Введение в теорию исследования операций. Гермейер (1971) (Введение в теорию исследования операций. Гермейер (1971).djvu), страница 13

и у него информации о Х(У) он может выбрать У, из следующих соображений: а) он считает, что, какую бы У ни выбрать, оперирующая сторона выберет Х,(У), так, чтобы Р (Х, (У), У) = шах Р (Х (У), У~; х оо б) У, тогда будет выбираться из условия Р„(Х,(У,), У,) = шах Р„~Х(У), У~. Тогда, если Е есть множество таких У„оценка эффективности нашей стратегии Х(У) будет ш1пР(Х(У,), У,~. Г,ее Отмечая принципиальную возможность такого случая, можно все же в основном базироваться на типичном случае (58), не опирающемся на сомнительные гипотезы об информации и поведении противника. В дальнейшем будет показано, что при выборе «оптимальных» Х (У) знание того, информирован противник о Х (У) или нет, может иметь существенное значение, определяя, например, целесообразность применения так называемых смешанных стратегий. Однако и в этих случаях оценка эффективности стратегий будет все равно проводиться по (58).

Еще раз подчеркнем, что формально (58) охватывает все остальные рассмотренные случаи, если брать нижнюю границу не по всем априори возможным У, а только по тем из них, которые соответствуют нашим данным о целях, разумности и информированности противника. Таким образом, эти различные случаи могут трактоваться как способы ограничения множества возможных стратегий противника (множества изменения неопределенных факторов) на основе принимаемых исследователем данных о целях, разумности и информированности противника.

Сказанное звучит довольно исчерпывающе, если противник один и если нет случайностей. В противоположных же случаях кажется, что оценка эффективности может быть улучшена. й 81 УЧГТ ИРКОНТРОЛИРУИМЫХ ФАКТОРОВ 75 Когда противников много и каждый из ннх преследует свои цели, не обмениваясь информацией и не заключая союзов (коалиций), то, как показывают исследования Нэша по теории бескоалиционных игр *), можно действительно ожидать улучшения результатов, однако эти результаты, как правило, неустойчивы и не могут быть отнесены к категории гарантированных. Исследования в этом направлении, представляющие в основном интерес для конкурентной экономики, недостаточно еще разработаны и в данной книге не рассматриваются. Однако необходимо заметить, что если только отсутствует уверенность в знании целей многочисленных противников или они могут заключать коалиции, то наихудшим случаем для оперирующей стороны (соответствующим гарантированным оценкам) будет коалиция всех противников, т.

е. по существу один противник. А этот вариант уже разобран. Прежде чем переходить к рассмотрению случайных факторов, еще раз отметим, что оперирующая сторона в целом может отходить от гарантированных оценок при свертывании функции эффективности йу(у') в одно число. Однако, как бы это ни делалось, это будет по существу введением нового критерия эффективности, образованного из старого путем использования способов свертывания критериев, изложенных ранее; в результате такого свертывания значение критерия может стать и не зависящим от неопределенных факторов.

Примером таких действий может явиться то или иное осреднение пу(7) по Г. Другим примером может служить предложение Л. Гурвица оценивать эффективность следующей величиной: (ег'=ашах йу(Т)+(1 — а)ппп)Р ()г); 0(а(1 У У (использование способов ! и Ч объединения критериев). Выбор а остается при этом совершенно произвольным и должен быть сделан оперирующей стороной, а не исследователем операции. Если же оперирующая сторона не рискует этот выбор сделать, то для исследователя это— *) Статья Нэша имеется а сборнике «Матричные игрыь, указанном а списке литературы а конце книги. 76 ОЦЕНКА ЗФФЕКТИЗНОСТИ СТРАТЕГНй [ГЛ. И неопределенный фактор, и он выберет наихудший случай а=О, т. е.

вернется к (58). Перейдем к рассмотрению случайных У. Сам факт фиксации случайности У считается некоторой информацией, которая должна дать лучшие результаты, чем (58). Однако если критерий эффективности остается прежним и не меняется множество 1Ч или понятие гарантии, то никакого нового гарантированного результата знание закона распределения У не дает.

Действительно, при этом У, реализующие (58), остаются возможными, хотя, может быть, и «маловероятными». Поэтому выгоды в смысле оценки эффективности при знании закона распределения У обычно извлекаются следующими двумя путями. 1. Множество 1т' заменяется на меньшее множество 1т'Ф так, что вероятность Р 1УЕ 1т'*]) 1 — р, где ~) достаточно мало. Приемлемые р каждый раз обсуждаются конкретно. Таким образом, здесь все остается без изменения, только 1Ч в (58) заменяется на Л1Ф, а гарантия понимается в смысле малой вероятности выхода У за пределы )т'Ф. Такая вероятностная гарантия имеет настоящий смысл только при повторяемости операций (что отнюдь не всегда обязательно).

Кроме того, следует заметить, что при сравнительно равномерных в !т' законах распределения, выигрыш в эффективности при замене !~7 на 7т'* будет мал вместе с малостью р. Наоборот, при законах распределения с ярко выраженной неравномерностью выигрыш может быть велик. Так или иначе, но здесь сама оценка опять производится по (58), и нам нет необходимости ее отдельно рассматривать; случайности здесь по существу не отличаются от неопределенностей.

2. Вторым путем является изменение критерия эффективности против принятого в начале исследования. Как уже говорилось, такое изменение исследователь операции, как правило, сам производить не должен. Настоятельная потребность в изменении критерия эффективности может возникнуть, если оценка (58) дает неприемлемые результаты и нет другой стратегии, которая давала бы достаточно удовлетворительные результаты по (58). Такое положение особенно часто встречается при первом типе цели операции, если (58) дает оценку О. $8! УЧРТ НВКОНТРОЛИРУРМЫХ ФАКТОРОВ Тогда оперирующая сторона должна или отказаться от проведения операции, или изменить критерий эффективности, конечно, в сторону отхода от категоричности, свойственной первому типу цели.

В настоящее время обычно изменение критерия состоит в его осреднении по случайностям. Тем самым в критерий вводится согласие с определенным риском. При многократном повторении операции такой риск сейчас считается вполне допустимым. В общем случае, когда вектор неконтролируемых факторов у состоит иэ вектора независимых случайных факторов у, = [узо ..., У,„] и вектора неопределенных у„новый критерий имеет вид*) (у = г [х(у) у! = = ]... '] г [х(у„у,), у„у,] с()'з(у„)...Щ(у,„). (66) Здесь ),(у, ) — закон распределения величины узр При новом критерии оценка эффективности будет !п(7 [х (у), у].

Ыз В, тех случаях, когда стратегия х(у) зависит только от у„критерий )у'=г" [х(у), у] не зависит от у„т. е. приобретает вид г [х(у,), у,], а это значит, что получается уже модель без случайностей. Следует отметить, что всегда имеет место (п(г" [х (у), у] .= !п! г [х (у), у]. Уз УзУз Правая часть этого неравенства может трактоваться как гарантированная оценка значения (66) при неизвестных ),(у„), могущих, в частности, быть произвольными ступенчатыми функциями. Таким образом, увеличение информированности о у, (знание законов распределения) приводит к определенному *) В дальнейшем будет использоваться и более общая запись )Р для случая зависимых ун в виде д-мерного интеграла Стилтьеса по вероятностной мере.

ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ СТРАТЕГИЙ (ГЛ. и увеличению ожидаемой эффективности, правда, при новом толковании критерия эффективности. При выводе (66) и (67) использована независимость векторов у! и у,. Если же это не так, например, если противник, управляющий вектором у„знает у„то вместо (67) нужно использовать, очевидно, оценку ...~ ппп Р [х(у„у,), у„у,) 4Г(уГ!)...6~А(у„), (68) У1 в которой по сравнению с (67) переставлена последовательность действий осреднения и взятия минимума. Эти действия, как правило, неперестановочны и, как известно, (68) всегда не больше (67).

Это обстоятельство есть частный случай принципа 9 9 7 о роли информированности, но только в применении к разумному противнику, преследующему интересы, противоположные цели оперирующей стороны. Введение нового критерия эффективности по (66) можно проиллюстрировать на примере Ч1 9 2. Если взять критерий (14) и законы распределения независимых величин 1, в виде [1 — р!(1!)[, то применение (66) к (!4) приведет к вероятности невыхода системы из строя УГ(1) до момента времени 1, которая выражается формулой ~'.

(1) = ) ) Г1 [ 1 — р! (!Г)[ " Г1 [ 1 — р. (!.)[ = !С !А!; Вместо (16) соответственно имеем Ф Ф Т, = ~ ...~ ппп [!!1 !! [1 — рГ(!!)1...Г! [! — р„(Я. о о !<!<" Но, с другой стороны, законом распределения величины Т, (15), очевидно, является 1 — ЙГГ(1). Отсюда получаем Т, = ~ !Г! [! — !Р'! (!)! = ~ У! (1) Й = ) П Р< (1) Й. (70) о о о Г=! и 81 Рчет неконтеоляохемых ФАктОРОВ 79 Формулы (69) и (70) относятся к недублированной систе- ме. Вместо (16) и (17) будем иметь л 1 — ПР,Я 2( ) (71) И Р,=1(~— с 1-П Р,(1) о=з Далее можно получить вместо (21) Т,=тТ„ а вместо (20) — рекуррентную формулу л Р„О~- ~ — 1о-л...л — О1 (1 — П Р(О~. Оз) о где У„(1) означает критерий при 1-кратном дублировании (1 =1, ..., т); ВР"Во =О. Осреднение (20) прй (22) и самого (22) даст для по- агрегатного параллельного соединения л т(,(1) =П (1 — (1 — РР(1))-); (74) Т, = ~П (1 — (1 — Р,'(1)]-') ~1. о г=~ Наконец, для <холодного» резервирования агрегатов (72) (75) о о=! К(1)=П Р;.(1); Р0(1) =1 — ~ [1 — Р0,(1 — Но((1 — Р;(т)3 о Здесь Р, — вероятность невыхода из строя 1 штук агрегатов 1-го типа, включаемых последовательно друг за другом, после выхода из строя предыдущего.