Учебник - Основы теории электричества, страница 7

3 а д а ч а 3. Заряд с равномерно распределен с плотностью р по шароВому объему радиуса и Показать, что поле Е,. Вне шара таково, кяк если бы весь заряд шара был сосредоточен В его центрс, и что поле Е, внутри пира прямо пропорционально расстояник> от центра шара: /(= а, Е,=ем/)сз, !( < а, Е„= ей/аз, (4.7) или Я)а, Е,=>/зпр(а/Я) !Е, Я~~а( Е(= /зар>С. Отметим, что в этом случае вектор Е всюду непрерывен.

й б. Проводники в электрическом поле Физический смысл изучения полн поверхностных зарядоя коренится в том обстоятельстве, что В случае электростатического равновесия зи)инды нронодникое сосредотпчиеают(н В весьма тонком нонерхноггном слое. кои>- рый В громадном большинстве случаев можно с достаточной точно<тьк> считать Г>есконечно тонким. Ведь и непосредственно ясно, что если сообп<ить металлическому телу, например, отрицательный зярид (избыток элсктронон), ленных зарядов направлены почти параллельно плоскости Р и В сумме дак>т нуль или почти нуль.

По мере же удалешш п)чки Л От О параллельность эта нарушается, раянодейстаующая далеких зарядов увеличивается, а близких --. уменьшается. В результате, как показывает непосредстаенное вычисление, напряженность результирукпцего поля всех зарядов бесконечной плоскости вовсе не меннется при удалении от этой плоскости. Вычисления этого мы приводить не будем, ибо результат его [ураанение (4.4) ! был уже найден нами путем применения теоремы ряусса. 3 а д а ч а 1. Поверхность бесконечно длинного кругового цилиндра равномерно зарижена так, что на единицу его длины приходится заряд х Доказать, что поле Е, Внутри цилиндра и поле Е„нне цилиндра выражаются следующими формулами: 1Гл.

электрическое поле нвподвижных за!ядов ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ то благодаря взаимному отталкиванию элементов этого за нов) они сосредоточатся на его поверхности. Строгое же доказательство этого утверждения можно дать на основании того факта, что в случае электростатического равновесия электрическое поле внутри проводника равно нулю '). Действительно, проводник есть тело, отличающееся следующим свойством: если в какой-либо точке внутри проводника напряженность электрического поля Е отлична от нуля, то в проводнике возникает эчектрический ток, т.

с. движение зарядов. Это свойство можно рассматривать как Определение термина «проводник электричествам. С точки зрения электронной теории важнейшего класса проводников— ме~аллов — это свойство объясняется тем, что если металл находится в твердом (или жидком) состоянии, то часть электронов, входящих В состав его атомов, отщепляется от этих атомов. Оставшиеся после отщспления этих «свободных» электронов положительные ионы металла образуют его твердый скелет (кристаллическу!о решетку), в промежутках же между ионами находятся «свободные» электроны в форме своего рода «электронного газа».

Сколь угодно слабое внеп!нее электрическое поле вызывает движение этих «свободных» электронов в направлении действующих на них сил, т. е. выз 1- 1 вает электрический ток ). Ток течет до тех пор, пока напряженность поля внутри проводника нс станет равной нулю, т. е. пока поле зарядов, пе ер предслившихся по объему провошшкя, не скомпенсирует вне!Ннего полн. ас .. ', * р "Рзз электрический вектор внутри проводника равен нулю, то равен нулю и поток этого вектора через любу!О замкнутую поверхность, расположенную внутри проводника. Стало быть, по теореме Гаусса, равен нулю и заряд, расположенный внутри всякой такой поверхности. А это и значит, что в случае электростатического равновесия зарядов внутри проводника нет (вернее, что положительные н отрицательные заряды внутри него взаимно нейтрализуются) и что псе заряды расположены на его поверхности.

Таким образом, поле заряженного металлического цилиндра или шара определяется теми же формулами (4.5) и (4:б), что.и поле соответствующей заряженной'поверхности. В согласии с упомянутым общим законом из этих формул,'в частности, следует, что внутри металлического заряженного ша а или цилиндра Е=О. Г)то же касается формулы (4.3), то для случая а д, р сположенных на поверхности проводника, формула эта значительно упрощается.

Так как внутри проводника Е=-О, то она принимает внд Ем=4ла, (5.1) ГДЕ Га -- ПРОЕКПИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ВЕКтОРа В НЕПОСРЕДСтВСППОй бЛИЗОСтн К поверхности проводника йа направление вне«и>ей нормали к его и в аким о разом, в случае электростатического равновесия нормальная слагающая напряжепност.и поля вблизи проводника определяется тольки плотностью а заряда на признающем элементе его поверхности и вовсе не зависит от распределения зарядов в других участках поля, а тангенцнайьная ранна нулю. П р'и м е р.

Опр!делить поле между пластинами бесконечного плоского конденсата а. П р . 1оле между «ластинами бесконечного плоского конденсата а по соображениям симметрии должно быть направлено перпендикулярно к его пластинам и должно быть одинаковым во всех точках любой параллельной >5 ) бм., нирочем, 4 ЗК, н чвегиогти П)ааиеииг (ЗИ.91 ) !!овраг>нее мекажнм гока Вуагг раггмогреи в 4 1Н и 41. им плоскости. Как и в рассмотренном случае >ю.!и бесконечной плоскоатш из этОГО ОбсГО)пътгьсГВЗ следует, чтО поле' чеж.гу «>Истинами кондснсяторя однородно, т. с. что Вектор Е посп)аней по вели ш)е и и шранлснню во вг«). точках этого поля. !.Огласпо жс уравнен«к) (5.! >, чи чюйое значение иек)ор,> Е у поверхпостн пшсп!й рай«о Е== >л !и;' 15.2) (ввиду того, что 1.,==- Г~.-Г).

Стгь!3 бып, таков бу>ст зпачсннс Е и Во всем пространстве мсжд; плзсгигшмп Очевидно, по «уравйе«пи 15.2) «Ол О .)>О:>г!«пон«мать пдопюсть поверхиОстного:>зр«ля кзк доложи с.!ьчОй, Гзь .! о)рицатсльнои «.1ястин кондепсаи)ра Тяь кзк, с )ц)угой ст. шшы, Вс„),> Е пмесг в пространстве мвжДУ ПЛЯГТППЯМИ О.'1НО ВИОЛ>П: ОП«СД ЛС1!ПОС ГНЗ>«'Ннг, ТО, СЛЕДОИИТС.!ЬНО, в случае элекгро>тапшсского рявп )Вссия абссл,о.

«ая величины плотноши заряда на Об> й), плй>тйййх золжйа >)ыгь Ош!П.)ко«ои. Все этн рс!ультЯ>ь, Нож«о 13>,;ко испоср г)с>Вен«о получи~ь из урзйнення (4.4). ПО «' Е кг>)Явись гора есть г)зо ю ь йсгйу!Ошо)! НО)гй Е 1 Евдвух зяр))л сппых Осско«>г!Чых плОскосте)11, 3 и» 'г>- но внУт))гпни). Иг'вг)>пеаг»'й ог> )стин кон!тенсзтгеуз А и Ез — --'>:>!ое'. Е«к янсп)т)1 ««О«1 >, Вн)Гри кзж»)и) г Е е л Ф л из металлнг!сских «ласт««секторы Е, й Еи ш ч)яч а — — -» лены проти150>юложно, .

исзгд) !и>ягггиоя)>и Од » 3>" ) !Зк «ИК Вйутрй «,>ОЬП й Е:1ОЛж),О ряа.!Ить В ЕВ ЕВ ЕВ нулю (прОВОдйик'1, ть >'., ===Ее ь, стзлО ОНГь, = — о«=--о. ПО:-!Ов>) ь про,трай твс мс)кду п.п. >«- нами Е= — 4П' ,)'„-.>то и >р боизг> кь докш Вть Таково ж> буде: !. )юдс ме.кд)г «.,и!стй;и!Мь ь. ос кого конденсатора >.»и> гвых риз.и«ров, гол«толь>>О раССТОяНИЕ МС>Кду ПЛЯС)«>ШЧИ буиет;ЗЛО ПО Сраайснию с их Разысйг)ми. Пскг.гкспйе ~1ог!ь, нЯРУ1ш «)н" Е С) ОДНОРО>П!О>1« Ста>К 1! К ГЯЫМ ЛИШЬ ) Раем> К Ю НОЧНОГО КОНДШ>СЯ)ОРЗ, Н«РЗЕ.'>оййййХ >П КРЗЕВ, Срьиниммх с рассто)пп!е)1 )>ел,д) >шя "п>,>:!и. !'«е 7 В случае конденсатора коисчных ргзмсро; оощий заряд кажд>ш пла- СТИНЫ КОП>ЧСН И >СРЕЛНЯВ) ! ЛО!>ЫГ"11.

СЕ ПОВСгГйч!И'Г"ГНГ)ГО 3 1Р5131! РЯВ«:1 где 5 — позер)шос!ь «лвсп>«ы Т«ким об>)Язых. у)):!Янснйе 15.2) «рй««а,кт вид Г': — л\ г ). (г В 3,! й ч 3 4. Пок)>я го, чпг и '1>кчг т«ць! 1« ц>ьг!«с)н ГО ! О«дс«ГПГ«р > (ДВЗ коа ксиа гп нь1х пи, ип1)!уй 1 нзпГгпжеп«Ость 1!Олч е)про>те>!5)етс>> фор игл «>и (4.5): ГДЕ и — ЗЗРЯД СДИ«НПЬ> ЗЛИ«Ы И«У!Р>)!«И о ЦИ.И>>ЩРЗ, Ц)Н КЛ>:ШРИД СД«>', й!>И ДЛИНЫ 1«И ШНС>О ПИЛ«Н ЦШ Шгм« ). электРическОе пОле непОдйижных 3АРядОВ (гл.

> 3 а д а ч а гх Показать, чсо в полости шарового конденсатора (две концентрические сферы] поле определяется формулой (4.6): гле е . заряд вн) гренней сферы, причем зарял внсипкй сферы равен — е, й 6. Истоки электрического полн. Поверхностная дивергенция !. Поверхиоспсый пнтсшрал, входящий в выражение (3.6) электростати соской георсмь> 1 пусса, ма>кот быть преобразован с помощью обшей теоремы (аут> а < !7х) в интецшл по стграниченному поверхностью з объему 1>: $Е„с(Ь'= ~ ЙуЕ с()'=4п ) еи (6.1) 0>сиа>сс> прсобразс>ваши это возможно лип>ь в том случае, если Йу Е имсез опрслслгппос коигчпос зпачспис во всех точках объема 1', закпсоченно> о внутри вовс рхностн хй т.

с. если нектар Е конечен и непрерывен в этом объеме. В >астностс>, виусрн поверхности йз' не лолжпо быть ни точечных зарялои ко>к ной шлнчины, пи вовс рхпостиых зарядов конеч>и>й поверхнасгпой плогпости, ийо напряженность ноля точгчпого заряда при 77-- (! стрсмштя к пс .ксик секти (урсин>с'пие (2,1) ( н, помимо того, направление вектора Е при (7- с! ггинснн>тсн неопределенным; па заряженных же пощрхностях иаруишетгя нспргрь>нпогть вектора Е: сто нормальная слагакнпая испытывает скачок 4за [уравнение (4Л) ) Внрччся. пси>нгия .>Очсчпап> и повсрхностпогс> зарядов имеют лишь вспомс>гс»гзп нос зиа к'п>н н были введены нами лишь лля улойства рассмотрении полн зарядов на рикшояинях, лостаточпо больших по срашкпи>о с рази> рами гаь>ил зарипов.