Учебник - Основы теории электричества, страница 5

2. Согласно закону Кулона, сила, действукнцая на «пробный» заряд е' ири внесении его в поль других зарядов, пропорциональна величине этого пробного заряда е'. Поэтому силы электрического поля будут вполне определены, если определена в каждой точке это!о поля сила, дсйствуюп>ая на помещенный в ней единичнь!й, положительный заряд. Эта сила, Действующая на заряд е'=-1, называется нааряжьнносгью, илн напряжением, и;ш сикай электрического поля, нли же просто электрическим вектором и обозначается буквой Е. Мы Г>удем пользоваться первым из этих терминов, сохранив термин й 31! электрическое поле ие(к)днижных здрядов (В т! ОШ ЧД 1 (чг 1!л.

! «иаира,ксии» для > овсрп 'чио !" ного поня. иь рл ности лог( пциллов и ли>и йного и. теграла вектора Е ( м. $ 33)) 1хнк следует из закона Кчлочл (!3). Иаирпжсишить пи.!я гочечиого зи! )ял е нл рассточ ннп м (>! зн)го зарчдл равна: (2.1) >:ЛЗ К вЂ” — !>адиуС-ВСКТОР, и!МИ33 дСННЫЙ ИЗ ТО'!КИ И 3хожд(НИЯ ЗВРЯдя Е В раС сч в)риявс )у>о точ«у поля (3>и>чяжспч (-ь и ля ч)ох нли )ссколькпх заря-нп) рьшш Векторной ста)- !(зиоглкгии(> 'т >' >' г 31 '('3ждОГО из этих з>1рядоп н От.(ю!ы>ости.

" 3 ! )о).о- ч>о и ои и!ь. по ня шч кенго(ть. и)и(илл )оля Е, вовсе не явля тгй си)()й ч бичи жч,)и рсбляечом г чсхиинкссы>мс> когосчовл. 1>1солч!>о»пиля п>)и, клк (ч' иооГпл низыил>)т, ч>и>(ьу>'>л>'>)о!)Ипл, сила Г (ОГ лачинского «иопдус> — вес;юидсроч(пчрныи> . д: ижхпнш весочые тела), !Свети)чоьцяя пл заряжен>!Ос гц>к>, опрьделчшти и(> дь);.ГО(чп(см силы поля Е НЛ ЗЭ)>И,Ч >«. Л (" (2.2) Еог>тщ тс ! и( нио - >о> у 1 лбе экю ной г! ш( чс ( ля«пи;анзк чо н)): сть, )щи сила по,)я Г„имссг рл)черно>" ь ' ч с. !2) 1)! )2(ет ' — — — — -.-.-== >>!ь й '""'Г '. !»', М)(Ч~ З>2 4 1)л гнновчнии сгоюнчч(ния (221 очна и.

«кириных зл>ш ! Электростатики — - оорсдс,и*ни( мсхл>и ских с !л взаичоде) у>чик зь.(лннои системы чнрячо — свозит(Я к оп!Ндслсник> лОлй Е:>тих .)ария(ч). )им(-.Гич 3!Ри этОм, что определить поп элеьтл>щеско>о иект(рл Е >лх и )3»ь>)п((" о>!Ределигь поле любо(О В(к пя, энл и> О!>де()елико энлченпс лев>оры л >гамдо(! Гочк(* этого поля. 1> длчьнейпкч ччы расс «'трим >пособл> )шпктп>шского иь>числения электрических полеК В т>и>шечин жс к:пс;>им)н» >ьио)о изучении этих полей отл>ст)" л> следукчлсс 'чкс))ер)>ь>(штлл»но извчсиис э))ектрчче(к по ш, я можег быть осуп(еств,ч(чо внес>)лигач г н( го ш>обитого зарядя > звсгтпои ве и) нн)л и )г>3!Срсиием понлгй)очото!М>ых сил Г,:!).ис-.ч) О>цих ча этот злоя; в ра'3.>и>шых (очках;)оля.

Однако глчый факт ни;сеи> ч " поле пробного заря)33, ипойпе )оворя„изменя. ст характер чт(ио поля, ибо силы поля пр>)био!о зиря .и яызыва>от псрераспределеии( зарядов на ниходя>цихся я иоле проводи)>клх 1>л('к)рическая индукции), (Р»ыг '>1'их пров(>днп> ш ч т. д. ((Тоб)1 избеж(1» )того нскл>ксния перв(шччальмо>О ха»акта ра почи, нсоб>и)диче пр(шззо и! (ь пз))ерспия с помощью б(гк()вечно мам(х иробны) э()( п)(е, т. е. зк шдог с. ель чалых, го Вызывае. чое их присутспчиеч излчепсн«с распр(.1 лгш(и зарядов и пр(* игц>х шдапиой точи(кт)! Ияблк)дсний пе >ц>же) сказаться нл резульги. зх изчьрсиия.

!оворя о п(обных зарядах, чь в дальнейшем всегда б.д.' 3 р(з>ш).шгат(ч что зчо условчс чыполчспо (если нс о опорсне >) >огишч)с). 4 3. Теоречя Гяусса 1. Если известно расположеиие заряд>ш, и (и и Е ->тих зарядов может быть определено путем сумч(ироваиич кулоноиых олей типа (2.1), Возбуждасчых каждыч из элементов этих зарядов В отдельности. Такого рода нспосредствеьшое суммирование, вообще говоря, требует н каждом о!дельном случае доволыю сложных вычислеппй. Во м)к)гпх случаях задача эта может быть, однако, чрезвычайно облс! чена применением некоторых теорем, трактующих об общих свойствах электрического поля, к рассмотреник> которых мы тспсрь и перейдем. Для этой цели вь)числим поток вектора Е через бесконечно л!алую площадку ((5 ').

Предположим сначала, что поле Е возбуждается точечным зарядом е, находящимся в точке О. Если Й есть радиус-вектор, проведенный из заряда к площадке (15 (рис. ! ), то иа (киоваиии (2.1) и (!2*) поток (3)33 вектора Е через эту пло(кадку буде( равен (()(1 = Еп ((5 = —, 1(п ((5 = —, соз (1(, и) ((5, (3.1) (3'3 Произведение соз (((, п).((5 численно рнвио проекции плопшдки )25 ии поверхность, перпендикулярную к ((, причем это произведение положительно, если нз О видна виутрсшчяя (торона п„иицадки ((5 (угол (((, п) острый(, п отрицатслыю, сели видпа Е(, ВНЕШНЯЯ СТОРОНН: соа(й, и)((5= ~((5', где >25' сеть абсолютная всличи>ш перпендикулярной к Г( проекции плон(адки (15. Перпендикулярная к радиусу- Вектору Й пло- Ркс.

! щадка (!5' совпадает с элемент(>м шаровой поверхности радиуса )(' с !и итром в чочьс О. 1:с«)и обозначить чер( з ((ь( тот телесный угол, под кои>рым пло(падка д5' видна из О, то, как известно, (ЬЫ ооз (((, и) ь>3" (3.2) йх и, стало быть, )И)= -1-е(1!1 Площа)(ка (15 будет, оченидпо. видна из точки О под тем же самым телесным углом ((О.. Если уоловиться приписывать этому углу ((!! положительный знак, если из О видиа виутрснняя сторона (15, и знак отрицательньш, если видна се внешняя сторона, то можно иаписат)л (3.3) Итак, в поле точечного заряда е поток электрического вектора Е через произвольно ориентированную площадку (35 зависит, помимо величины этого заряда, только от того телесного угла, положительного или отрицательного, под которым эта площадка видна нз зш)ичасмой зарядом точки О ).

2 Основы векторного анализа взвоз(«вы в прил»жгн>>и. Формулы приложении отмечаются значком ', например (21>). >) Как авотвуоч кз вывола формулы (3.3), она является слал«гакам того. ччо напряженность поля е направлена радию>ьно к прк уда:юкка от заряда )глзвае) по тол)у жа закону (обратно пропорционально А"1, по которому кзм>наг((к телесный угол (Ш, (>оотает(твуюшкй данкой площадке ь>Э. Поэтому' лла всех вообще цавтрвльвых чцчей, абра>мыл квадрату расс(оянка (например, полн тяго>анна, поля магюпкых полюсов н т. д.), также будут саравад.чквь> формулы, аналогичные уравневик> (3.3) к всем непосредственно вы>екающим кз него уравкенкам.

2б э 4) 21 )гл. > Ф = ~ Е„<(5 = е ~ Ю = б44, Ф= $ Еи<>5 = 4пе, (3.5) и Е„= ~ Ег„. )))=$Еа<!5=~~~ $Е<„<(5=4п ) ег, Стало быть, нс (.)з>) ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕГ!ОДВНЖНЫХ ЗАРЯДОВ 2. Обращаясь к потоку % вектора Е через конечную повсрхиость 5. получим '): где Π— положительный или отрипатсльиый телесный угол, под которым видна из заряда г вся иоверхиость 5, т. е. тслесиый угол, образованный радиусами-векторами, проведенными из е к краевой линии этой поверхности (рис. 2). Крайне существешю, что в том случа<, если воверхиость 5 зимкнута, угол этот может иметь только <пню из двух значений: 4л и О. Действительно, точечный заряд может быть расположен либо внутри замкнутой поверхности, либо Вие ее.

Рас<мотреиие же точечиого заряда, расположеяиого иа самой поверхности, лишено физического смысла, >"бо пользоваться Вредставлеии<*м о точечном заряде можно лишь Ври условии, что действительные размеры заряда малы Во сравнению с расстояиисм его до рассматриваемых точек поля. Прсдгтивлгшвс же о точечном заряде, распвложеииом иа п<шсрхиости, поток электрического векгора через которую мы определяем, этому условию, очешщио, пе удовлепк>рвет, Если заряд расположен внутри замкну>ои иоверхво<пи 5, то эта поверхность окРУжает его со всех Оп>Рои и, стало Г>ыт)н виДна из него поД Углом !1=4п. Следовательно.

в этом случа< Ф =- $ Еа <!5 == 4пе. е Если же заряд < находится в точке О, лежащей Вис замкнутой поверхности 5, то из Г) можно провести к иовсрхвости 5 пучок касательных (рис. 3). Совокупность этих касательных образует конус, соприкасающийся с 5 вдоль некоторой замкиугой линии !., которая разделит иоверхиость 5 иа две части: 5> и 5з. Обе части Поверхности 5 будут Видим из точки О под одним и тем же телесным уши>м, со<пвгяствующим раствору касатслшю>го конуса, причем один из этих частей буд<'г видна с се виутрсввсй стороны, а другая — с виеи<нси. '1Вким образом, частям нов<рхиости 5~ и 5з будут соответствовать уг,>ы <), и 1>з, равиыс ио величине и противоположные ио 'Виану.

Сз ало быть, и потоки злсктрическ<и о вектора через 5< и 5> будут равны > Крап>ы юпе>рнлы и кингс пбптнв ымгсн олпнм-спине>псиным знаком интеграла г:., н ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ Во величиие, ио противоположиы по знаку и в сумме дадут нуль. Таким образом, поток вектора Е через всякую замкнутую поверхность, ие охва- тывающую заряда е, равен нулю: Оба эти возможные случаи (заряд внутри и вие нов< рхиости) могут бь<гь выражены одиой-едииствеииой формулой если только условит.ься иоиимать в этой формуле под <' величии) заряда расиоложеииого внутри поверхиости 5, и, стало быть, псшагать г ривиыз> пулю, если заряд расположен вие этой поверхвости.

3. Отличающаяся чрезвычайной простотой формула (3.5), вывел<иная нами для поля, возбуждаемого одиим-едииствеииым точе<>иг»м зарядоз>, <юзасгся справедливой и для ноля вроизвольиой системы электри иск<>х зарядов. Действительно, любая система зарядов может бь)ть разложена ца совокупность элементарных (точечиых) зарядов. Пусть Е иаиряж<нвос>ь результирующего поля всей сист<>мы зарядов, а Е< иаприжсш<огть поли <-го элементарного заряда е,.