1611141232-257f7f55a747e91bc7649c760a2ebb5e (Ильин Позняк 1999 Аналитическая геометрияu), страница 44

В силу только что упомянутых аксиом любые два отрезка мы можем сравнивать. Стало быть, и отрезки п ОМ и т ОЕ при различных и и т будут связаны либо знаком (, либо знаком ). Рассмотрим все возможные рациональные числа т/и. Их можно разбить на два класса, относя к верхнему классу те из них, для которых и ° ОМ < ° ОЕ, (П.1) и к нижнему классу те, для которых и ° ОМ)т ° ОЕ. (П.2) АКСИОМЫ ЭЛЕМЕНТАРНОИ ГЕОМЕТРИИ й)З Убедимся в том, что этн два класса однозначно определяют вещественное число х, которое мы и поставим в соответствие точке М и назовем ее координатой.

Сначала убедимся в том, что любое рациональное число из верхнего класса больше любого рационального числа из нижнего лласса. Приводя любые два рациональных числа из разных классов к общему знаменателю и обозначая последний через н, мы нз (П.1) н (П 1 получим, что числитель числа из верхнего класса больше числителя числа из нижнего класса. Отсюда и вытекает, что число из верхнего класса больше числа нз нижнего класса. Далее заметим, что оба класса не являются яустылш: нижнему классу заведомо принадлежит рациональное число нуль, а для установления непустоты верхнего класса достаточно положить а = 1 и заметить, что аксиома Архимеда 1Ч,1 гарантирует существование такого натурального числа т, что при и = 1 справеливо неравенство (П.1).

В силу теоремы о точных гранях непустого ограниченного сверху (снизу) множества ') существует точная верхняя грань х рациональных чисел нижнего класса и точная нижняя грань х рациональных чисел верхнего класса. Убедимся в том, что эти грани х и х заключеньг между как угодно близкими рациональными числами и поэтому совпадают '*). Достаточно доказать, что существуют как угодно близкие числа разных классов, а это вытекает из того, что для как угодно большого номера и найдется номер т такой, что рациональное число (т+ 1)/а приналежит верхнему классу, а рациональное число т/а принадлежит нижнему классу ««").

Положим теперь х = х = х и поставим вещественное число х в соответствие точке М, назвав его координатой этой точки. Требование 1' обосновано. Пусть теперь Мг и Мз — какие угодно две точки, лежащие по гу же сторону ог О, что и Е, и такие, что М| лежит между О и Мз, г. е. ОМз ) ОМг. Докажем, что если х~ и хз — координаты точек Мг и Мз соответственно, то хз ) хь Выберем номер и настолько большим, чтобы разность отрезков ОМз и ОМИ повторенная н раз, превзошла отрезок ОЕ (это можно сделать в силу все той же аксиомы Архимеда 1Ч,1). Тогда, обозначая через т наибольшее целое число, для которого и ° ОМ,) т ° ОЕ, «) См. выпуск 1, теорему йд. ««) См.

выпуск 1, лемму не с.48. ° ««) ТОТ фаКт, ЧТО ДЛЯ ЛЮ6ОГО НОМЕРа и НайДЕтСЯ УКаэаННЫЙ НОМЕР НГ (елкой, что спрвведлнво (П1)), снова вытекает нз ексномы Аркнмеел 17,1. 214 пРиложение. пРОБлемы ОснОВАнии геометРии мы получим, что и ОМ, <(т+1) ОЕ, (П.З) н в силу сделанного выше выбора номера и п ° ОМ» > (т + 1) ОЕ. (П.4) Из (П,З) заключаем, что рациональное число (т+ 1)/п относятся к верхнему классу по отношению к точке Мн т.

е. (т+ + Ц/п»хь а нз (П.4) заключаем, что то же самое рациональное число (т+ 1)/и относится к нижнему классу по отношению к точке Мз, н поэтому хз (т+1)/и. Тем самым неравенство хз ) х1 доказано. Если теперь мы нмеем на прямой а какое угодно число точек, идущих в порядке О, Мь Мз, ..., М„(в сторону Е*)), то нз только что доказанного утверждения для коордннат этих точек получим О( х1 ( хз( ... ( х . Тем самым для случая расположения точек по ту же сторону от О, что н Е, требование 2' доказано. Для точек М, лежащих на прямой а по другую сторону от О, совершенно аналогично вводятся отрицательные координаты н повторением тех же рассуждений мы устанавливаем требования 1' н 2' в общем виде. Для установления требований ' и 4' мы сначала докажем, что если на прямой а в положительную сторону ог О взяты точки Мь Мз и М, причем Мз лежит между О и М и отрезки М,М и ОМз конгруэнтны, то х= х~+ хз (здесь х, х1 н хз— координаты точек М, М1 н Мз соответственно).

Возьмем нз нижних классов, отвечающих координатам х1 н хь два произвольных рацнональяых числа, обозначив нх (после приведения к общему знаменателю п) соответственно через т1/и н тз/и. Тогда и ° ОМ, ~ т, ° ОЕ, и ° ОМз ~ тз ° ОЕ. Складывая последние два неравенства, получим и ° ОМ Ъ (т~ + тз) ° ОЕ. (П.б) Точнее говоря, в левой части (П.б) мы получим сумму и раз отложенного отрезка ОМ| и и раз отложенного отрезка ОМБ. но после перегруппировки слагаемых мы н получнм и раз повторенную сумму отрезков ОМ1 н ОМз, т. е.

и. ОМ»'), ») В дальнейшем зтз сторона яменуется лолвзввг«льнод ") То, что з г«ем«зряч«ской сумме отрезков мы можем, не меняя суммы, переставлять слзгземые, вытекает нз следувпшх сообрзж«ннй. Достаточно уб«днться н возможно«тн перзстзиозхв для двух слагаемых, а зтп н«посред«тзьнно Быт«ха«т нз аксиомы И!,З. з формулнрпнке которой ннчзгь не сказано ь порядке, н котором «прнсгзялязися» друг к другу слагаемые отрезкн Я'В' н В'С'.

Пра любом ях порядке сумма Я С' конгрузнтпз отрезку АС е!5 АКСИОМЫ ЭЛЕМЕИТАРИОИ ГЕОМЕТРИИ Из яеравенства (П.б) заключаем, что рациональное число — '+ ь принадлежит нижнему классу, отвечающему кол л ординате х. Совершенно аналогично, взяв любые рациональные числа ль1/н и вы/и из верхних классов, отвечающих координатам х1 и хт, мы убедимся в том, что рациональное число — '+ — ' принадлежит верхнему классу, отвечающему координате х.

Но тогда из определения суммы вещественных чисел и из того, что рациональные числа как из верхнего, так н из нижнего классов как угодно точно приближают соответствующую координату, мы получим, что вещественное число х равно сумме х1+хз. Тем самым нами доказано, что отложить ог точки Мь с координатой х1 (в положительную сторону) отрезок ОМ,— это все равно, чго построить точку М с координатой х, удовлетворяющей условию х = х~+ хь, где хь ) Π— координата точки Мь. Это утверждение мы доказали для случая х~ ) О, но легко распространить его н на общий случай (предоставляем это читателю).

Из доказанного утверждения сразу же вытекает требование 4', а для доказательства утверждения 3' достаточно заметить, что откладывание данного отрезка равносильно добавлению к координате точки постоянного слагаемого. Первая основная теорема полностью доказана «). Замечание. Особо подчеркнем„что в первой основной теореме не утверждается, что каждому вещественному числу х соответствует определенная точка на прямой (т. е.

ие утверждается, что соответствие между точками прямой и вещественными числами является взаимно однозначным). Мы сейчас увидим, что это невозможно доказать, опираясь только на аксиомы 1, 1 — 3, П, 1П, 1 — 2 и 1Ч, 1 и не привлекая аксиому линейной полноты 1Ч, 2. Вторая основная теорема. Пусть справедливы аксиома 1, 1 — 3, 11, П1, 1 — 3, 1Ч, 1 и на прямой а введены координаты.

Тогда, для того чтобы каждому вещественному числу х отвечала некоторая точка прямой а, т. е. для того, чтобы между всеми точками лрямой а и всеми вещественными числами существовало взаимно однозначное соответствие, необходимо и достаточно, чтобы была справедлива аксиома линейной полноты 1Ч,2.

Доказательство. !) Достаточность. Докажем, что если существуют вещественные числа х, которым не отвечает никакая точка прямой а, то аксиома 1Ч,2 заведомо несправедлива ') Пончсркнсы, что прн доказательстве пергол оснозноя теоремы аксиомы 1, 1 — 3 и П нснольговагнсь лшиь длн установления норлдкп слгдовоннн точек на нрлмод. 216 ПРИЛОЖЕНИЕ. ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИИ ГЕОМЕТРИИ Пусть существуют указанные вещественные числа х. Каж- дое из ннх мы назовем новой точкой и присоединим все новые точки к совокупности прежних точек прямой а.

На пополненной прямой (назовем ее а) уже каждому ве- щественному числу отвечает точка, и обратно. Определим на а соотношения «лежит между» н «конгруэн- тен». Будем говорить, что точка М» прямой а лежит между М1 и Мм если либо х~ ( х» ( хм либо х1 ) х» ) хм где под хь х» н хз нужно понимать координату соответствующей точки М1, М» и М», если эта точка прежняя, и самую эту точку, если она новая.

Очевидно, что в применении к прежним точкам опреде- ленное на а соотношение «лежит между» сохраняет старый смысл. Будем говорить, что отрезок М1М, прямой а конгруэнтеи отрезку той же прямой М',М,', если х,— х,=х',— х'„где под хп х, х', и х' нужно понимать координату соответствующей / / точки Мн Мн М~ н Мь если эта точка прежняя, н самую эту точку, если она новая.