XVI.Теория вероятности (наш учебник) (Учебник по Теории Вероятности), страница 45

Смысл введенных понятий поясним на примерах. Пример 8.3. Пусть двумерный случайный вектор (Х, 1') имеет нормальное распределение с вснтпоролт средних значений (тпм тпг) и лтатрицей новариаиий (о1, ог > О, — 1 < р < 1). Ро1ог ~т Ртттог ог ) Найдем условную плотность распределения случайной величины Х при условии 1' = р. Как известно (см. 5.5), совместная двумерная плотность распределения случайных величин Х и У 1 рх,у(х,р) = х 2яо1ог ~/1 — Рг 1 /(х — отт) гр(х — отт)(в — отт) (тт — отт) 1 1 2(1-Р ) ~ -Г от от отт ))' а маргинальны плотность распределения случайной величины 1' ( ) -(я-отт)~/(гвт~) о'2~/2~г Аналогично определяют условную плотность распределения ру(у~х) координаты У при условии Х = х: 361 8.1.

Условиые распределеяял Значит, рху(х,у) ру(у) ~г 1 Г ( (т(т((у — ют) ) ~ ,~/2 (1 ф) ( ~ ((' — Р'(~ ~ ) Таким образом, условное распределение Х при условии т = у также является нормальным со средним значением (которое обозначим д(у) ) (т1 д(у) = 1+ р — (у - птг) ог (8.7) и средним неадратпичным оптлонением (обозначим его (тх~ц) (8.8) Аналогично условное рапределение У при условии Х = х является нормальным со средним значением (которое обозначим о(х)) Й(х) = тпг+ р — (х — тат) (8.9) (т1 и средним квадратичным отклонением (обозначим его оу( ) оу(с = о'г ~~ — рг. (8.10) ,(.,) = 172+ ' "'~46(*г - 74) - 120+0,70хг 40 Для того чтобы дать наглядную интерпретацию полученного результата, обратимся к примеру 5.24, в котором координаты Х1 и Хг двумерного случайного вектора (Хм Хг) представляют собой рост и вес жителя страны Нормалии. Пусть известно, что вес случайно встреченного нормзльца равен хг.

Тогда его рост будет иметь нормальное распределение со средним значением (в см) 362 8. УСЛОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН и средним квадратичным отклонением «( = '45«!-066 50. Таким образом, рх,(хг~хз) = — е ри ~60з. В частности, весу 70 кг соответствует среднее значение роста 169 см, весу 75 кг — около 173 см и т.д. Отметим, что в отличие от среднего роста д(хз), зависящего линейно от хз, среднее квадратичное отклонение роста ГГХ,~к,ЯВЛЯЕТСЯ ПОСТОЯННЫМ,т.Е.НЕ ЗаВИСИт От Хз.

Графическое изображение зависимости роста от веса приведено на рис. 8.1. Здесь по оси абсцисс отложены значения роста нормальца, а по оси ординат — его веса. Прямая линия х1 = д(хз) показывает зависимость среднего роста от веса. Условная плотность распределения рх, (х1 ~хз) роста, как функции от веса хз, изображена в виде „срезов". х, см 90 190 80 180 170 70 160 60 0 160 170 180 190 х„ см 0 60 70 80 90 х, кг Рис. 8.9 Рис. 8.1 Аналогичные вычисления показывают, что условная плотность распределения р.т;, (хз~х1) веса нормальца Хз в зависимости от его роста х1 является плотностью нормального распределения с параметрами Ь(х1) 0,62х1 — 33 и ох,~х, 4,8, 363 В.1. Усхоххые реопределевих т.е.

имеет вид -(хе+33-0,62х1)е/46 Графическое иэображение зависимости веса от роста приведено на рис. 8.2. Пример 8.4. Пусть случайные величины Х1 и Хг представляют собой координаты точки падения частицы, случайным образом брошенной в круг радиуса В с центром в начале координат (см. пример 5.6). Случайный вектор (Х1, Хг) имеет плотность распределения О, Х21+хг > В' Р(Х1~хг) 1 2 2 2 — ю х1+хг (~ В Найдем условную плотность распределения абсциссы Х1 точки падения частицы при условии, что ордината Хг приняла значение хг. Поскольку маргинальная плотность распределения рх,(хг) случайной величины Хг имеет вид Рх,(хг) = О, ~хг) >В; 2~/Р— хр ~ ~ В получаем при ~хг~ ( В: о, /*,~ > ~М: $ — — р ~ 1<~о'-л 2 /Р- х~~ рх,(хцхг) = р(х1, хг) Рхх(хг) Таким образом, случайная величина Х1 при условии Хг = хг р Р рд *р ~ [-~~- „ч'н':Я).

Если ~хг~ > В, то условная плотность распределения рх, (Х1~хг) не определена; но это нас не должно волновать, поскольку случайнэл величина Хг не может принимать значения, по абсолютной величине большие В. 4~ 364 В. УСЛОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Для проверки независимости случайных величин часто удобно пользоваться следующим критерием. Критерий независимости случайных величин Х и У. Случайные величины Х и У являются незаепсплььви тогда и только тогда, когда условное распределение (функция распределения, плотность распределения) случайной величины Х при условии У = у совпадает с безусловным распределением (функцией распределения, плотностью распределения) случайной величины Х. В частности, дискретные величины Х и У являются независимыми тогда и только тогда, когда все условные вероятности я; =Р(Х =х;~У=91) совпадают с безусловными вероятностями рх,.

= Р(Х = х;), т.е. все столбцы табл. 8.1 совпадают с последним. Пример 8.8. В двух испытаниях по схеме Бернулли (см. пример 8.1) числа успехов Х1 и Хг в первом и втором испытаниях являются независимыми случайными величинами, поскольку в табл. 8.2 все три столбца совпадают. Этот факт нами уже был установлен другим способом в примере 5.9. Пример 8.8. Число очков Х, выпавших на верхней грани игральной кости, и число очков У вЂ” на нижней грани (см. пример 8.2) — зависимые случайные величины, поскольку вообще ни один из первых шести столбцов табл. 8.3 не совпадает с последним. Пример 8.7.

Условная плотность распределения случайной величины Х1 (абсциссы точки падения при равномерном бросании частицы в круг, см. пример 8.4) при условии Хз = хз (ординаты точки падения) равномерна, в то время как безусловная плотность Х1 таковой не является. И в атом примере Х1 и Хз зависимые случайные величины. 365 а2. усииитыв чистоиые характеристики 8.2.,тсловные числовые характеристики Рассмотрим двумернуто случайнуто величину (Х, У). В соответствии с результатами предыдущего параграфа можно определить условное распределение случайной величиныХ при усювии, что случайная величина У приняла определенное значение у.

Поскольку условное распределение обладает всеми свойствами обычного (беэусювного) распределения, то по нему можно определить матпематпичесное ожидание, дисперсии и другие числовые характеристики, которые естественно назвать усювными. Начнем со случал диснретпной случайной величины (Х, У). Пусть случайная величина Х принимает значения хм...,х„, а случайная величина У вЂ” значения ум..., у и пусть и ту — - 1'(Х = хт~У = уя) Р(Х=х;,У=уй) р; — > 1=1,п, у=1,ш, Р(У = уу) я; условные вероятности случайной величине Х принять значение х; при условии У = у.. Определение 8.3.

Для дискретной двумерной случайной величины (Х, У) значением М(Х~У =у ) условного машемашичесмого ожидания дискретной случайной величины Х при условии У = уз наэыватот число ч М(Х~У = у.) = ~~) хти; . Далее для краткости будем писать М(Х~у ) вместо М(Х!У = уу). По аналогии с (безусловным) математическим ожиданием МХ случайной величины Х значение М(Х~уу) условного математического ожидания при условии У = у задает „среднее" 366 В. УСЛОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН значение случайной величины Х, но при условии, что случайная величина У приняла значение у .

Таким же образом интерпретируют значение М(У~аЧ) = = М(У~Х = х;) условного математического ожидания случайной величины У при условии Х = х;. Согласно определению 8.3, значение М(х~у ) условного математического ожидания зависит от значения у3 случайной величины У, и только от него. Вспоминая понятие функции от случайной величины, приходим к следующему определению условного математического ожидания. Определение 8.4. Условным матпемаьпичесиим ожиданием М(Х~У) дискретной случайной величины Х относительно дискретной случайной величины У называют функцию М(ХЩ = д(У) от случайной величины У, где область определения функции д(у) совпадает с множеством значений у1, ..., у случайной величины У, а каждому значению у аргумента у поставлено в соответствие чисю д(у') = М(Х~у ).

Подчеркнем еще рзз, что усювное математическое ожидание М(Х~У) является функцией от случайной величины, т.е. также случайной величиной. Приведем примеры. Пример 8.8. Пусть Х1 и Х2 — числа успехов в первом и втором испытаниях по схеме Беркулли с вероятностью успеха р.

Найдем М(Х1 ~хз). Используя табл. 8.2, получаем: м(х,!6) =о д+1 р=р, м(х,р)=6 д+1 р=р. 367 8.2. Усеовиые чисаовые характеристики Таким образом, значения М(Х1~0) и М(Хц1) условного математического ожидания совпадают для обоих значений 0 и 1 случайной величины Хз и равны р. Поэтому М(Х,)Х,) ел р. Пример 8.9. Найдем условное математическое ожидание М(Х~У) случайной величины Х вЂ” числа очков, выпавших на верхней грани игральной кости, относительно случайной величины У вЂ” числа очков, выпавших на нижней грани (см.

пример 8.2). В соответствии с табл. 8.3 М(Х)1) = 1 О+2 О+3 О+4 О+5 О+6.1 = 6, М(Х~2) =1 0+2 О+3.0+4 О+5 1+6 0 = 5, М(Х~6) = 1 1+2 О+3 О+4 О+5 О+6 0 = 1. Полученный результат в терминах условного математического ожидания можно записать в виде М(Х~У) = 7 — У. Теорема 8.1. Условное математическое ожидание М(Х~У) обладает следующими свойствами. 1.

М(с~У) вес, 2. М(аХ + Ь|У) = аМ(Х)У) + Ь. 3. М(Х1 +Хз~У) = М(Х1~У) + М(Хз~У). 4. Пусть случайные величины Х1 и Хз являются независимыми при условии, что случайная величина У приняла любое конкретное значение. Тогда М(Х1Хз/У) = М(ХцУ)М(Хз/У) (это утверждение мы приводим без доказательства). 5. МХ = М(М(Х~У)). 6. Пусть и(Х) и е(У) — функции от случайных величин Х и У.

Тогда М(и(Х)е(У)~У) = е(У)М(и(Х)~У). 368 8. УСЛОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 7. Если Х и У вЂ” независимые случайные величины, то М(Х~У) = МХ. Утверждения 1-3 доказываются совершенно аналогично тому, как зто делалось для безусловного математического ожидания (разумеется, арифметические действия нужно понимать уже не как действия над числами, а как действия над функциями, определенными для всех значений случайной величины У).

Докажем последние три утверждения. Действительно, в силу определений математического ожидания и условного математического имеем га т а М(М(Х~У)) =~~ М(Х~уу)ру =~~> ру ~~> х;л; = 1=1 ужг г=1 я т =~> рУ ~~> х; — ~=~> ~ х;р;.=МХ, 1=1 з=1 з 1=1 1=1 что доказывает утверждение 5. Далее, случайная величина и(Х)о(У) принимает значение п(х;)о(у ), когда Х принимает значение х; и У вЂ” значение у., и, следовательно, для каждого у П М( (Х) ~(УПу~) =~~, (*г) ~(у1М~= = о(уу)~~Г п(х;)л; = е(у )М(в(Х)~у ), откуда вытекает утверждение 6. Наконец, используя условие независимости случайных величин Х и У, выраженное в терминах условного распределения (см.