Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М., страница 10

Конечная область пространства ограничена одной или несколькими замкнутыми поверхностями. Одна из них является внешней поверхностью, остальные же, содержащиеся внутри нее, но не включающие в себя друг друга, называются внутренними поверхностями. Если область имеет только одну ограничивающую поверхность, то можно считать, что она допускает сжатие вовнутрь без нарушения непрерывности или самопересечений. Если область обладает простой непрерывностью, как, например, сфера, то процесс сжатия может продолжаться до тех пор, пока область не стянется в точку; если область подобна кольцу, то в результате получится замкнутая кривая; если же область является многосвязной, то результатом ее сжатия будет диаграмма линий, индекс цикличности которой равен индексу цикличности рассматриваемой области.

Пространство вне рассматриваемой области характеризуется тем же индексом цикличности, что и сама эта область. Следовательно, если область ограничена наряду с внешней и внутренними поверхностями, ее индекс цикличности равен сумме индексов, характеризующих все эти поверхности. Когда некоторая область содержит внутри себя другие области, она называется многограничной, или Перифрактической (Рег!р1тгас11с гей1оп). Число внутренних ограничивающих поверхностей у области называется порядком ее перифрактичности. Замкнутая поверхность тоже является многограничной, ее порядок перифрактичности равен единице.

Индекс цикличности замкнутой поверхности равен удвоенному индексу цикличности любой из областей, ограничиваемых ею. Для того чтобы найти индекс цикличности ограниченной поверхности, допустим, что все границы сжимаются вовнутрь без нарушения непрерывности до тех пор, пока не встретятся друг с другом. Тогда поверхность стянется либо в точку в случае ацнклической поверхности, либо в линейный граф в случае циклических поверхностей. Индекс цикличности графа совпадает с индексом цикличности поверхности. 19. Т е о р е м а 1, Если в некоторой ациклической области справедливо соотношение Х йх+ г' йу+2 дг= — Ртр, то значение линейного инпггграла, взятого от точки А до точки Р, будет оди.

наховым для любого пути внутри втой области. Покажем сначала, что линейный интеграл, взятый по любому замкнутому пути в пределах области, равен нулю. Пусть нанесены эквипотенциальные поверхности. Они либо замкнуты„либо полностью ограничены поверхностью области, так что замкнутая линия внутри этой области, если она пересекает какую-тоиз этих поверхностей на одном из участков своего пути, должна пересечь ту же самую поверхность в противоположном направлении на каком-то другом участке своего пути; поскольку соответствующие Прелварвтельяая глава.

Об аамереввв величав 43 вклады в линейный интеграл окажутся одинаковыми по величине и противоположными по знаку, то полное его значение будет равно нулю. Следовательно, если считать, что АьеР и Аье'Р— два пути из А в Р, то линейный интеграл вдоль АСе'Р равен сумме интеграла вдоль АьеР и интеграла по замкнутому пути АьтРЯА. Но интеграл по замкнутому пути равен нулю, и поэтому интегралы по двум путям Аь)Р и АЯ'Р равны между собой. Таким образом, если задать потенциал в какой-либо одной точке, принадлежащей этой области, то тем самым он будет определен и для любой другой точки. 20.

Т е о р е м а П. Если всюду внутри циклической области справедливо уравнение Х йх+ г' йу+Х Иг= — Ог)г, то линейный интеграл из точки А в точку Р, взятый вдоль линии, проведенной в пределах этой области, вооби1е говоря, не определен до тех иор, пока не установлен канал, по которому происходит связь между А и Р.

Пусть Ж есть индекс цикличности области, тогда при помощи поверхностей (которые мы будем называть Диафрагмами) можно осуществить Ж сечений области, запирающих У каналов связи и сводящих тем самым данную область, не разрушая ее непрерывности, к области, удовлетворяющей условию ацикличности. Согласно последней теореме, линейный интеграл от А до произвольной точки Р, взятый вдоль линии, не пересекающей ни одну из этих диафрагм, будет иметь вполне определенное значение. Возьмем теперь точки А и Р, сколь угодно близко расположенные друг к другу, но находящиеся на противоположных сторонах диафрагмы, и обозначим через К линейный интеграл от А до Р. Пусть А' и Р' будут двумя другими точками, сколь угодно близкими друг к другу, расположенными на противоположных сторонах тойже самой диафрагмы, а К' — линейный интеграл от А' до Р'.

Тогда К'=К. Действительно, если мы проведем две почти совпадающие линии АА' и РР', расположенные по разные стороны от диафрагмы, то линейные интегралы вдоль них будут равны между собой. Пусть каждый из этих интегралов есть Е, тогда линейный интеграл К', взятый вдоль А'Р', окажется равным линейному интегралу, взятому вдоль А'А+АР+РР'= — Е+К+Е=К, т. е. линейному интегралу вдоль АР. Следовательно, линейный интеграл по замкнутой кривой, проходящей сквозь одну диафрагму в определенном заданном направлении, равен некоторой постоянной величине К, называемой Циклической константой данного цикла. Пусть внутри этой области проведена произвольная замкнутая кривая, пересекающая диафрагму первого цикла р раз в положительном направлении и р' раз в отрицательном направлении, причем р — р'=и,. Тогда линейный интеграл вдоль этой замкнутой кривой будет равен п,К,.

Аналогично линейный интеграл, взятый вдоль произвольной замкнутой кривой, будет равен и,К,+п,К,+...-ти.К„ где п, представляет собой превышение числа положительных прохождений кривой Через диафрагму Ю-го цикла над числом отрицательных. Элеитричество и магиетиам Если две кривые таковы, что одна из них может быть преобразована в другую путем ее непрерывного изменения без прохождения в какой бы то ни было момент времени любой части пространства, в котором условия существования потенциала не выполнены, то эти две кривые называются совместимыми.

Те кривые, для которых это преобразование не может быть произведено, называются несовместимыми '. Условие, состоящее в том, что выражение Х йх+)' йу+а йг является полным дифференциалом некоторой функции Чг во всех точках внутри определенной области, возникает в целом ряде физических задач, где направленная величина и потенциал имеют различные физические истолкования. В чисто кинематических задачах мы можем положить величины Х, )', ъ составляющими смещения точки сплошного тела, начальные координаты которой равны х, у, г; тогда данное условие выражает тот факт, что эти смещения составляют невращательные деформации '. Если Х, У, Е представляют собой составляющие скорости жидкости в точке х, у, г, то данное условие означает, что движение жидкости невращательное. Если Х, )', с представляют собой составляющие силы в точке х, у, и, то это условие означает, что работа, совершаемая над частицей при прохождении ее из одной точки в другую, равна разности потенциалов в этих точках и что значение этой разности одинаково для всех совместимых путей между этими двумя точками.

О поверхностных интегралах 21. Пусть йЯ есть элемент поверхности, а е — угол между нормалью к поверхности, проведенной в направлении положительной стороны поверхности, и направлением векторной величины гг, тогда величина ) )1с соз е й5 называется поверхностным интегралом от гг по поверхности Я. Т е о р е м а 111. Поверхностный интеграл от потока (плотности потока), впитаиои(его внутрь замкнутой поверхности, может'быть выражен через объемный интеграл от его конвергенции, взлпгьгй по области, расположенной внутри втой поверхности (см. п.

25). Пусть Х, )', Е будут составляющие Р, а 1, т, и — направляющие косинусы нормали к поверхности, отсчитываемой наружу. Тогда поверхностный интеграл от )с по Я равен ) ) И соз еда = ) ~ Х1 аЯ + ) ) )'тсБ-(- ) ) Япг(Б, (1) где Х, г', Я вЂ” это значения, взятые в точке на поверхности, а интегрирования распространены на всю поверхность. Если поверхность замкнутая, то при заданных у и г координата х должна иметь четное количество значений, так как линия, параллельная х, должна входить в замкнутое пространство и выходить из него одинаковое число раз при условии, что она вообще пересекает поверхность. а См. свр У. Томсон еО вихревом хвижеиииг, Тголл. й.

3. ЕИ!и., !Во7 — 8. (91г )У. Тьопгоп еОп Уог)ех Мобопг). ° Тьогоаоп апе Там, Л!агота! Р)гг!оторву, $190(1). Прелварительиав глава. Об измерении величии При каждом входе Ы5= — Ну йг, а при каждом выходе 1 ~Ю=йу Ыг. Пусть некоторая точка, движущаяся из х= — ео в х=+ео, первый раз входит в это пространство при х=х„а затем покидает его при х=х, и так далее; при этом значения Х в этих точках соответственно равны Х„Х„...; тогда ) ) Х1 аБ = — ) ) ((Х,— Х )+ (Х,— Х )+... + (Хв„, — Х,„Ц Ну дг.

(2) Если Х является величиной непрерывной и не принимающей в интервале между х, и х, бесконечных значений, то Х, Х,=1 'х,(х (3) к, где интегрирование производится от первого до второго пересечения, а именно в пределах первого отрезка х, находящегося внутри замкнутой поверхности. Учи- тывая все отрезки, лежащие в пределах замкнутой поверхности, находим О Х1Ю= Я вЂ” „йхг(уйг, где двойное интегрирование ограничивается замкнутой поверхностью, а тройное интегрирование распространяется на все охватываемое ею пространство.

Следовательно, если Х, У, Я непрерывны и конечны внутри замкнутой поверхности Я, то полный поверхностный интеграл от Я, взятый по этой поверхности, будет ра- вен ~ ~ )з соз а лс = Я ф+ '~~ + '~~ ) (холуе(г, где тройное интегрирование распространено на все пространство внутри 5. Предположим теперь, что величины Х, У, 2 не являются непрерывными в пространстве, охватываемом замкнутой поверхностью, а на некоторой поверхности Р (х, у, г)=0 изменяются скачком от значений Х, )', л на отрицательной стороне этой поверхности до значений Х', У', Л' на ее положительной стороне.