XVI.Теория вероятности (наш учебник) (Учебник по Теории Вероятности), страница 46

8.1), находим М(Х~у1) = ~~г х1лИ вЂ” — ~ хглх; = МХ, откуда следует справедливость утверждения 7. > В.2. Усаоааые числовые характеристики 369 Пример 8.10. Еще раз вычислим М(Х1~хз) (см. пример 8.8), но теперь уже воспользуемся свойством 7 условного математического ожидания.

Тогда, поскольку Х1 и Хе — независимые случайные величины, то м(х,(х,) =- мх, = р. Пример 8.11. Снова обратимся к примеру 8.9. Так как сумма очков на противоположных гранях игральной кости равна 7, то Х = 7 — У. Представим Х в виде Х= 1 (7 — У). Используя теперь свойство 6, в котором положено и(х) = 1, и(у) = 7 — у, и свойство 1, получим М(Х~У) = М(1 (7 — У) ~У) = (7 — У)М(ЦУ) = 7 — У, т.е.

мы пришли к тому же результату, что и раньше, но практически без вычислений. ф Перейдем теперь к двумерной кекрермвкой случайкой величине. Определение 8.5. Для непрерывной двумерной случайной величины (Х, У) зкачекием М(х~у) = М(Х~У = у) условного маьпематпического ожидакил непрерывной случайной величины Х при условии У = у называют число М(х~у) = хрл(х~у) дх, где рх(4у) = р(х,у) ж (у) является условной плотностью распределения случайной величины Х при условии У = у.

370 8. УСЛОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Определение 8.6. Для непрерывной двумерной случайной величины (Х, У) условным матпематичееним ожиданием М(Х~У) непрерывной случайной величины Х относительно случайной величины У называют функцию д(У) = М(Х~У) от случайной величины У, принимающую значение д(д) = М(Х~д) при У =у. Проверьте самостоятельно, что свойства условного математического ожидания, выведенные для дискретного случал, справедливы и для непрерывного (исключение составляет свойство 1, поскольку непрерывная случайнал величина не может принимать всего одно значение). Резюмируя изложенное вьппе, можно сказать, что зависимость поведения „в среднем" случайной величины Х от значения случайной величины У характеризуется функциеи д(д) = Определение 8.7.

Функцию д(д) называют фднниией резреееии, или просто реереееией, случайной величины Х на случайную величину У, а ее график — линией реереееии случайной величины Х на случайную величину У,или просто Х на У. Линия регрессии графически изображает зависимость „в среднем" случайной величины Х от значения случайной величины У. Совершенно аналогично определяют значение М(У ~х) условного математического ожидания случайной величины У при условии Х = х и условное математическое ожидание М(У~Х) = = ЦХ).

При этом функцию Цх) называют функцией регрессии, или просто регрессией, случайной величины У на случайную величину Х, а ее график — линией регрессии У на Х. Линия регрессии У на Х графически изображает зависимость „в среднем" случайной величины У от значения случайной величины Х. В.г. Усаееяие чясеовые характеристики 371 Пример 8.12.

Пусть (Х, У) — двумерная случайнал величина, имеющая нормальное распределение. Как было показано в примере 8.3, условное распределение Х при условии У = р является нормальным со средним значением РГ1 (у пгг) ен~ + о'г Следовательно, согласно определению математического ожидания, имеем М(Х~У) = пег+ ог т.е. линия регрессии случайной величины Х на случайную величину У в этом случае представляет собой прямую линию ог Очевидно, что аналогичный вид имеет в рассматриваемом случае и ливия регрессии Ь(х) координаты У на координату Х. В частности, регрессия роста жителя страны Нормзлии на его вес определяется формулой Р(хг) = 120+ 0,70хг, а веса на рост — формулой Ь(х~) = 0,62х~ — 33.

Линии регрессии роста на вес и веса на рост приведены на рис. 8.1 и рис. 8.2. Условное математическое ожидание, как обычное (безусловное) математическое ожидание, характеризует иентир рассеиеанил случайной величины. Однако оно не дает никакой информации о степени рассеивания случайной величины относительно среднего значения. 372 в. УСЛОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Поскольку степень рассеивания случайной величины Х можно оценить с помощью дисперсии, то в качестве меры рассеивания случайной величины Х относительно У можно принять условную дисперсию, которую естественно определить аналогично обычной дисперсии, но используя условное распределение случайной величины Х при условии У = р. Определение 8.8.

Условной дисперсией Р(Х~У) случайной величины Х относительно (случайной величины) У называют случайную величину, задаваемую формулой В(ХЩ = М([Х вЂ” М(Х~У)]'Р ). Приведенное определение применимо как для двумерной дискретной случайной величины, так и для непрерывной. Для двумерной дискретной случайной величины (Х, У) значение лз(Х~у ) условной дисперсии Х при условии У = иу определяется формулой О(Х$у) = М([Х-М(Х!Еу)Г~ру) = Е [х; — М(Х!ру)]' И, 1=1 а для двумерной непрерывной случайной величины (Х, У) значение ьУ(Х~у) условной дисперсии Х при условии У = у задается формулой Условная дисперсия случайной величины Х так же, как и условное математическое ожидание этой случайной величины, зависит от того значения, которое приняла случайная величина У.

Поэтому условная дисперсия Р(Х~У) является функцией от случайной величины У, область определения которой совпадает с множеством возможкых значений случайной величины У. 8.х. Условные чисееаые характеристики 373 Наряду с условной дисперсией Р(Х~У) (илн ее значением 1х(Х~р)) используют условное среднее квадратичное отклоне,„(„=,(е(х(х( ( „„~,х(, = Ф(х~р. Все сказанное выше относительно условной дисперсии 1х(Х~У) справедливо и для условной дисперсии О(У[Х) случайной величины У относительно Х.

Свойства условной дисперсии определяются следующей теоремой. Теорема 8.2. Условная дисперсия Р(Х~У) обладает следующими свойствами. 1. Р(С~У)=0. ' 2. О(аХ+ б(У) = азО(Х[У). 3. В(Х~У) = М(Х'~У) — [М(ХР )1'. 4. Пусть случайные величины Хд и Хз являются независимыми при условии, что случайная величина У приняла любое конкретное значение. Тогда Р(Х1 + Хз ~У) = Р(Х1 [У) + О(Хз [У) (это утверждение мы приводим без доказательства). 5. Пусть о(Х) и е(У) — функции от сяучайньп( величин Х и У. Тогда Р(и((1) е(У)~У) = е'(У)Р(и(Х) ~У). 6.

Если Х и У вЂ” независимые случайные величины, то Р(Х~У) = ОХ. 7. 1хХ = М(Х)(Х~У)) + М(М(Х~У) — МХ) . ~ Первые два утверждения мы предлагаем доказать самостоятельно. Докажем оставшиеся четыре утверждения. Согласно определению условной дисперсии, О(ХР ) = М((Х'-гХМ(Х[ )+ [М(Х~У)1') [У).

Воспользовавшись свойством 2 условного математического ожидания, имеем В(Х[У) = М(Х'[ ) — гМ(ХМ(ХР ) ~У) + М((М(ХЩ)'1У). 374 л. УслОВные хАРАктеРистики слУчАЙных Величин Поскольку М(Х~У) и (М(Х~У)) являются функциями от случайной величины У, то в соответствии со свойством 6 условного математического ожидания в(х~~ ) = м(х'~у) — 3(м(хр )) (м(х!у)) + (м(х~у))'. Отсюда вытекает утверждение 3.

В силу определения условной дисперсии и свойства 6 условного математического ожидания имеем лУ(и(Х) и(У)~У) = =М((и(Х) и(У) — М(и(Х) и(У)~У)) ~У) = = М((и(У) и(Х) — и(У)М(и(Х)~У)) ~У) = =М(из(У)( (Х) -М(и(Х)Р))'~У) = = е~(У)М((и(Х) — М(и(Х)/У)) !У) = = и~(У)Р(и(Х)~У). Поэтому справедливо утверждение 5. Далее, если случайные величины Х и У являются независимыми, то в силу свойства 7 условного математического ожидания щхщ = м((х — м(хщ)'у) = м((х — мх)'р ). Поскольку (Х вЂ” МХ)~ и У также независимые случайные величины, то, вновь воспользовавшись свойством 7 условного математического ожидания, получим утверждение 6 теоремы.

Наконец, согласно свойству 3 условной дисперсии, имеем м(х'р ) = щхр )+ (м(х~у))', Беря от обеих частей этого равенства математическое ожидание, согласно свойству 5 условного математического ожидания, е.л. Условиые числовые характеристики 375 находим мх' = м(м(х'~у)) = м(в(х~у)) + м(м(х~ у))'. Вычитая из обеих частей последнего равенства (МХ)~, полу- чаем ах = мх'- (мх)' = м(в(хр )) + м(м(хр ))'- (мх)'. Осталось заметить, что в соответствии со свойствами 2 и 5 условного математического ожидания м(м(хщ — мх)' = м(м(хр ))'- — 2(мх)м(м(х~у)) + (мх) = м(м(х~у))— — 2(мх)(мх)+ (мх)' = м(м(х~у))' — (мх)'.

Подставляя полученное равенство в предыдущую формулу, приходим к утверждению 7. ~ Пример 8.13. Пусть (Х, У) — двумерная случайная величина, имеющзл нормальное распределение (см. примеры 8.3, 8.12). Из результатов этих примеров следует, что Р(х~у) = п1~(1 — р ) и Р(Х~У) = о~~(1 — р ). Таким образом, значение О(Х~у) условной дисперсии 12(Х~У) не зависит от значения у случайной величины У (естественно, что для произвольного двумерного случайного вектора (Х, У) это, вообще говоря, не так).

Отметим также, что при фиксированной дисперсии РХ = п~~ условная дисперсия 1л(Х~У) тем меньше, чем больше абсолютное значение коэффициента корреляции р. При р= ж1 условны дисперсия Р(Х~У) = О. Этот факт становится очевидным (причем для произвольно распределенных случайных векторов (Х, У)), если вспомнить (см. 7.4), что при р = ж1 существует линейная зависимость Х = аУ+Ь 376 8. УСЛОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСГИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН между Х и У, а значит, в силу свойств 2, 5 и 1 условной дисперсии П(Х~У) =Р(аУ+б)У) =а П(У)У) =агУ Р(ЦУ) =О.