1611141232-257f7f55a747e91bc7649c760a2ebb5e (Ильин Позняк 1999 Аналитическая геометрияu), страница 42

Допустим, что это не так. Тогда Я,( — ";+Ф) Ф1+ и,. Перемножая (7.55) н (7.56), получим неравенство о 2 о хо хо Уо -г — — Ф! — -5-. (7.56) х=й~ — + — ), Хю~ гх уч х у ь)' а ь й1 — — -) Х= — + —. где Х ен( — оо оо), 1а ь)' а ь' Ф которое противоречит соотношеняю (7.54). Такнм образом, прямая Гц располагается на гиперболоиде н пролоднт через заданную его точку Мо(хо, Уо, го). Совершенно аналогично рассуждая, можно убедиться, что гннерболнческнй параболонд х = —, — —, покрыт двумя семействами прямых По н Пь. которые соответственно задаются урав- неннямн ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИИ ГЕОМЕТРИИ И ОБОСНОВАНИЯ МЕТОДА КООРДИНАТ 5 1. Аксномы алементарвой геометрми Будем рассматривать три множества объектов любой природы: объекты первого множества будем именовать точками и обозначать большими латинскими буквами А, В, С, ..., объекты второго множества будем именовать лрнимми и обозначать малыми латинскими буквами а, Ь, с, ..., объекты третьего множества будем именовать ллоскостями й обозначать греческими буквами и, р, Т, ...

Будем считать, что в рассматриваемых множествах каким- либо способом определены соотношения между объектами„ выражаемые тремя терминами: принадлежит, лежит между и конеруэнтен*). Например, точка А принадлежит прямой а илн плоскости а; точка В, прйиадлежащая прямой а, лежит между принадлежащими той же прямой точками А и С; отрезок прямой а, ограниченный принадлежащими этой прямой точками А н В, конгруэнтеи отрезку прямой Ь, ограниченному принадлежащими этой прямой точками С н Э. Будем требовать, чтобы указанные соотношения удовлетворяли формулируемым ниже двадцати аксиомам«').

Все аксиомы разделяются на пять групп. Группа 1 содержит восемь аксиом прввадлежностн. Группа П содержит четыре аксиомы порядка. Группа 1П содержит пять аксиом конгруэитности. Группа !Ч содержит две аксиомы непрерывности. Группа Ч содержит одну аксиому параллельности. Переходим к формулировке аксиом по группам.

Одновременно будем указывать некоторые утверждения, вытекающие нз формулируемых аксиом. Это поможет нам выяснить основ- «) То есть «разек». ") Во всем остзкьяом язя яряроде семах объектов, тек я еяоеоб задавая соотяоаеяяй между зтямя объеятзмя яяаявтся ярояззодьяммя. 206 поиложвнив. птовлвмы основлнни гвомвтннн ные принципы логического развертывания геометрии и обосновать возможность установления взаимно однозначного соответствия между множеством всех точек прямой и множеством всех вещественных чисел, т. е.

обосновать метод координат. 1. Аксиомы принадлежности. 1,1. Каковы бы ни были две точки А и В, существует прямая а, которой принадлежат обе эти точки. 1,2. Каковы бы ни были две различные точки А и В, существует не более одной прямой, которой принадлежат эти точки.

1,3. Каждой прямой а принадлежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой. Указанные три аксиомы исчерпывают список аксиом принадлежности планнметрии. Следующие пять аксиом вместе с указанными тремя аксиомами завершают список аксиом принадлежности сгереометрии. 1,4. Каковы бы ни были три точки А, В и С, не принадлехащие одной прямой, существует плоскость а, которой принадлежат эти три точки. Каждой плоскости принадлежит хотя бы одна точка. 1,5. Каковы бы ни были три точки А, В и С, не принадлежащие одной прямой, существует не более одной плоскости, которой принадлежат эти точки.

1,8. Если две принадлежащие прямой а различные точки А и В принадлежат некоторой плоскости а, то каждая принадлежащая прямой а точка принадлежит укаэанной плоскости. 1,7. Если существует одна точка А, принадлежащая двум плоскостям а и р, то существует по крайней мере еще одна точка В, принадлежащая этим плоскостям. 1,8. Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.

С целью использования привычной для нас геометрической терминологии договоримся отождествлять между собой следующие выражения: 1) «точка А принадлежит прямой а (плоскости а)»; 2) «прямая а (плоскость а) проходит через точки А», 3) «точка А лежит на прямой а (на плоскости а)»; 4) «точка А является точкой прямой а (плоскости а)» и т.

п. С помощью указанных аксиом уже могут быть доказаны некоторые теоремы. Так, из аксиомы 1,2 непосредственно вытекает следующее утверждение. Теорема 1. Две различные прямые не масут иметь больше одной общей точки. Предоставляем читателю доказательство следующих утверждений, вытекающих нз аксиом 1, 1 — 8*). ') В случае возннкновення ввгрулненяа отсмлвем чнтателя к книге Н.

В. Вфнмова «Вмешан геомегряя»,-Мс Наука, 19УВ. 1 и аксиомы элкмвитлэнои гкомвтэии Теорема 2. Две плоскости либо совсем не имеют общих точек, либо имеют общую прямую, на которой лежат все «х общие точки. Теорема 2. Плоскость и не лежащая на ней прямая не могут иметь больше одной общей точки. Теорема 4, Через прямую и не лежащую на ней точку или через две различные прямьче с общей точкой проходит одна и только одна плоскость.

Теорема б. Каждая плоскость содержит по крайней мере три точки. 2. Аксиомы порядка. И,1. Если точка В прямой а лежит между точками А и С той же прямой, то А, В и С вЂ” различные точки указанной прямой, причем В лежит также и между С и А. И,2. Каковы бы ни были две различные точки А и С, на определяемой ими прямой существует по крайней мере одна точка В такая, что С лежит между А и В. И, 3. Среди любых трех различных точек одной прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.

Сформулированные трн аксиомы относятся к расположению геометрических объектов на прямой и поэтому называются линейными аксиомами порядка. Формулируемая ниже последняя аксиома порядка относится к расположению геометрических объектов на плоскости. Для того чтобы сформулировать зту аксиому, введем понятие отрезка. Пару различных точек А и В назовем отрезком и будем обозначать символом АВ или ВА. Точки А н В будем называть концами отрезка АВ. Точки прямой, определяемой А и В, лежащие между А и В, будем называть внутренними точками или просто точками отрезка АВ. Остальные точки указанной прямой будем называть внешними точками отрезка АВ.

И,4. ?аксиома Паша). Если А, В и С вЂ” три точки, не лежащие на одной прямой, и а — некоторая прямая в плоскости, определяемой этими точками, не содержащая ни одной из указанных точек и проходящая через некоторую точку отрезка АВ, то эта прямая проходит также либо через некоторую точку отрезка АС, либо через некоторую точку отрезка ВС. Подчеркнем, что из одних аксиом порядка ?1,1 — 4 еще не вытекает, что любой отрезок имеет внутренние точки. Однако, привлекая еще аксиомы принадлежности 1,1 — 3, можно доказать следующее утверждение.

Теорема 6. КУтаковы бы ни были две различные точки А и В, на прямой, ими определяемой, существует по крайней мерв одна точка С, лежаи?ая между А и В, пгиложинии. пговлимы основании гиомитгии Предлагаем читателю, опираясь на аксиомы 1,1 — й принадлежности и аксиомы 11,1 — 4 порядка, последовательно доказать следующие утверждения '). Теорема 7. Среди любых трех различных точек одной прямой всегда существует одна точка, лежащая между двумя другими. Теорема 8. Если точки А, В и С не принадлежат одной прямой и если некоторая прямая а пересекает*е) какие-либо два иэ отрезков АВ, ВС и АС, то зта прямая не пересекает третий иэ указанных отрезков.

Теорема У. Если В лежит на отрезке АС и С вЂ” на отрезке В0, то В и С лежат на отрезке А0. Теорема 1й. Если С лежит на отрезке А0, а  — на отрезке АС, то В лежит также на отрезке А0, а С вЂ” на отрезке В0. Теорема 11. Между любыми двумя различными точками прямой существует бесконечно много других ее точек. Теорема 12.

Пусть каждая из точек С и 0 лежит между точками А и В. Тогда если М лежит между С и О, то М лежит и между А и В. Теорема 1У. Если точки С и 0 лежат между точками А и В, то все точки отрезка С0 принадлежат отрезку АВ (в этом случае мы будем говорить, что отрезок С0 лежит внутри отрезка АВ). Теорема 1й. Если точка С лежит между точками А и В, то: 1) никакая точка отрезка АС не может быть точкой отрезка СВ, 2) каждая отличная от С точка отрезка АВ принадлежит либо отрезку АС, либо отрезку СВ. Указанные утверждения позволяют упорядочить множество точек любой прямой и выбрать иа этой прямой направление. Будем говорить, что две различные точки А и В прямой а лежат по разные стороны (по одну сторону) от третьей точки О той же прямой, если точка О лежит (не лежит) между А н В.