XVI.Теория вероятности (наш учебник) (Учебник по Теории Вероятности), страница 44

Найдите математические ожидания, дисперсии, ковариацию, коэффициент корреляции, а также ковариационную и корреляционную матрицы случайных величин Х1 и Хо. 851 Вояросгл я задачи Таблица 7.11 О твет: МХ1 = 0,026 мм, МХа = 0,005 мм, РХ1 = 81 х х 10 а мм2, РХ2 = 4 10 е мм2, сои(Х1,Хг) = 254 10 о мма, 81 10 ~ 254 10 5'~ / 1 0,41~( 1,254 10 ~ 4 10 е !' ~ 0 41 1 7.51. Совместная плотность распределения двумерной непрерывной случайной величины (Х1, Хя) имеет вид р(хг,ха) = О, х1(Оилих2(0; з+ з 4Х1х2е ~*1~*~), х1 > 0 и хг > О.

Найдите математические ожидания, дисперсии, ковариацию, коэффициент корреляции, а также ковариационную и корреляционную матрицы случайных величин Х1 и Хо. Ответ: МХ1 = МХ2 = 1/я/2> ОХ1 = РХя = (4 — я)/4, сок(Х1, Х2) = О, р = О, (4 — 1г)/4 0 1 0 7 .52. Совместнал плотность распределения двумерной непрерывной случайной величины (Х1, Хя) имеет вид О, Х1 (О или Х2((0; 19(х1,х2) = Л1Л2е лма ~'*', х1 > 0 и Х2 > О, где Л1, Ло >О. 352 Ч. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Проверьте, явлюотся ли случайные величины Х~ и Хз некоррелированными.

Ответ: да, являются. 7.53. Случайные величины Х~ и Хз имеют математические ожидания МХ~ = -5, МХз = 2, дисперсии 13Х~ = 0,5, ВХз = = 0,4 и ковариацию сот(Хм Хз) = 0,2. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины У = 4Х~ -5Хз + 25. Ответ: МУ = — 5, 1:УУ = 10. 7.54. Найдите математические ожидания, дисперсии и ковариацию случайных величин У~ и Уз, где У~ = ЗХ~ — 2Хз, Уг = 5Хх — Х~, а случайные величины Х~ и Хз имеют следующие числовые характеристики: МХ~ = -0,5, МХз = 1, ПХ~ = 3, 13Хз = 2,9, соч(Х~, Хз) = 2. Ответ: МУ~ = -3,5, МУз = 5,5, 1:УУ~ = 14,6, Ш~з = 50,5, соч(Уь Уз) = -4.

7.55. Двумерный случайный вектор Х имеет вектор средних значений твом = (0,06, 0,08) и матрицу ковариаций Ех —— 0,2 0,3~ — ' ) . Найдите вектор средних значений и матрицу ко- Ф /-1 1 31 вариаций случайного вектора У = ХВ+ с, где В = ~ а с = (О, -0,1, -0,2). 1,0 1,1 1,2 Ответ: гй- = (0,10, 0,04, -0,02), Ед = 1,1 1,3 1,5 1,2 1,5 1,8 7.56. Для непрерывной случайной величины Х, имеющей плотность распределения 2 р(х) = и(хз — бх+ 13) ' найдите а-квантиль, медиану, моду и ее наивероятнейшее значение.

353 Вопросы и задачи Ответ: Яо = 2 ~8(Я(2а — 1)/2) + 3, М = 3. СлУчайнаЯ величина Х имеет единственную моду и наивероятнейшее значение хе =3. 7.5Т. Распределение вероятностей двумерной дискретной случайной величины (Х~, Хз) задано табл. 7.12. Найдите эн- Таблица 7.18 тропин скалярных случайных Х1 ичинх1иХ2,атыжеэн- Х2 05 034 148 ! > Ф тропиюдвумерногослуч " 0,19 0,08 0,12 0,20 го вектора (Х!, Хэ).

Являют- 12,24 0,12 0,18 0,30 ся ли случайные величины Х! и Хч независимыми? Ответ: Н(Х!) = 051о85+081о82 — 031о83, Н(Хч) = 1о85— — 0,41о82 — 0,61о83, Н(Хм Хз) = 1,51о85+ 0,41о82 — 0,91о83. Случайные величины Х! и Хч являются независимыми. Т.58. Двумерная непрерывнзл случайная величина (Х!, Хч) имеет совместную плотность распределения О, х! < 0 или хч.

< 0; р(х!,хэ) = Л! Лче хпн "'*' хд > 0 и хг > О. Найдите энтропии скалярных случайных величин Х! и Хч, а также энтропию двумерного случайного вектора (Х~, Хэ). Являются ли случайные величины Х! и Хч. независимыми? Ответ: Н(Х!) =1о8(е/Л!), Н(Хч) =1о8(е/Лч), Н(Х!,Хч) = = 1о8(е~/(Л!Лз)). Случайные величины Х~ и Хч являются независимыми. '5 и — !0047 8. '.УСЛОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ, СЛУ'ЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие условной вероятноспщ введенное в гл. 3.

Там же было показано, что условная вероятность Р(А~В) обладает всеми свойствами безусловной вероятности и так же, как и безусловная вероятность, представляет собой численную меру наступления события А, но только при условии, что событие В произошло. Аналогом понятия условной вероятности для двух случайных величин Х и У является условный закон распределения одной из них, допустим,Х при условии,что вторая случайная величина У приняла определенное значение.

С помощью условного закона распределения вводят условные числовые характеристики. Именно эти понятия и рассматриваются в настоящей главе. 8.1. о'словные распределения Понятие условного распределения, как обычно, введем только для случаев дискретных и непрерывных случайных величин. В случае двумерной дискретной случайной величины (Х, У) будем предполагать для простоты изложения, что множестава возможных значений случайных величин Х и У являютсл конечными, т.е.

координаты Х и У принимают значения х,, 1=1,п, и у, у =1,т, соответственно. В этом случае, как мы знаем, закон распределения двумерного случайного вектора (Х, У) удобно задавать набором вероятностей ру — — Р(Х = х,,У =уй) 355 8.1. Усюеяые ресяреяеееяяе для всех значений в и у. Напомним, что, зная вероятности рву, нетрудно найти (см. 5.2) законы распределений каждой из координат по формулам ев рх; =Р(Х =хв) =~~> р;., 1=1 Руз — Р1У вЂ” узы — ~ Рвз.

всн Определение 8.1. Для двумерной дискретной случайной величины (Х, У) условной вероятпносгпью з;", в = 1, и, у = = 1, гп, того, что случайная величина Х примет значение х; при условии У = у, называют условную вероятность события 1Х = х;) при условии события 1У =уу), т.е. Р(Х = х;, У = уД Рву вгву = Р1Х = х;~У = уу) — — .

(8.1) Р0'=Ы И'' При каждом у, у = 1, гп, набор вероятностей вгву, в = 1, и, определяет, с какими вероятностями случайная величина Х принимает различные значения х;, если известно, что случайная величина У приняла значение у . Иными словами, набор вероятностей з;", в = 1, и, характеризует условное Распределемме дискретной случайной величины Х при условии У = у;. Обычно условное распределение дискретной случайной величины Х при условии, что дискретная случайнал величина У примет все возможные значения, задают с помощью табл. 8.1.

Элементы вг; табл. 8.1 получают из элементов табл. 5.1, используя формулу Рву 3 в1 РУ,' Очевидно, что, наоборот, элементы табл. 5.1 можно выразить через элементы табл. 8.1 с помощью соотношения Рву = вгвуру1 356 В. УСЛОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Для проверки правильности составления табл. 8.1 рекомендуется просуммировать иИ по столбцам. Сумма элементов последней строки должна быть равна 1. Таблица 8.1 Аналогично определяют условную вероятность э" того, что случайная величина У примет значение р при условии Х = х;: Р(Х=х;,У =уу) р<.

Р(Х = х;1 рх; Таблица 8.8 Пример 8.1. Условное распре- деление числа Х1 успехов в первом х 2 0 1 Рх, испытании по схеме Бернулли (см. пример 5.4) при условии, что чи- 0 а а а сяо успехов во втором испытании Р Р Р Х2 =1', 1' = О, 1, задается табл. 8.2. Рха Я Р Из этой таблицы следует, что, не- зависимо от числа успехов во втором испытании, 0 или 1 успех в первом испытании происходит с одними и теми же вероятностями р и а.

Это очевидно, поскольку испытания по схеме Бернулли являются независимыми. Пример 8.2. Условное распределение случайной величины Х (числа очков, выпавших на верхней грани игральной кости, см. пример 5.5) при условии У = иу (числа очков, вьшавших на нижней грани игральной кости), 1 = 1, 6, представлено в табл. 8.3. Действительно, если, например, на нижней грани 357 В.1. Условные рвснреяевеннн выпало одно очко, то на верхней грани может выпасть только шесть очков (яв1 = 1).

ф Таблица 8.3 В общем случае (т.е. когда Х и У не обязательно дискре2 ные случайные величины) хотелось бы ввести условную функцию распределения случайной величины Х при условии У = у по формуле р ( ~у ) Р(Х<х,У=у) Р~У=у) (8.2) рл(х) = р(х,у) Ыу и ру(у) = р(х,у) Их, которые также будем считать непрерывными. 12 — 10047 Однако это не всегда возможно (например, для непрерывной случайной величины У событие (У = у) имеет нулевую вероятность, т.е. Р(У = у) = 0). Поэтому воспользуемся предельным переходом, рассматривая вместо события (У = у) событие (у < У < у+ Ь) и устремляя 2я к нулю.

Ограничимся случаем, когда двумерный случайный веки2ор (Х, У) имеет непрерывную совместную нлои2носи2ь распределения р(х,у), а следовательно (см. 5.3), и маргинальные нло7вноси2и распределения 358 В. УСЛОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Определим условную вероятность события (Х < х) при условии события (у < У < у+ ау): Р1'Х < х, у < У < у+ ау) Р(Х < хну<У <у+ау)— у+Ау я й> ) р(и,е)ои Р(х, у+ Ау) — Р(х,у) у РУ(у+ау) - РУ(у) + ° / ру(и) ди Можно показать, что в силу сделанных предположений функция ) р(и,и) ди является непрерывной. Поэтому, согласно теореме о среднем значении [Ч1], у+Ау я у | де р(и,и) ии = ау р(и,Дои, у+ау | р (у)ду =ру(Ч)ау и, следовательно, ) р(и,~)ди Р(Х <х!у < У<у+ауу= Р (Ч) где С и и — некоторые числа, заключенные между у и у+ ду.

Устремляя теперь ау к нулю, получаем следующие выражения для условной функции рвспределенил РХ(х~У = у): 3' р(и,у) д Рх(х~У = у) = 11ш Р(Х <х~у < У < у+Ау) = ау-ю рГ(у) 359 8,К условвые раелределеввл Таким образом, по определению, имеем х 1 Рх(4У=у) = ~ р(и у)д . рг(у) 1 (8.3) При сделанных предположениях о непрерывности случайного вектора (Х, У) условная функция распределения Рх(х~У = у) имеет производную по х, т.е. существует условная плотность распределения случайной величины Х при условии У = у: рх(х~У = у) = р(х,у) и (у) Аналогично определяют условную функцию распределения Ру(у~Х = х) и условную плотность распределения рг(у~Х = х) случайной величины У при условии Х = х: 1 Ру(у~Х=х) = — / р(х,е)до, Рх (х) (8.4) Определение 8.2. Условной плотностью распределения случайной величины Х, являющейся координатой двумерного случайного вектора (Х, У), при условии, что другая его координата приняла некоторое фиксированное значение у, т.е.

У = у, называют функцию рх(х~у), определяемую соотно- шением р(х,у) Му) (8.5) и" ру(у~Х =х) = р(х,у) Рх(х) Для краткости далее вместо рх(х ~ У = у) и ру(у ~ Х = х) будем писать рх(х~у) и ру(у~х). Итак, для непрерывного случайного вектора (Х, У) мы пришли к следующему определению условной плотности распределения. 360 8. УСЛОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН р(х~ в') рх (х) (8.6) Введенные понятия — условное распределение (дискретной случайной величины), условная функция распределения и условная плотность распределения (для непрерывных случайных величин) — называют ислоеными законалти распределения.