Введение в теорию исследования операций. Гермейер (1971) (Введение в теорию исследования операций. Гермейер (1971).djvu), страница 16

е. всегда можно указать та. кие значения неопределенных факторов !(х;), что в этом нестрогом неравенстве будет реализоваться равенство. Для 1 этого, если — (хп э ~ — х;,) — максимальная из разностей, стоящих в правой части, достаточно взять хп«Д )(хн) ш!п 1(х')' х 2 1«~«М 7 (х,) = ! (хи) — й и остальные !'(х) так, чтобы соблюдались условия Липшица.

Аналогично можно поступить и в случае, если максимальной окажется х,— 0 нли 1 — хл,. Все сказанное суммируется в утверждении, что для критерия !р' = — [!(х;,) — ~(х,) [ гарантированная оценка эффективности равна аУ = — агапах [х„! — х„т; 0,5 шах (х;~,— х,)~. (81') 1«1«э-1 В этом случае при разумном выборе стратегии ее эффективность возрастает с ростом У, т. е. увеличивается точность определения значения ппп!(х) вместе с ростом количества активных средств й!. Модель 1Ч. Пусть фиксирована стратегия (хЦ. Поскольку все члены суммы (9) всегда неотрицательны, то противнику, стремящемуся минимизировать (9), имеет а ч~ смысл брать у;) х)/р; только, если ~„—,, < т,у;=а, с ~ $ 101 пгямсеы оценки эеевктивности стгАтегий 93 В этом случае оценкой эффективности стратегии (х)') х! будет О.

В остальных случаях, т. е. при и (~„— „, пан!=1 худшие для оперирующей стороны у! не превосходят х!/р;; но тогда (9) приобретает вид ь ь (х! — р!у!) = У вЂ” ~ р!уь Г=! к=! Минимум этого выражения при у!(х!/р! получается следующим образом. Пусть нумерация такова, что р!) р!~!. Тогда противнику прежде всего выгодно увеличивать у„до у!, "'=х,'/р,„ если п)х',/р„или до п в противоположном случае. Вообще у'; '"'=х,'/р! или ! (г„где х~ ь-! о — >и) ~~ р, !=1 г=! !пз!и! х1 (е!и! !=1 Соответственно оценка эффективности по (58) и-! ь -~ х)' 1 Ж' = х,'— р!, и — ~~~ —, + ~ х1.

Г=! /=!6+! Пусть теперь оперирующая сторона (не исследователь операции), обра!цая внимание на слабейший по р; й-й пункт, будет иметь информацию о //» и применять стратегию х/=0 при !(й — 2, х$ !=/!/ при уь > и/2; х$ !=О прн уь(п/2; х3=0 при у„> п/2; х3=/у при уь(п/2. Тогда, очевидно, и у'; '"'=0 при !(й — 2, и критерий эффективности принимает вид !пах (У вЂ” хф(дь) — р„,(п — у„); 01+ п!ах (хК(у„) — р„у,; 01, где х1((У ) = 0; /!/ в зависимости от Уь > и/2 или У„( п/2.

Если да> и/2, то кРитеРий Равен шах 1У вЂ” Р„,(п — дь);О) и его минимум будет достигаться при у, = п/2-1-1, т. е. равен шах [л/ — рь !(п/2 — 1); 0]. оценкл эафзкгивности стг»тегий (гл. и Если же р» ( и/2, то имеем критерий шах (У вЂ” р»у»; 0) с минимумом (при у»=п/2) шах(У вЂ” р»п(2; 0). Оценкой эффективности этой стратегии будет, таким образом, величина ппп (гпах ~У вЂ” р», ( — — 1); 0~; гпах ~У вЂ” р„—; 0] ~ . Сравнивая это выражение с (82) при х„=У; х~ — — 0' (Фп, легко убедиться, что появление информации о у» существенно увеличивает гарантированную эффективность стратегии по сравнению с априорной стратегией направить все силы на слабейший по р; пункт. Модель ЧП. Если координаты цели случайны и не меняются во время стрельбы, то, осредняя критерий (33) по правилу (66), сведем оценку эффективности к вычислению интеграла Ю 63» йУ=! — ) ~ Ц11 — ар;(хп — у,;хп — у,))Ч (р,у»)бу,Ф„ -в -а~ (83) где ~р (у,у») — дифференциальный закон распределения положения цели (обычно принимаемый нормальным).

Здесь предполагается, что оперирующая сторона не получит новой информации о (у,у,). Напомним, что случайность у„у, не обязательно означает случайность истинного положения цели, а часто просто отражает случайность ошибок однажды произведенного оперирующей стороной измерения ее положения. Как уже говорилось в 5 2, этот случай называется схемой двух групп ошибок, а формула (83) есть оценка эффективности стрельбы в случае схемы двух групп ошибок.

Подробнее с оценкой эффективности для схемы двух групп ошибок можно познакомиться в упоминавшейся книге Е. С. Вентцель. Случай стрельбы с пристрелкой является более сложным; становятся известными величины х» — у, + и» и х„— у,+оь где и, и о; — случайные величины, характеризующие рассеивание 1-го снаряда. Эта информация позволяет с точностью до ошибок и, и о, судить о величинах у, и у» и последующие выстрелы направить согласно этой информации. % 101 пРимеРы Оценки эФФектиВнОсти стРАтегий 95 Обычно за примерные данные о у, и у, берут при а — 1 Е-1 ! 'Сч й-М ВЫСТРЕЛЕ ВЕЛИЧИНЫ вЂ” 1~ (У,+и!) =У,+й — ! Хм и! и аналогично для д,. Так как дисперсия величины а-1 1 и! равна оа!/(Й вЂ” 1), то с увеличением Й сведения 1=! о у, все уточняются, и это может использоваться при выборе х, и х, для й)2.

Обычно велйчины и! и о, можно считать приближенно равными случайным величинам индивидуальных отклонений снарядов от расчетной траектории, если, конечно, пренебречь собственно ошибками измерения величины отклонения точек падения снарядов от центра обстреливаемого объекта. Тогда при естественном выборе стратегии а-1 «-1 ~ч , 'мг ~~а' ,и! в виде х, =д,+ — и х, = — +у, при произвольных х„и х„эффективность такой стратегии*) вместо (83) приобретет вид ада l=~ + 1 . ~=! — ~п[ х[! — ар,'(х„— д,+и;, х„— у,+от)) х иа аа ! ! хгргЬ! уа) П йп' о е г(утг(уаг(и!Но!...Ни„г(о„, (84) а) Таким образом, здесь стратегия — функция будущей информации о значении случайных факторов у! и рм получаемой с дополнительными случайными ошибками.

где величины р,' равны 0 или 1 в зависимости от того, попадает точка-аргумент на цель или нет. арй Таким образом, здесь в1силу связи между хаь х„и индивидуальными ошибками)(стрельбы нельзя осреднять критерий (33) !полученный в свою очередь осреднением критерия 1типай'0; 1 (поражен; не поражен); следует не- посредственно осреднять этот первоначальный критерий для данной стратегии. ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ СТРАТЕГИЙ (Гл. и В' = ш(п ~ ! — П [! — ар1(х»1 — у,; х„— у,)! [ . (85) У»У. 1 1=1 Если же предположить возможность перемещения цели от выстрела к выстрелу по закону [Узз — уп- ~~бз' [Уз У»1-з[~йз' аз<узз(Ь,; аз(у„<Ь„ (86) л Е=- -~ [~-П[~-.зУ...-»„: ...—..Л[ УГК У 1.

° Уз~ Узз 1. 1=1 (86') при условии (86). Модель ЧП!. Рассмотрим только случай неопределенно движущегося объекта (случай В) при условии (36) и [у; — у, [ =К,. Вспоминая, что сами р» в (83) получены аналогичным осреднением, т. е. интегрированием, видим, что большая сложность (84) определяется необходимостью расчета нераспадающегося 2и-кратного интеграла. Здесь уместно использование методов Монте-Карло, для которых это обстоятельство не слишком существенно при численном расчете эффективности. Введение «пристрелки» целесообразно, конечно, и при априори неопределенном положении цели. Формула (84) тогда в общем остается без изменения, только вместо интеграла по (у„ у,) с дифференциальным знаком распределения зрг(у„ у,) должен находиться минимум по (у,у,). Однако такие Оценки эффективности стратегий суще.

ственно базируются на предположении о неподвижности цели. При подвижной цели пристрелка осложняется и будет связана с решением задачи о фильтрации (пример ЧП1). Когда пристрелки нет и цель неподвижна (у„у, неопределенны), эффективность оценивается по (68) величиной з 101 примзры оценки ВФФектизности стРАтегнй 97 Критерий (35) приведем к виду | 1 / / 1-1 1е :Е У/~Х Р,— Х Р1)+РаУ — У/~ +2~ РЯ= /! /1=! ' 1=! ' /=! [ 1- ! / / 1 + р.+Х р — 1 у.

+~ рР Отсюда в силу ограничений на у/ — у+, и на у; — у, ясно, что наихудшие у/ — у/ .= ~К, а наихудшее у;, конечно, определяется из равейства у, — у, = ~ К„ причем знаки у/ — ух+, и у/ — у, должны совпадать соответственно со знаками если +Хр — 1. -О; если же у, ре+,~ ~р,— 1 =О, то у/ — у/+, должны 1=! l Г 1 ю, е е Х е /Ь -и)[Х е,— ![. 1=! 1 1 / 1 если (У/ У )~ Х р1 — 1 Ф О, и, наконец, знаки 1 ! (У/ — У/ее) .Ер, должны быть одинаковы, если (у; — у.)х 1=! х(;Я~р/ — 1)=0.

Поэтому оценку эффективности по (58) дает 1 — (Р = ~~р.+ Х р — 1~[у.!+К.~ Х р — 1 + 1 !,! 1 ! 1-! / Де +К,~~ ~~~ ~р/~~ + Х р11://. (87) В ЧаСтНОСтИ, ЕСЛИ К, ОЧЕНЬ ВЕЛИКО, ТОЧНЕЕ К,— оо, тО во избежание бесконечно больших ошибок стратегия 4 Ю. В. Гереезер оцкнкк эээкктнвностн стевткгий (гл. и должна удовлетворять условию Х р!=1 с=! При этом все стратегии с р,ФО будут не лучше, чем стратегии с теми же рл но с р,=О. Таким образом, прн К, = оо достаточно рассматривать лишь стратегии с р,=О при выполнении (88).

При этих условиях (87) превращается в оценку эффективности (88) 11-!! / 1! — Ф = Кк ~;., '~ ~ р, ~ + ~ р)Ц. (89) 1=! !=! 1=1 й 11. Об оценке эффективности при наличии случайных неконтролируемых факторов Пусть все неконтролируемые факторы принимаются случайными. Если при этом осреднение (66) признается целесообразным, то для его осуществления необходимо знать законы распределения соответствующих случайных факторов. Когда эти законы известны недостаточно точно, то, как уже отмечалось в $ 2 (модель Ч1), возникают новые неопределенные факторы, а с ними и необходимость соответствующих гарантирующих оценок по (58). Можно различать три вида информированности о законе распределения 1(г) случайной величины г.

1) 1(г) известна достаточно точно †случ желательный, но сравнительно редкий и, в особенности, при исследованиях новых вопросов, что типично для исследования операций. 2) Известен тип закона распределения, т. е. функция ! (г, а), однако неизвестны или недостаточно точно известны значения вектора параметров сс, которые индивидуализируют закон распределения (например, для нормального закона неизвестна дисперсия). В достаточно общем случае информация об а может быть записана в виде неравенства а,<и<а„ где векторы а, и а! известны. Именно к этому случаю относится и представление неопределенной величины х в виде случайной, но с неопределенным законом распределения. 99 $11) УЧЕТ СЛУЧАЙНЫХ ФАКТОРОВ Действительно, вид закона распределения здесь известен: 1(г)=0 при г <а и )(г)=1 при г)а.