедиться в том, что совокупность точек (х,у), где «=хо+ ог у=уо — иг.

(П.11) принадлежит прямой (и: о: э) для любого вещественного числа й Далее ясно, что при г ) 0 все указанные точки (х,у) лежат по одну сторону от точки (хо, уо), а при г ( 0 эти точки лежат по другую сторону от (хо, уо). Иными словамн, уравнения (П.11) при всевозможных положительных 1 определяют все точки полупрямой, исходящей иэ точки (хо, уо) и лежащей на прямой (и: о: гв). Эту полупрямую мы будем обозначать символом (хо,уо, о, — и). Оказывается, всякое ортогональное преобразование (как первого, так и второго рода) переводит любую полупрямую снова в полупрямую. Более точно, справедливо следующее утверждение: ортогональное преобразование (П.9) или (П.10) переводит полупрямую (хо, уо, о, -и) в полупрямую (х', уы о', — и'), еде для случая преобразования (П.9) «о=а«о РУо+од Уо Рхо+аро+со' о' ао+ ри; и'= — ро+ аи, и для случая преобразования (П.10) х,',=ах'+буо+с,; ц=(1«о-ауо+с,; о' = ао — ри; й = — ()о — аи.

теперь назовем отрезок АВ яонгрузнтным отрезку А'В', если существует ортогональное преобразование, которое переводит его приложение пРОБлемы ОснОВАния ГЯОметРии точку А в точку А', а точку В в точку В'. Угол ~ (Ь, й) назовем конгруэнтным .~ (й', й'), еслн существует ортогональное преобразование, переводящее полупрямую И в полупрямую Ь' н полупрямую й в полупрямую й'.

Далее нужно перейти к проверке аксиом 1П, 1 — 5. Аксиома 1Н,2 вытекает из групповых свойств ортогонального преобразования, в силу которых как последовательное проведение двух ортогональных преобразований, так н преобразование, обратное к ортогональному, снова являются ортогональнымн преобразованиями. Проверка остальных аксиом группы И1 требует кропотливой техники н использования указанного выше утверждения, и мы ее опустим. Что же касается аксиом непрерывности, то аксиома Архимеда 1Ч, 1 проверяется непосредственно, а справедливость аксиомы полноты 1Ч,2 вытекает нз того, что между всеми точками любой прямой н всеми вещественными числами можно установить взаимно однозначное соответствие (см. вторую основную теорему нз п.

5 $1). Нам остается еще проверить справедливость аксиомы параллельности Ч. Пусть (и: о: в) — произвольная прямая и (хо, уо) — точка вне ее, так что ихо+ еуо+ в Ф О. Пусть (и': О': и') — прямая, проходящая через точку (хо уо), т. е. удовлетворяющая условию и'х + уо+ '=О. (П.12) Поскольку эта прямая не пересекает прямую (и: о: в), долж- на быть несовместна система уравнений и'х + О'у + в' = О, их + еу + в = О. (П.13) Из несовместностн системы (П.13) заключаем, что и': и = = е': о, нли, что то же самое, и'=Хи, е'= Хо, где Х вЂ” некоторое число. Но тогда нз (П.12) получим в'= — Х(иго+ оуо), т.