1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987).djvu), страница 16

Однако все потоки, до сих пор изучавшиеся в теории массового обслужива-. ния, представляют собой те или иные дискретные случайные процессы, принимающие лишь неотрицательные целочисленные значения. В дальнейшем, ради краткости выражений, мы будем говорить о вводящем потоке, понимая под этим ту закономерность, которой подчиняется поступление требований в систему обслуживания во времени.

Обозначим через я(1) число требований, поступивших в систему от момента О до момента й Если в момент 8 в систему поступает новое требование, то величина х(~) его не учитывает. Таким образом, х(1)=х(1 — О). Для каждого момента 1 число требований, поступивших в момент Г, равно разности х(1+0)— — х(1 — О). Функция х(1) изменяет свои значения скачками в моменты поступления требований, и, в зависимости от того„ сколько требований поступает в момент 8, х(1) меняет свое значение на соответствующее число единиц. Простейший поток, являясь ординарным, при каждом скачке меняет свое значение лишь на единицу; для него расстояния между точками скачков являются независимыми случайными величинами, распределенными по закону Р(я) 1 — е ь'.

В общем случае, чтобы задать поток х(г), мы должны для любой последовательности значений 1о Ц, ..., 1„(и=1, 2, ...) указать функции распределения векторов (х(1,), х(1,), ..., х(8„)). Однако в рассматриваемом случае можно пойти и по другому пути, указав распределения иных величин. 5 зд. НЕСКОЛЬКО ПРПЫЕРОВ Нудем считать, что интересующий нас процесс начинается в мент г О и, следовательно, х(-О)=О. Обозначим последовальность моментов появления требований через т„т„т„... и ,врез чь те, ч„...— числа поступивших в зти моменты требо- НИИ. ДЛя ПрОСтЕйШЕГО ПОтОКа Ч, = ге = В,=...=1, НО, ВООбщЕ говоря, эти числа случайны. Например, если мы регистрируем одходящие к речному гплюзу суда, то нам придется отмечать и~ряду с подходами одиночных судов (Р~ = 1) также подходы буксиров с баржами, и при этом число барж может быть различным, скажем, от одной до шести (соответственные чь таким образом, будут принимать значения от 2 до 7).

Точно так же число пострадавших в уличной катастрофе может быть различным. Положим зе = тв зе = те+е те пРи й -=- 1. Убедимся, что входящий поток требований можно задавать двумя эквнвалентпымн способами: 1) кан случайный поток х(1), 2) как последовательность распределений векторов (з,оо з,о„... ..., з„,во) для всех значений я~1. Длн практических целей такое задание потока представляется особенно естественным. Для потоков ординарных в том смысле, что в каждый момент ть появляется одно и только одно требование, очевидно, нужно задавать только распределения векторов (з„зь ..., з„-Д. Как мы внаем, длн простейшего потока длины промел1утков з, независимы в совокупности н вероятность того, что длительность такого промежутка превзойдет 8, задается формулой Р (зь ) г) = е ~~. Легко убедиться, что знание этого распределения позволяет получить вероятность появления 7е требований в промежутке (го, ее+о).

Действительно, в сделанных предположениях вероятность появления требований в промежутках (Гь е, + 1(ее), (Ге, Ге+с(Ге), ..., (е„ге+д1е) и отсутствия требований в других точках промежутка (е„ге+8) с точностью до бесконечно малых высших порядков равна е Г е ее . , е гас -х(1,-1о] „-ь(ее-1е) 1(ее еь-1)) е ~(ее+1 1М Пледовательно, вероятность появления й требований в какие-то моменты этого промежутка времени равна ее+11 т1 Р„(гюг +г)=е "'Л" ~ ~ ... ~ а~а„~,дг,. ео 11 1А 1 Несложный подсчет приводит нас к известной формуле: Р» (со, 1о + 1) = — е О.1)" -ы бв в. Гнедевко, ».

Н. Коеелеиео 82 ГЛ. 3. ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ Пусть в каждый момент т„появляется только одно требование; так как х(1) означает число требований, поступивших от 0 до 1, то неравенства ть(1 н х(~)~ е выражают собой одно и то же событие. Точно так же события т„( и, н х(и,)>г прн й ~ г ~ й эквивалентны при любом е и при любом наборе чисел ио и„... Итак, распределения векторов (то т„..., т„) и (х(и,), х(и,), ..., х(иь)) могут быть найдены одно посредством другого. А поскольку при любом й) 0 1-1 т„хм ч3 1=0 распределения векторов (т„т1, ..., т1) и (з„зо ..., х,— 1) позволяют определить друг друга однозначно, то безразлично, заданы нам распределения первых или вторых векторов.

Таким же путем проверяется эквивалентность двух подходаз к определению потоков н в общем случае, когда потоки могут быть неординарными. 2. Поступление деталей нз Рис. 3 бункерного устройства. Автомати- зация технологических процессов в машнностроеннп, приборостроении и многих других областях промышленности выдвинула интересные задачи автоматического питания станков деталями (штучными заготовками). Одним из распространенных п удачных решений задачи является устройство системы бункерного питания.

Простейший тип такого устройства автоматического пнтанвя станков имеет вид, схематически изображенный на рнс. 3. В бункер Б навалом закладывается большое число деталей, откуда они должны по одной в ориентированном положении поступать на загрузочное устройство ЗУ, которое передает нх э магазин или накопитель Н. Накопитель имеет определенную вместимость. Если он заполнен, то новых деталей больше не принимает. Детали поступают в карманы загрузочного устройства только при условии, что они получили необходимую ориентировну.

Может случиться, что в тот момент, когда карман проходит под выходом из бункера, деталь не подается, так как она приняла неудачное положение. В этом случае карман придет к накопителю пустым. Детали в бункере путем систематических встряхиваний меняют ориентировку, н к моменту подхода следующего кармана деталь может принять необходимое положение и выйти иа бункера. Можно считать, что имеется определенная вероятность р того, что карман, проходящий под бункером, будет заполнен деталью.

Спрашивается, какой вместимости необходимо сделать накопитель, чтобы станок с достаточно большой вероятностью без перерывов снабжался деталями? э зл. Нксколько пгиыкэов Мы столкнулись с типичной задачей теории массового обслуживания, рассмотренной нами в других предпосылках в предыдущей главе: на т приборов (мест) поступает поток требований. Если требование поступает в момент, когда хотя бы один из приборов свободен, то оно немедленно начинает обслуживаться. Если же все приборы заняты обслуживанием, то вновь поступающее требование получает отказ.

Вероятность отказа при определенных условиях, которым удовлетворяют входящий поток требований и процесс обслуживания, была найдена Зрлангом. В данном случае под обслуживающим прибором мы должны понимать место в накопителе. Если накопитель не заполнен, то деталь, прибывшая в карман заполнителя, поступает в накопитель. Если же накопитель заполнен, то вновь прибывшая деталь получает отказ и остается в кармане заполнителя.

Сейчас для пас особый интерес представляет то, что детали поступают к накопителю в случайном порядке, но закономерность их отлична от простейшего потока. Карманы загрузочного устройства в определенные моменты подходят к бункеру и при каждом подходе с вероятностью р могут получить деталь, если предыдущий карман ушел пустым или же был заполнен при подходе.

На эту простую закономерность, однако, накладывается еще то обстоятельство, что в карманах загрузочного устройства могут оставаться детали, которые не были своевременно переданы в накопитель, поскольку он был занят. Это создает после- действие прошлого. 3.

Регулярный поток требований. Зачастую приходится иметь дело с входящим потоком требований иного типа: требования на обслуживание поступают через равные промежутки времени. По этому принципу посылаются сигналы радиолокаторов. Такие потоки требований называются регрлярнььми, Предположим, что требования поступают в моменты О, Ь„ 2Ь, ..., а время обслуживания распределено по показательному закону с параметром д. Предположим далее, что требование теряется, если оно застает прибор в состоянии занятости.

Если в некоторый момент й требование, поступившее в систему, начало обслуживаться, то с вероятностью 1 — е ~ его обслуживание будет закончено к моменту (~+1)Ь и, следовательно, с этой .вероятностью начнется обслуживание требования, поступившего в момент (~+1)Ь, В рассматриваемом примере вероятность освобождения прибора не зависит от момента начала обслуживания. Возможен другой случай, когда в момент тЬ продолжается обслуживание ранее поступившего требования. На основании хорошо известного свойства показательного распределения вероятность того, что обслуживание этого требования не будет закончено к моменту (~+1)Ь, также равна е ~.

Таким образом, вероятность потери требования при всех условиях оказывается равной е "". Пусть в промежутке времени длительности 8 произошло п по- бе 84 ГЛ, 2. ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕЫОВАЫПН явлений требований. Согласно известным формулам Бернулли вероятность того, что за этот срок произойдет лз потерь, равна Р (2) Ст -тнь (1 -тни)п-т Среднее число потерь за указанный срок равно Мх= пе ", где х означает истинное число потерянных требований, а дисперсия 0х = пе ""(1 — е нь).

Предположим теперь, что время, затрачиваемое на обслуживание, равыо постоянному числу т. Понятно, что если т(п, то потерь требований не будет; если же т~ й, то будут систематические потери. В предположении, что (й — 1)Ь< т< йй, обслуживаться будет только каждое й-е требование и, следовательно, из каждых т требований, поступивших в систему обслуживания, будут потеряны й — 1 и только одно обслужено. 4.

О потоках требований при обслуживании последователыю расположенными приборами. Рассмотрим теперь потоки требований, с которыми приходится встречаться во многих реальных задачах, ограничиваясь при этом лишь общими соображениями. Предположим, что обслуживание организовано таким образом: требование, эаставшее занятым первый по порядку прибор, поступает на второй прибор; если второй прибор также занят, то оыо переходит к следующему по порядку прибору. Если все приборы заняты, то оыо теряется. Простейший поток, поступающий на первый прибор, этим прибором обслуживается не полностью.