Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М., страница 9

14. С этими двумя классами векторов или направленных величин связаны две часто встречающиеся математические операции. В случае напряженности следует брать интеграл вдоль линии от произведения элемента длины этой линии на составляющую напряженности вдоль этого элемента. Результат такой операции называется Линейным (криволинейным) интегралом от напряженности. Он представляет собой работу, производимую над телом, перемещаемым вдоль этой линии. В некоторых случаях, когда линейный интеграл не зависит от формы линии, а зависит только от положения ее конечных точек, линейный интеграл называется Потенциалом.

В случае потоков следует брать интеграл по поверхности от потока через каждый нз ее элементов. Результат этой операции называется Поверхностным интегралом от потока, он представляет собой то количество, которое проходят через поверхность. Существуют определенные поверхности, потоки через которые равны нулю. Если две из них пересекаются, то линия пересечения является линией потока. В тех случаях, когда поток совпадает по направлению с силой, линии подобного рода называют Линиями Силы.

Однако было бы правильнее в электростатике н магнитостатике говорить о них как о линиях индукции, а в электрокинематике— как о Линиях Тока. 15. Существует еще одно различие между двумя разными видами направленных величин, хотя и очень важное с физической точки зрения, однако не настолько необходимое, чтобы его следовало отмечать ради применения математических методов. Речь идет о различии между поступательными (продольными) и вращательными свойствами. Направление и модуль величины могут зависеть от какого-то действия или эффекта, целиком и полностью происходящего вдоль определенной линии, а могут зависеть от чего-то иного, имеющего характер вращения вокруг этой линии, принимаемой за ось. Законы сложения направленных величин, и поступательных (продольных), и вращательных, одинаковы, так что при математическом рассмотрении между величинами этих двух классов нет никаких различий, однако могут существовать некие физические обстоятельства, указывающие, к какому из классов мы обязаны отнести данное частное явление.

Так, электролиз состоит в переносе некоторых веществ вдоль линии в одном направлении и некоторых других веществ в противоположном направлении; он представляет собой, очевидно, явление поступательное (продольное), в нем нет никаких признаков эффекта вращения вокруг направления силы, Отсюда мы делаем вывод, что и электрический ток, который вызывает или сопровождает электролиз, относится к поступательным (продольным), а не к вращательным явлениям.

С другой стороны, северный и южный полюса магнита разделяются не так, как кислород и водород, которые в процессе электролиза появляются на противоположных местах, поэтому у нас нет свидетельства в пользу того, что магнетизм Преаварвтельвав глава. Об вамереввв величии относится к продольным явлениям; в то же время действие магнетизма при вращении плоскости поляризации плоско поляризованного света отчетливо показывает, что магнетизм относится к явлениям вращательным. О линейных интегралах 16. Операция интегрирования проекции векторной величины вдоль линии имеет важное значение в физике, 'и потому ее следовало бы ясно понимать.

Пусть х, у, г — координаты точки Р, расположенной на некоторой кривой, длина которой, измеряемая от определенной точки А, равна з. Эти координаты будут функциями только одной переменной з. Обозначим через Я численное значение векторной величины в точке Р, и пусть касательная к кривой в этой точке образует с направлением Я угол а. Тогда величина гг соз е представляет собой составляющую гг вдоль кривой, а интеграл Е. == ~ Я сов е йз о называется линейным интегралом от гс вдоль з.

Это выражение может быть записано так: Я де Х, У, Л вЂ” составляющие Я, параллельные осям х, у, г соответственно, В общем случае этот интеграл для различных линий, проведенных между А и Р, различен. Но когда внутри некоторой области величвна Х йх+ "г' Ну+2 йг= — Р1х' является полным дифференциалом, то интеграл Е становится равным Л=Ч"„— Ч'„.

при этом он одинаков для любых двух путей произвольной формы между точками А и Р при условии, что форма одного пути может быть преобразована в форму другого посредством непрерывного перемещения без выхода за пределы данной области. О потенциалах Величина Ч' есть скалярная функция положения точки, и поэтому она не зависит от направлений отсчета.

Ее называют Потенциальной Функцией; а про векторную величину с компонентами Х, У, 2 говорят, что она имеет потенциал Ч', если Если потенциальная функция существует, то поверхности, на которых потенциал постоянен, называются Эквипотеициальными. В любой точке такой поверхности направление Я совпадает с нормалью к ней; если обозначить через п нормаль в точке Р, то 'гг= — бгчРУйи). Электричество а магветазм 40 I . гГЧг . гггр гГЧг 1 ,г — (! — +à — +й — ).

(, 'Дх лу йг Г'' (2) Используем теперь запись 7 для оператора .Н .гГ гГ г — +à — +й —, ох йу лз' тогда 'ГГ= — »Ч'. (4) Значок тг можно понимать как указание измерить скорость увеличения Ч'в каждом из трех направлений прямоугольной системы координат и затем, считая найденные величины векторами, объединить их в единый вектор. Это и есть как раз то, что предписывается делать в соответствии с выражением (3). Но мы можем з Мзс.

С«!еже, 1пп !11. з Ее«ау оп 1Ье Арр11«а!Гоп оГ МаГЬегаацса1 Апа!муз Го ГЬе ТЬеопез оГ Е!есгг1«1!у апд Маяпе!Гзпг, 1828. Цермпгеа Гп Сге!Ге'з Уоигпа! апд Гп Мг. Реггегз' ешмоп оГ Сггееп'з Цгогьз. з ТЬопззоп апа Там, Гта!ига! РА!ГогорГгу, 4 483. Метод представления составляющих вектора через первые производные по координатам от некоторой функции этих координат был предложен Лапласом ' при разработке теории притяжений. Само название «Потенциал» впервые было дано этой функции Грином ', который положил ее в основу своегоподхода к изучению электричества. Эта работа Грина осталась незамеченной математиками вплоть до 1846 года, а к тому времени большая часть содержащихся в ней важных теорем была уже переоткрыта Гауссом, Шалем (СЬаз(ез), Штурмом и Томсоном '. В теории тяготения потенциал берется со знаком, противоположным тому, который используется здесь, и результирующая сила в каком-либо направлении тогда измеряется скоростью возрастания потенциальной функции в этом направлении.

При изучении электричества и магнетизма потенциал определяется так, что результирующая сила в каком-либо направлении измеряется скоростью убывания потенциала в этом направлении. Такой способ использования выражения для потенциала приводит его в соответствие (по знаку) с потенциальной энергией, которая всегда убывает при перемещении тел в направлении действующих на них снл. !7. Геометрическая природа связи потенциала с вектором, вычисляемым через потенциал указанным способом, значительно проясняется благодаря открытию Гамильтоном выражения для оператора, при помощи которого вектор вычисляется из потенциала. Как мы видели, составляющая вектора в каком-либо направлении равна взятой с обратным знаком первой производной от потенциала по координате в этом направлении.

Пусть г, Г, й —.три единичных вектора, образующих между собой прямые углы, а Х, г', 2 — параллельные им составляющие вектора б; тогда Ь=ГХ+! 'г'+Ах.. (1) Согласно сказанному выше, если Ч' является потенциалом, то Преаварительиав глава. Об и»иеремии величии 41 считать также, что это заставляет нас отыскать сначала направление наибыстрейшего увеличения Ч', а затем построить в этом направлении некоторый вектор, представляющий скорость такого возрастания.

Ламе в своем «Трактате об обратных функциях» (М. 1.аше, Тго(ге !(ез Ровс!(опз !прего) для выражения величины этой наибольшей скорости роста пользовался термином «дифференциальный параметр», однако ни сам этот термин, ни принятый Ламе способ употребления его не свидетельствуют о том, что данная величина характеризуется как направлением, так и модулем.

В тех редких случаях, когда я должен буду обращаться к этому соотношению как к чисто геометрическому, я буду называть вектор $ пространственной вариацией скалярной функции Ч', используя эти слова для того, чтобы отметить и направление, и величину наиболее быстрого убывания Ч'. 18. Есть, однако, такие случаи, когда условия бг и — — — =О бу ох 4Х о'х — — — — =О Ыг бх Ф «6' ИХ вЂ” — — =О, ох бу г !9«г Сел«ил Г«ойт!ггь«г Соглр!ех«, Сом. АЬЬ., Вб.

Х. 5. 97 (1861). являющиеся условиями того, что выражение Х «(х+У «(у+2 «(г образует полный дифференциал, выполняются внутри некоторой области пространства, и, несмотря на это, линейный интеграл от А до Р может быть различен для двух кривых, каждая из которых целиком лежит внутри данной области.

Это может произойти в том случае, когда область имеет форму кольца, а две линии, соединяющие А с Р, проходят по противоположным сегментам этого кольца. В этом случае нельзя преобразовать непрерывным изменением один путь в другой без выхода за пределы этой области. Здесь мы пришли к представлениям, относящимся к Геометрии Положения, топологии, предмет которой изучен еще мало, хотя важность его была отмечена Лейбницем и наглядно пояснена Гауссом.

Наиболее полное его рассмотрение дано Дж Б. Листингом '. Пусть в пространстве имеется р точек и проведено ! линий произвольной формы, соединяющих эти точки, причем никакие две линии не пересекаются друг с другом и ни одна точка не остается изолированной. Фигуру, составленную из линий таким способом, мы будем называть Диаграммой (графом). Для того чтобы образовать связанную систему, достаточно для соединения р точек взять р — 1 таких линий. Каждая новая линия завершит петлю или замкнутый путь, или, как мы будем называть его, Цикл.

Таким образом, число независимых циклов в диаграмме равно х=! — р+1. Любой замкнутый путь, проведенный по линиям диаграммы, оказывается составленным из этих независимых циклов, каждый из которых берется любое число раз в любом направлении. Сам факт существования циклов называется Цикличностью (циклозисом— сус1оз1з), а число циклов в диаграмме — Индексом Цикличности (или цикломатнческим числом — сус!оша1(с пптЬег). Электричество и мвгиетивм Цикличность на поверхностях и в пространственных областях Поверхности бывают либо полными, либо ограниченными. Полные поверхности либо бесконечны, либо замкнуты. Ограниченные поверхности ограничены одной или несколькими замкнутыми линиями, которые в предельных случаях вырождаются в сдвоенные конечные линии или в точки.