Введение в теорию исследования операций. Гермейер (1971) (Введение в теорию исследования операций. Гермейер (1971).djvu), страница 14

Вместо (25) будем иметь Ф То = ) П Рьл (г) о(г' 80 оцвнк» э« »активности стг»тягай [гл. и Стоит также отметить, что среднее время работы т раз дублированного «холодным» способом агрегата 1-го типа будет 7';„= гл ) р; (!) Й.

(77) о Формулы (69) — (77) — основные формулы теории надежности, причем (71) — (76) являются оценками эффективности различных стратегий дублирования А — Г примера Ч!. Точно так же осреднением критерия первого типа получен н критерий эффективности примера Ч1!. Как известно, всякая величина может считаться случайной, стоит только неслучайную величину а представлять случайной с законом распределения Р(х) =0 при х< а; Р(х)=1 при х=ьа. Если величина а неопределенная, то ее можно считать случайной, но с законом распределения, в котором есть неопределенный фактор. Эта трактовка позволяет считать, что все неконтролируемые факторы случайны, ио в их законах распределения есть неопределенные факторы.

Конечно, такая трактовка не дает ничего нового, но может быть иногда методологически удобна, хотя бы уже потому, что поднимается вопрос о роли информированности оперирующей стороны относительно законов распределения случайных факторов. В 9 11 этому вопросу будет уделено должное внимание, здесь же подчеркнем, что и при такой общей трактовке неконтролируемых факторов формула (67) остается, очевидно, справедливой, но приобретает еще более общее звучание. Если рассматриваемая стратегия х(у) не зависит от случайных факторов, а неопределенных факторов вообще нет, то х(у) =-.х, и после осреднения (66) получается модель операции без случайных и неопределенных факторов. Тогда задача оценки эффективности становится чисто вычислительной задачей по определению величины (66). Именно так ставится вопрос в так называемом анализе систем автоматического управления после проводимого там осреднения по ошибкам измерений.

Аналогично обстоит дело и с современной теорией эффективности стрельбы, как правило, игнорирующей на- 81 з 8) УЧЕТ НЕКОНТРОЛИРУЕМЫХ ФАКТОРОВ личие неопределенных факторов. Сложность соответствующих расчетов целиком определяется сложностью записи критерия эффективности, содержащего, как правило, многократные интегралы. В остальных случаях определение эффективности может оказаться значительно более трудным. Эта трудность определяется двумя обстоятельствами: возможной сложностью зависимости х(у), а также наличием неопределенных факторов и связанной с этим необходимостью нахождения минимума (67) или (58) нли еще более сложных расчетов по (68).

В связи с этим трудно дать общие рекомендации по методике оценки эффективности вне конкретных моделей, за исключением указания на возможность применения численных методов определения интегралов и минимумов. Однако обычные численные методы поиска экстремума (типа градиентного метода) далеко не всегда применимы, поскольку речь в данном случае идет только о глобальном минимуме; локальный же минимум ничего не гарантирует. В значительно меньшей мере это возражение относится к модификациям метода случайного поиска экстремума.

Может быть, стоит обратить внимание еще и на то, что порядок вычислительной сложности определения минимумов в принципе не отличается от такового же для определения интегралов; во всяком случае это так для достаточно гладких функций при использовании разбиения области на мелкие части с достаточно малым колебанием функции в них. Если исходить из этого тезиса, то естественно считать и операцию взятия минимума или максимума столь же «элементарной», как и интегрирование. Частота же ее использования в настоящее время в математике и на практике несомненно говорит в пользу такого увеличения числа «элементарных> действий.

Стоит также обратить внимание на то, что при оценке эффективности нас интересуют не у, реализующие (58), а именно само значение минимума. Некоторой конкретизацией вида критерия является приближенная его запись по теореме )Ъ'. Для этой записи критерия имеем и некоторую регламентацию оценки эффективности (58). ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ СТРАТЕГИЙ [ГЛ. 11 Теорема 11'[. Если у~Р„и г '" л Р(х, у) — ппп гпах ~ ~~ ам,у + и~~ сглгхг+г[1» ~= 1«1«Гег«А«»е Рг = ппп гпах Рм (х, у) С А то гпгп Р [х (у), у] = пнп пнп ( гп!и Р,А(х (у), у)), У Е Оу 1«1«гег«А«уе Г»ЕО„"а, М где Р„'(1, [г) состоит из тех уЕ Р, для которых Р,„[х(у), у]) гпах Рм (х(у), у). Иначе говоря, теорема утверждает, что нахождение пнп Р(х(у)у) приводится к нахождению минимального »ЕО„ из [, [г, минимумов функций Р,„при у, ограниченном условиями усР»; Рм [х(у), у] >Ргу [х(у), у); 1<й'<<Ггу.

Доказательство. пппР[х(у),у]= пнп ппп тах Р„[х(у),у]= ууоу » Е О»1«1«гег«А«»е = гпш пп'п гпах Рм [х(у), у). 1«1«1~ »УОу 1«А«»е Но гпах Р,А[х(у), у] равен Р„,[х(у), у], гдегггг таково, 1 «А ~ Ае что Рии[х(у), у])Р1»[х(у), у] при всех [у~[ге. Минимум же гпахРГФ[х(у), у] по области Р„представляет собой минимальный из минимумов функции гпахРГА[х(у), у], взятых соответственно по гге областям Р»(1, гге) = [У 6 Р»', Рги [х(У), У) > РО,' [х(У), У); 1 < й' (<йе). Но в каждой из этих областей функция игах Р,А и есть Р„,,(х(у), у).

Объединение сказанного и заканчивает доказательство. Эта теорема полезна, видимо, только тогда, когда $ й! сРАВнении ВФФектнвностн стратегий 83 функции х (у) и область О„достаточно просты, так чтобы сравнительно легко находился ппп Ь!»(х(У), У). РЕо„'а, ц Так, например, если В„описывается совокупностью линейных неравенств Ь!/у/~~Ь! 1 1~ ' ~ 10~ /= ! и х не зависит от у (или зависит линейно), то теорема утверждает, что дело сводится к решению 1,й, задач линейного программирования: Г 'л л ги гп(п ~ ~ а„/у/+ ~ч~~ с!А!х!+с(!„~; ~ Ь/у/(Ь„1<1,; /=! !1 '' ' /! ч', а,„у + ~ с!А!х!+/1!А < ~, а, /у + ~ч~ с„;х/+/111; !=1 != ! !=! != ! ~ ~~о.

Если 1, и особенно й, невелики при небольших 1„ то число задач и, главное, сложность решения каждой из них тоже будут невелики. В частности, если х и у есть скал яры, то й, < 4, 1, ( 2 и численное решение задачи по оценке эффективносги даже при больших 1, не представит затруднений. $9.

Сравнение эффективности стратегий При критерии первого типа, принимающем лишь два значения — 1 и О (достижение и недостижение цели)— оценка эффективности часто используется для предъявления требований к запасу активных средств, чтобы оценка эффективности давала 1 (достижение цели). Однако при таком предъявлении требований оценка эффективности часто не бывает гарантированной; тем самым н требования оказываются произвольными, не гарантирующими успеха операции. Хуже всего то, что этот факт остается завуалированным. Если критерий эффективности есть критерий второго типа, т. е.

принимает непрерывный ряд значений или ОЦГИКА ЗФФГКТИВИОСТИ СТРАТВГИй [ГЛ. И даже просто много значений, то оценка эффективности сама по себе не имеет особого практического интереса. Основной смысл оценки эффективности здесь состоит в том, чтобы на ее основе можно было сравнить ценность двух стратегий. Если критерий эффективности фиксирован, то сравнение эффективности двух стратегий Х, (У) и Х, (У) может быть произведено, так сказать, на двух уровнях. 1.

Если Р(Х,(У), У) ) Р(Х,(У), У) при всех УЕ )т', то можно сказать, что первая стратегия абсолютно лучше, чем вторая. Абсолютно худшая из двух стратегий может без сомнения отбрасываться. Разумеется, такое абсолютное превосходство одной стратегии над другой нетипично, но все же встречается не так уж редко. Так, например, далее мы убедимся, что поагрегатное дублирование абсолютно не хуже, чем дублирование в целом. Точно так же очевидно, что при наличии Глочной и своевременной информации о моменте выхода агрегата из строя холодное резервирование абсолютно лучше, чем параллельное соединение. Легко понять также, что при уверенности в достаточно полной информации об У у оперирующей стороны исследователь операции всегда может сконструировать третью стратегию Х,(У), которая будет абсолютно не хуже, чем две данные стратегии Х,(У) и Х, (У).

Для этого достаточно определить Х, (У) следующим образом: Х,(У) = — Х,(У) при Р [Х,(У), У[ )~ Р [Х,(У), У); Х,(У) = Х,(У) при Р [Х,(У), У) < Р [Х,(У), У). 2. Однако, как правило, нельзя все же ожидать достаточно полной информации об У и тем более нельзя ожидать абсолютного превосходства одной стратегии над другой; так, например, трудно рассчитывать на абсолютное превосходство стратегии Х, над Х„ если они обе ие зависят от У. Поэтому типичным следует считать сравнение стратегий по результатам их оценки эффективности по (58). Таким образом, стратегию Х,(У) можно считать лучшей, чем Х,(У), если !пГ Р[Х,(У), У[) 1пГ Р[Х,(У), у[.

ГГМ УФИ кь й! СРАВНЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ СТРАТЕГИЙ 85 Такого рода сравнение эффективностей возможно всегда; оно не требует и предположения о достаточной информированности оперирующей стороны об Ъ'. В отличие от оценки зффективности одной стратегии сравнение вффективностей позволяет производить, не меняя результата сравнения, ряд операций над критерием эффективности. Так, например, сравнение обоих типов не может измениться от прибавления к критерию постоянной или умножения его на положительную константу. В связи с этим обратим внимание на следующую простую теорему.

Теорема Ч!1. Результаты сравнения эффективности стратегий остаются неизменными при любом монотонном преобразовании критерия Р (Х, 1'), т. е. если гр(и) — монопюнно-возрастаюьцая функция, пю из !п1 Р [Х, (у'), 7] > ш1 Р [Х, (т'), Г] следует У У !п1<р(Р [Х,(т'), У']) > !п1<р(Р [Х,(у'), 'г'] ), У У и обратно. Сохраняется и абсолютное превкходство. Доказательство почти очевидно. Пусть и,=!п1Р [ХА(7), Г]; з=1, 2 и и, > и,. Тогда существует У', такой, что при любом У'1 и, < Р [Х, (У',), У,] < и, ( Р [Х, (г,), У 1].

Отсюда следует !и! 7 ( Р [Х, (г ), у] ) ( р ( Р [Х, (Г,), У,] ) ~ У (!пЬрР [Х,(г,), г",]]. Ув Обратное утверждение будет просто следствием монотонности обратной функции ф '. Если ослабить требование к ~р, оставив ее лишь неубывающей, то сохраняется только следующее свойство: первая стратегия не хуже второй при переходе к ~р [Р]. Эта теорема может иногда принести пользу, позволяя сделать критерий эффективности несколько более удобным оценкА ВФФеетивности стРАтеГий (Гл н для отыскания минимума.