Учебник - Основы теории электричества, страница 6

Тогда причем последняя сумма распространяется только иа т заряды, к»ории расиоложеиы внутри иоверхиости 5. эта формула выражает собои фуидамеитальиук> теорему Гаугги '): !) произвольно>< злектрпгтитичегком поле (в вакууме) цитак зл< ктри чегкого вектора Е ~и.рез прогантльную замк угун> пипгрхии<'ть риити умы. ><генно<) на 4В Величине зир>и)и, ригполо>а< пго Внутри зт<и<' по«рр>н > « Эта величина заряда есть, кс>вечно, алгеГ>раиче<.каи сумма всех .шрядов, находящихся внутри 5.

2 4. электрическое поле заряжеииых поверхностей !, Примеиеиие теоремь< Гаусса чрсзвычайпо уир<ицаег решение р:<д задач электростатики. В этом иараграфс мы прикипим ег к рассм<прсшьо иск<порых свойств воля заряженных я<шерхиосгсй. Конечно, строго говоря, заряд всегда заиимас< известный объем и < с м > жег быть сосредоточен иа бе< коиечио тонкой (иомстричс<чи>й) ион< рх ности. Г)диана слой заряда, толщина которого догтапишо мьмш в> гран<ни;по ) Эсу теорем> ие слсдуст смс>пнин п с нзн<с»<нй из псл<ир~нно аон п>зн <см < < < > > ремой Гаусга, устпнаавннвмжсй спнзк мс кл> но>~>ком <Чкп<он лживо мюпра ир'«ни> ю<><: пом рзиос си и объемным нпгс<разом линер<сии<о»><но вектора Дли о<лип<о> п~ ззпи ык.>с п)<з< мы будем нпо>да <газынап* формулу )зб) з ил<ропп<наскол <<к~ремнй рюссо.

.«1-К'!113:!СОКОВ ИОЛЕ ЗХРЯЛ(ЩИ|ЫХ ИОВВ|ХНОСГЩЗ )гл ! ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ИОЛ(| НЕИОЛВИЖ)3ЫХ ()ЛР>133(гв С С1'О Р!3С " ( > расстоянием от 3!Ссг(сг!)са!ых то |ск ноля, и~Жио с н(1(3!!.:(Вр)3)(ох! Ноп(рхиосп(ы»1 с тем жс ир)>воз), с каким мы рнссмптр!|гаем заряды гочс щые. П.,)(г«3««>«т«г«о н<>нер(но(- наго «!««Р)3«)«3 (3 пазы)ас:ся. квк известно, заряд, прихозяиийся иа слииицу илощсо|и ланч(гй лонер(и|ости.

В том случае, когла ,(ар)!л расиространси ио |нпч рхиости исраю|омгри, и,|(и кк|ыо с|о в даи- ИОИ ТОЧКЕ ИО|ЮРХИОСТИ 3(азь'Ва(тС51;3*)Сд('Л Отионкчи(» Г..= ',1И| (Е "3(х' (4.1) (х -б где )( и, заряд элемен а иовсрхносги 43. 2 Скачок норгналогнгй слагающ«ч| венгеро Е нн,>арля«снной ноасрхнос«н. 1>ассмотр)!и ироизв(ыьную заряд(синую и(г«срхнос|ь Е. Вь|берем ирои|во,|ы|ым ОО(юзом нащщ|>3сиис' вн('иини1 ч('1)х(лл(! и к это|1 11('Верхностн и условя((сч Обозначать и|О|сксами 1 и л велич.и|ы, (п(з>си|И|ге(я сов)ветс!В(н- НО К ВИУтРЕИИСЙ И ВИЕИИИ Р '(|(О ОТИО!И(.ИИХ> К ИОРМВЛИ И) СТОРОНЕ |ЮВСРХИОСтн.

ВЫЛСЛИ)! МЫСЛЕННО О((«яг раССМатрм! вся|ОЙ ГО|хи .Ири)КСННОй ПОВЕРХ. ности прям)|о иризчу с (к)1(азу(и:.(ими «.*3, ч рис),(икулчпиыми к поверхности, 11)(ть эт| иризме вы;кзасг из ч(гес;>;ио,|и эл(гхиит .'>' С~~до малый, что его можно (ч!31!ат) и|ч!Оким и рак«о(э 1)!и) з(|щ)ж(ч(иым (рис. 4). Внутри !ц)измы бч,|с игхол1с)ы 53,.:3>51 | (.'>'., |(с(ихк>и((«иый на элем(нтс, Выр(засмох| ирнз» ()|; из зв| Я?к. |и()и . и; Чгхп |г |:,'>.

( |ав(т быт!ч |ииок электрического вектз))33 черо.:. покер(),ос) |,риз«;| и| )еорехн )гусса должеи рав>)ятьсп: 7 =- ()г Е «!.ч —:= 41".(«:»'., С дру!Ои) сторОны, НОтов эт(п МОЖ(т бы1, в,|ч;(( и:и и(||пер(лс)Вси!ю, Г!от(гк через нижнее основан:е 3)р((з)((х з"| ., (Оэ (Е . И,) Е'. л через верхнее Ез(оз (Е . и ) 3'. глс Е| и Е. — векторы Е ',:. и'в('(с! !унгщих оси(щаиий ВРизчы, а и| и и в|и|жни( чоо(«али т. >|ьч;:гч(вч;3 Ям. Поток гк( в(ктойа Е через боковчю иоперхн(. ть призмы .,!ы сбп:ип щм чс)гсз У'': согда У=(Е,со, !Во и,) +Еесюз(Е>, из)3) Я'-1- Ф', Иаиравление норт(а«33 и ° совпадает с за||рак)синем нормали и, а направление и, прях о ир(ч|рсиоло>кио. С:и чо батя, Е,соч(Е|, ич)= — Е,„, Езсоэ(Ез, из)=Ееп гч Г „п Ееп -- проекции чектпров Е и Е иг нормаль и.

Таким сгбразо»1, »а Е в.) ~ + «ч Будем теиерь ум("нынать высоту призмы («й ис изменяя ири этом ее основания 5'. Поток «3«' через безгранично уменьшакилуюся боковую нов(рхно(ть иризмы будет стремитьси к нулк> как бесконечно малая второго порядка (ио сравнению с й«), так что общий ноток вектора через поверхность иризмы сведется в иределс к потоку через ее основания: Ф = (Е)„— Е!и) Е' = 4наЕ', откула она заряжена положительно, и к иовсрх ности в сл .ча у ( отрица|сльи(ио заряда. 3. Поле ра«)н«>мерно «(арнз( енно«1 ! бесконечной «гласности. Напряженность поля равномерно заряже|шой бесконечной плОскОсти Р, НО сООбра?к|.'ни5|м симметрии, лопжна быть иериенпикулярна ( ( о" к этои илоскос)и и должна иметь иро. гивошщожиыс нанравления ио обе стороны оз нее: оиа наи авлсиа от и.)ос р кости Р, если ее заряд положителен (рис.

5), и к плоскости Р, сслв он отрицателен. 1)вираж(нность Е в ра:)лнч. ных точках поля может зависеть лн|иь от рассто)ищя их от плоскости Р и должна быть одинаковой во Всех точках лк>бой плоскости, иараллельной Р. Выделим мысленно в поле плоскости Р ирямук> призму с основанием 3' и с образук>щими, иериенликулярными к Р, и иредиоло>ким сначала, что призма эта не иересекастся илоскостыо Р, т.

е. находится целиком ио одну сторону этой плоскости. Вычисление потока электрического в(ктора через поверхность этой призмы вновь приведет иас к формуле (4.2). Приняв ио внимание, что поток «ч" через боковук) новерююсть иризмы в этом случае ранен нулю (так как Е иараллель~о этой поверхности), получаем К=(Е,СОВ(Е,„п))+Е,сов(Ей, пз))Е«. нг По условию призма нс пересекается заряженной плоскостью Р, поэтому внутри нее нет зарядов и, стало быть, согласно теореме Гаусса (3.6), поток й« должен раВня|ься нучк), т. с. Е) сов(Е|, и,)+Еесов(Е, и )=О. ) Заметам, что значение 3>азпоста Š— Е,„яе зввпс|п ы' амбара направления нормали к повсрхпостп разрыва: хотя прв п>мспекпп паправлскяя и знак проекпяй вектора Е па яаправлсппе и пзмспястся па обрвп;мй, по одновременно с ятям сторона пом рхпостп, ранее счятавмаяся первой (т.

е. вягтреяпей по отпошскпю к и), лол?кпа буде| ячеяоватвся второй, и обратно. Ей„— Е|„— — 4иа. (4.3) Стало быть, нормальные слагающие вектора Е в лвух смежных и>чках поля, разделенных заряженной иоверхностьк> Е, разнятся на 4ЛО '). Иными словами, нормальная сла|ающая Вектора Е исиытывает скачок 4ло ири ирохожлении через лк>бую заряженную поверхность, независимо от формы этой поверхности и от наличия или (исутствия зарядов вне ее. Объясняется это тем, что иоле поверхностных зарядов ио разные стороны поверхности направлено В иротивоиоложныс стОроны: От иоверхност)3, (с.зи электРическОе пОле непОднижных зхгядоа ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 4 54 26 !ГЛ.

1 Так как Е! и Е) направлены одинаково, а нормали и( и п> — — противоположно, то соя (Е(, и!) = — — соя (Е, и ) и, стало быть, — — — Ег. Поскольку положение оснований призмы может оыть выбрано произяольно, го из этого равенства следует. !то Во Всех точках ограниченного плоско„-тью Р полупространстна вектор Е постоянен но Величине, а так как он по:тоянсн и по напранленню, то, следошпсльно, Е =.— сопя!.

В другом жс полупространстне Вскгг р Е будет, очевидно, иметь ту же величину и протнпоположнос направление. Чтобы определить Е, можно Воспользояаться формулой (4.3). В рассматриваемом случае слагающие этого вектора по направлению нормали п к плоскости нмекл, очгаидно, но ря(ньц стороны плоскости протпяоположныс знаки и численно равны самому вектору Е. Поэтому получаем Ег„— Е> и = 2Ег„= й: 2Е == 4па, !де В по<лед>нл! равснстне нужно Втя<ь знак плк>с или минус н зависимости оттого, заряж< ня плоскостл положите пьно (и.='= О) или отрицательно (и <. О).

Ол<довятсльио, Во В<ох п>чках поля бесконечной плоское>и Е - "1.>1п,', (4.4) где ,'О1 абсолхп пяя Всличи(ш плопн>сти зарядя этой плоскости. 4. 1!о<пяр!и м(я теперь Вь(нсп!и!ч по шму ирп удалении от знряжснной <юсконсчной площ<оггп нянряжс!Пнкть сс поля ис убыняет. я остштси постоннпой. Пусгь точки Л, А', Л" лс>кят ня о!Нн>м п<рпсндпкуляре к Ег плоскости Р (рнс. 6). Рассмотрим напряженность поля, Воз буждясмО(О В саих тОчках зяр51- Ег -.

дами двух ))лемс>гп>в плоскости (, д Е < д - д' г (й()! и (ГЬ, рлсполо)кеши!х снм- Г)) ' ' мггрпчио относительно псрш'и. лнкуляра Г)АЛ' па рясс<ояннн 1 (Г <и с>о оспоня(шя (). В боле( Г' .С уд>(ленных от плоскости точках ( напр>бкспнос(ь полей Е, и Е, ияг Е, кяж.н)СО нз этих зярядОВ В От:цльно<чп будет меньше, чем в болг< близких, по зато и угол !'пс. В между Е! и Е, убыяясг при уда- л< нни ог плоскости, 1!оэтому, несмотря на у>н ныл!ени(' гля>немых Е! и Е прн удялсивн от плосшютн, их рявподейстнухпцяя Е молот благодаря умснщпснп<о угля между ппми нс только убываю, но и нозр и"!я п н зявнси>ж>сп: о> сонг(нна!синя между расстояниями )Г и ОЛ нлп Г))!'. Оч< видно, что сс.>и гочки Л близка к Г), то равнодсйстВуки!п(я В<н х зарялон !(лоск(н тн н э1ой го'пкс Онрс.о' '(5нтся по!Ти нск.но'<итсль!и) .шрядямн, р;ц полож(.'иными Вблпз! (й иб() напряженно< ти полей удя- Е( — — О, Е, = 2мг/гг, (4 !)) где г --- вектор кратчайшего расстояния рассматриваемой точки поля от оси цилиндра.

Показать, что скачок электрического Вектора при прохождении через заряженную поверхность ципиндра равен 4лп. 3 а д а ч а 2. Заряд с равномерно распределен по (паровой ноеерхнос»и произвольного радиуса. Доказать, что поле Внутри и вне шара выражается, соответственно, формулами Е, = О, Е, = ей/)сз, (4.6) где Й -- радиус-вектор, проведенный из центра шара в рассматриваемую точку ноля, т. е. что поле Вне равномерно заряженной шаровой поверхности таково, как если бы весь се заряд Г>ыл сосредоточен в сс центре. Показать, что скачок Вектора Е при прохождении через заряженную поверхность шара равен 4лп.