1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987).djvu), страница 17

Часть требований теряется для первого прибора и поступает на второй. Потоки требований, поступающих ыа второй, третий и последующие приборы, будут уже отличны от простейших. Действительно, пусть поток, поступающий ыа первый прибор, простейший и его интенсивность равыа Л, а время обслуживания каждого требоваыия постоянно и равно т. Вероятность того, что на второй прибср за время 2 не поступит ни одного требования, как мы покажем, равна ы ч~~ л" й — (ь — 1)т) Но(2) = Е АН Ь) е А-Е где число и определяется посредством неравенств (и — 1) т~ г< пт. Из формулы (1) ясно, что вероятность я,(2) не может быть -ь представлена при любых Ф в виде е '1 с некоторым постоянным Л,. Отсюда вытекает, что поток требований, поступающий на второй прибор, уже не будет простейшим.

9 зд. НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ 85 Перейдем к выводу формулы (1), предположив дчя определенности, что в момент Г=О первый прибор был свободен. Начни с рассмотрения случая 2~ т. В этом предположении л,(С) ходится непосредственно. Действительно, на второй прибор не ступит ии одного треоования тогда и только тогда, когда на первый прибор поступит только одно требование или не поступит ни одного. Согласно предположению вероятность этого события равна л~(Г)=е и+ьГе "=е м(1+ЬГ). Пусть теперь 2~ т. Для того чтобы эа промежуток времени 2+Ь на второй прибор не поступило ни одного требования, необходимо выполнение одного из следующих двух несовместимых событий: за время г на первом приборе не было потерь, а за время Ь не поступило новых требований; за время à — т на первом приборе не было потерь, в промежутке от г — т до г на первый прибор требований не поступало, а в промежутке от г до Ф+ Ь поступило новое требование.

В результате получаем равенство л,(Г+Ь)=л,(г) (1 — ХЬ)+л,(г — т)е МЬЬ+О(Ь), которое приводит к следующему дифференциально-разностному уравнению: ла (г) = — ьл, (Г) + Хе ь'л, (Г (2) Подстановкой ло«)=е "и(г) уравнение (2) приводится к более простому виду: и'(г) Ьи(г — т). Так как для О <г< т и«)=1+ЬГ, то на отрезке т( Г ( 2т функция и(г) удовлетворяет уравнению и'(г)=Ь(1+Л«- )).

Интегрирование этого уравнения по г в пределах от г = т до 2 приводит к равенству и(г) = 1+ Хг + ''=1 Х ь о аб гл. з, изгчвнив входящвго потока тиввовлнии Методом полной индукции легко доказать, что при лк1бом н > О на отрезке (п — 1) т ~ 3 < нт имеет место равенство и(1) = ).~ (« — (к — () т)а -Х' «=» Этим доказательство формулы (1) завершено. 5. О более широком подходе к понятию входящего потока.

В связи с последним замечанием естественно возникает мысль о целесообразности такого определения потока событий, которое применимо не только при рассмотрении потоков событий во времени (чем мы исключительно занимались до сих пор и будем использовать впоследствии), но и в более широких условиях. Пусть заданы некоторое пространство Х, а таки«е о-алгебра его измеримых подмножеств 6л. Случайным потоком т)(А) с фазовым пространством (Х, 6») называется система случайных величин т)(А), определенных на елементах множества 6л (А ~нбх) и обладаюп(их двумя следующими свойствами: 1) «)(А) — абсолютно аддитивная функция множества, 2) «) (А) принимает лишь неотрицательные целочисленные аначения. Так, например, для случайного потока землетрясений в качестве множества Х следует принять множество точек (1, <р, О, Ь), где О < 1 ( ~, О < <р ( 2я, О ( 0 ( я, О ( Ь ( ( 6000 кз«.

Важным частным примером случайного потока событий является пуассоновский коток. В соответствии с только что предложенным общим подходом, пуассоковским патокам следует дать такое определение. Пусть т)(А) — абсолютно аддитивная, неотрицательная функция множества А, определенная на А'нбх. Для любой системы А„А„..., А попарно непересекающихся множеств величины «)(А,), т)(А,), ..., т)(А„) взаимно независимы и для каждого допустимого множества имеют место равенства Р(т)(А) = к) = ( ) в ж") (к= 0,1,2,...).

Не изменяя рассуждений $1.1, легко доказать, что поток «)(А) тогда и толы«о тогда определяется равенствами Р (») (А) = к) = — 0 е ~(~~ (й = О, 1, 2, ...), где ) ) 0 — постоянная, !А! — мера множества А, когда выполнены условия «стационарности», ординарности и «отсутствия последействия». При этом под стационарностью будем понимать независимость вероятностей Р»(А) от положения множества А $2Л. НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ в пространстве Х и от его «формы», а аависимость втих верояттен только от й и ~А!.

Под ординарностью станем понимать выполнение условия Р (ч (А) ~ >2) (А( Наконец, под отсутствием последействия будем понимать независимость «)(А~), «((А«), ч ц(А ) для непересекающихся мно2кеств Ао Ам ..., А . И в общем случае такие потоки естественно назвать простейшими, рассмотренные примеры достаточно убедительно показывают необходимость исследования потоков не только простейших, но и более общей природы. Последние годы этим вопросам уделялось большое внимание. Здесь будут изложены лишь некоторые полученные к настоящему времени результаты н представляющие интерес для теоретических и практических целей классы потоков. 6.

Маркированные потоки (Франкен, Нениг, Арндт, Шмидт [2]). Многочисленные практические задачи, где нужно различать типы происходящих событий потока, приводят к определению маркированного потока. Пусть (2, 6) — измеримое пространство, (2 ) — поток однородных событий, (2„) — набор 6-измеримых случайных величин со аначениями из Я.

Тогда последовательность пар (2, 2„) называется (случайнььм) маркированным потоком. Назовем 2„моментом и-го события потока, з„— меткой этого события. Например, в приоритетных системах 2„1, 2, ... может показывать степень приоритетности требования; в системе с ограниченным временем ожидания можно положить 2„= (т(„, т„), где т(,— время обслуживания п-го требования, т — ограничение иа время его ожидания.

Для любого А «в6 последовательность тех 2, для которых 2,ЫА, представляет собой поток однородных событий в обычном смысле. Понятие маркированного потока весьма общо. Так, любой случайный процесс $(2) может быть представлен маркированным потоком. Чтобы показать ато, возьмем любой поток однородных событий (например, простейший), связанный с процессом З(2) илн независимый от него, и определим г„как отрезок траектории $(2) при 2 ~2<2 «ь Тогда по потоку ((2„, з„)) можно реконструировать траекторию процесса $(2).

На основании маркированных потоков в цитированной монографии Франкена и др. развита эргодическая теория систем массового обслуживания, выведено большое число формул для показателей конкретнь«х систем. В частности, получила завершающее развитие теория связи стационарных характеристик систем обслуживания с характеристиками, определенными в моменты поступления требований или других событий в системах. 88 гл. з, изэчвник входящвго поток» тэиэов»нии й 2.2.

Простейший иестационарный поток $. Определеште простейшего нестационарного потока. Во многих задачах физические условия появления требований таковы, что предположения об их ординарности и отсутствии последейстзия совершенно естественны. В то же время предположение стационарности внушает серьезные сомнения, а иногда оказывается и заведомо ошибочным. Настоящий параграф посвящен изучению ординарных потоков беэ последействия, но нестационарных. Для краткости мы станем называть такие потоки простейшими нестационарныли потопали.

Так как поток нестационарен, то вероятность получить й требований за промежуток длительности о зависит не только от о, но и от момента Э„являющегося началом этого промежутка. Позднее мы станем обозначать эту вероятность череа р»(го, го+ о). В частности, ро(оо, г,) есть вероятность того, что за промежуток (1„о) не поступило ни одного требования, а р (оо, г) есть вероятность того, что за промежуток времени (г„о) поступило ровно одно требовапие. Введем в рассмотрение, подобно тому как мы это делали в ~ 1.1, функции (г * () = Х р.

(~о э) = ( — ро Ро*. э) »ея яо(Эо ~) = 2~ Р»(гоо Э) =1 — Ро(гоо ~) — Р.И»1 Э). Первая из них означает вероятность того, что за промежуток времени ((„э) поступит хотя бы одно требование, а вторая— вероятность поступления за тот же промежуток хотя бы двух требований. Требование ординарности потока в количественных, а не в описательных терминах состоит в том, что мы при любом постоянном о ~ О предполагаем выполненным равенство но(ц о+Э) Птп ' ' =О, (1) Л- о Мы предположим далее, что для любого Ф > О существует предел Иш ' ' =Х(т), я, (о, о+э) (2) ь о являющийся мгновенным значением параметра.

2. Уравнения для определения вероятностей р» (о„4). Для определения общей формы потока мы должны составить уравнения, 5 2.2, ПРОСТВЙШИЙ НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ПОТОК которым удовлетворяют функции ро(а„г). Предпосылки, сформулированные в предыдущем разделе, для етого вполне достаточны. За промежуток времени (а„2+Ь) не поступит ни одного требования в том и только том случае, если требования не поступят как за промежуток времени (а„ Ф), так и за промежуток (2, 2 + Ь). В силу предположения об отсутствии последействия можно написать равенство Ра(оо о+ Ь) Ро(гоа 2)ра(го 2+Ь).

(3) Согласно условию (2) для 2 > О имеет место равенство я,(2, 2+Ь)=Л(2)Ь+О(Ь), откуда вытекает, что Ра(а о+Ь) 1 — на(2, г+Ь)=1 — Л(8)Ь+О(Ь). (4) Можно теперь равенство (3) записать в виде Ро(гоа 2+Ь) Ро(гао 2)= Л(а)Ро(ооо 2)Ь+О(Ь) ° После почленного деления на Ь и перехода к пределу при Ь - О получаем уравнение З"о Р '2) ( ) Ро (гоа ).

(б) Заметим, что существование производной доказывается автоматически из факта наличия предела правой части допредельного уравнения. Аналогично тому, как в 2 11 мы вывели уравнения для разыскания вероятностей, определяющих простейший поток, могут быть выведены уравнения для вероятностей ро(2„2) при Ь~ О. Очевидно, что в условиях настоящего параграфа имеет место равенство Рл(2о 2+ Ь) = а'.а Р (го 2)Р— (2 г+ Ь) (6) Так как при малых Ь из соотношений (1) и (2) вытекает, что но(г, 2+Ь)=о(Ь) И ра(2,2+ Ь)=Л(2)Ь+о(Ь), то выражение (6) можно переписать и в таком виде: Ро(гоо 2+Ь) = Ро(гаа 2) (1 — Л(Г)Ь)+Ро-а(гао 8)Л(2)Ь+ О(Ь).

Отсюда (2, 2+ А) — Р„Р, 2) = — Л(2)(рз(1о, 2) — рз,(оо, о))+ о(1). 90 ГЛ. И ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ Предельный переход при Ь - О приводит к уравнению др«(с,, с) = д (с) (р.- (с„с) — р. (с„сН. (7) Если внести в рассмотрение функцию р,(с„с), определив ее посредством равенства р,(с„с) = О, то уравнения (5) и (7) можно объединить в уравнение (7), рас* сматриваемое при всех значениях со > О. 3. Решение системы уравнений (7).