Дульнев Г.Н., Парфенов В.Г., Сигалов А.В. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена (Дульнев Г.Н., Парфенов В.Г., Сигалов А.В. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена.djvu), страница 15

Распределение объемной плотности мощности о„(х) задается с помощью подпрограммы-функции с именем (;цГ(Х). для примера в программе задана следующая функция: д, (х) = д„, ехр [ — (Зх/!)'!. Вообще говоря, число членов ряда А/ можно выбирать в програм. ме автоматически, оценивая величины слагаемых. В этом случае ока. жется, что для малых моментов времени (при числе Ро( 0,05) для достижения погрешности порядка единиц процентов понадобится несколько десятков членов ряда, а при Го ) 0,5 будет достаточно нескольких слагаемых. В данной учебной программе для упрощения логики число А/ фиксировано в исходных данных и должно подбираться путем пробных расчетов, что весьма часто и делают на практине.

Для определения собственных чисел р„используется по,п~[юграмма КОРЬ[1 из 32.2, а для вычисления интегралов Ж'„— подпрограмма 51МР5 из 3 2.3. Так как суммирование членов ряда требуется выполнять для каждого х, и т,, то чтобы сократить затраты машинного времени, целесообразно предварительно вычислить все комплексы, зависящие от собственных чисел р„, но не зависящие от зб и т,, и записать их в соответствующие массивы длиной А/. При числе А! порядка нескольких десятков это не потребует ощутимых затрат памяти, но в дальнейшем сократит машинное время при вычислении о (хпт!) по формуле (2.13). В случае двойных и тем более тройных рядов данная рекомендация уже становится проблематичной. В рассматриваемой программе до суммирования ряда вычисляют следующие массивы: А (٠— собственные числа р,; В1 (И) и В2 (Х) — комплексы в решениях (т, (х, т) и О, (х, т): до !япил !, в"а !' п~!!/ !!' хи~[[/ [!' При переборе моментов времени (тз) .з, и пространственных точек (х,),.', во внешнем цикле (операторы 50 — 65) выбирают моменты времени.

При этом для каждого т; величины ехр ( — р'„'Ро,) записывают в рабочий массив С длиной И н благодаря этому в цикле по х, (операторы 57 — 61) повторно не вычисляют. Таким образом, при вычислении температур б (хо т,) путем суммирования ряда рассчитывают выражения: д(х„т ) =: ~ч!', (Ь,„с„(т/)+Ь,„[1 — с„(т!))) соз(р„х;/!). Описание входных и выходных параметров программы дано в комментариях к тексту. 68 ГЛАВА КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Применение вычислительной техники н численных методов значительно расширяет классы исследуемых полевых задач теплообмена, позволяя получать приближенные решения многомерных, нелинейных, нестационарных задач, для которых использование точных и приближенных аналитических методов не представляется возможным.

При выборе математических моделей, описывающих процессы тепло- обмена в реальных объектах, границы их допустимой сложности в настоящее время часто определяются не столько возможностями численных методов и ресурсами ЭВМ, сколько недостатком достоверной входной информации для этих моделей. При определении различных пространственно-временных полей необходимо находить решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных в заданных областях изменения пространственных переменных и временных интервалах.

Отличительной особенностью применения численных методов является дискретизация пространственной и временной областей на первом же этапе решения задачи. При дискретизации выбираются узловые точки в пространственной и временной областях. На втором этапе составляется система алгебраических уравнений относительно значений искомых функций в этих узловых точках. На третьем — проводится решение системы и находятся значения исследуемых величин в узловых точках.

Отметим, что дискретизация области часто делается и при расчете на основе аналитических решений, однако в этих случаях она проводится на заключительных этапах, реализуемых уже после получения аналитического решения. Существуют два основных численных метода решения уравнений в частных производных: метод конечных разностей и метод конечных элементов.

Они отличаются с«собами получения системы уравнений для значений искомых функций в узловых точках. Метод конечных разностей базируется непосредственно на дифференциальном уравнении и граничных условиях, а метод конечных элементов— на эквивалентной вариационной постановке задачи. В данном разделе сначала коротко рассмотрим основные понятия теории численных методов, а затем более подробно остановимся на применении конечно-разностных схем для решения уравнений теплопроводности. Метод конечных элементов будет изложен в следующей главе.

$ зл. ОснОВные пОнятия теОРии РдзнОстных схем Теория численных методов решения уравнений в частных производных представляет собой весьма обширный и достаточно сложный раздел математики, называемый теорией разностных схем, с которым можно познакомиться, например, по книгам [4, !4, 24, 26). В данном учебном пособии основное внимание уделяется практическим вопросам построения и реализации на ЭВМ различных численных методик, а не их теоретическому исследованию и обоснованию. Как правило, будем ограничиваться лишь объяснением основных понятий, которые понадобятся в дальнейшем, причем некоторые вопросы рассмотрим не вполне строго с позиции математики. Разностная схема и разностное решение. Основные понятия теории разностных схем разберем на примере одномерного нестационарного уравнения теплопроводности для пластины с внутренним источником теплоты ср — =) — +д„, 0<х<1, 0<т<т,„.

(3.1) дТ доТ дт дхо На границах пластины заданы граничные условия третьего рода дТ .+ й — + ссо ~Т1 =Во,ь дк 1о=о, о (3.2) Для упрощения будем считать пространственное и временное разбиения равномерными с шагами И по координате х и Лт по времени: х„=(н — 1)й, в= 0(М вЂ” 1), я=1, ..., Ж; тх=)бт, Лт= = ты,„!,l, 1 = О, 1, ..., /.

ТО а начальное условие имеет вид Т(х, т)! =о=-То(х). (3.3) Искомой в задаче (3.1) †(3.3) является функция Т (х, т), заданная в непрерывной области оо == (О < х < 1) х(0 < т < т,„). При использовании численных методов ставится более скромная задача. В пространственной области выбирается некоторое конечное число значений координаты х„х„..., хн (узлы пространственной сетки), для временной переменной также выбирается конечное число значений т,, т,, ..., тх (узлов временной сетки).

Цель — определение значений температуры Т~„' в узлах пространственной сетки х„ в моменты времени т;: Т'„— — Т(х„, т), н.=1,, Ф; 1=0, ...„,I, (ЗА) т. е. находятся значения искомой функции в дискретной области Йо о, (рис. 3.1): Йо,д, = (х„..., хн)Х(то, ..., те). цо получить лишь ириближенньсе значения температуры, которые и обозначены через ис': ис' Ф Т г С другой стороны, поскольку 67 и у; малы, то можно надеяться, что ис, будут не слишком сильно отличаться от Тс,.

Вопрос об обоснован ности этих надежд мы будем обсуждать ниже, а сейчас продолжим составление уравнений. Уравнения (3.! 1) можно записать для всех внутренних пространственных узлов (и =- 2, ..., ДС вЂ” 1). Уравнения для исс' и ис', получим из граничных условий (3.2). Простейший способ построения уравнений для граничных узлов состоит в замене производных в (3.2) разностными отношениями дТ с т„— тсс дг тссс — Т' дх к=« Й дх !х=.. с Ь где хс' = О (й), хсс = О (Й). Подставляя (3.12) в (3.2) и пренебрегая малыми величинами нс и хс, приходим к уравнениям для граничных узлов: И вЂ” И с / с «1 и — ис хс хс — 1 — ) +а«и( =ц., --,'-ас ис« --с)с.

(3.13) Ь а Наконец, для определения значений Т„'в начальный момент времени специальных уравнений составлять не надо, так как они, естественно, находятся из начального условия (3.3): Т, '= — Т,(х„), и поэтому и„'= Т„(х„), л =1,..., йс, т. е. Т„'определяем точно. Теперь выпишем всю систему уравнений для ис' и разберемся в ее структуре: при 1=-О и„" — Т«(х„), и =1,..., Ь (3. 14) при ! =- 1, 2, ...,,/. )с, (ис — ис)/)с -С- а«ис =- с)„(уравнение при и = !); = — (и„'+с — 2и«сс,', с)+ ~", п=2,...,.ст' — 1; (3,15) дт Сс«ср й (и' — иис с)сй + а,и', ==- с)с (УРавиеиие пРи л =- ссс). Для наглядности будем отмечать узлы, значения ис в которых определяются из системы (3.14) — (3.15), на пространственно-временной сетке (рис.

3.2). В начальный момент времени т, = О (нижний горизонтальный ряд) все и„' вычисляются по начальному условию. см, (3.14). В систему уравнений для следующего момента времени (часто говорят «для следующего временного слоя») т, = сзт входят только неизвестные и,' для этого момента времени, обозначенные на рис. 3.2 символом ««х, и шачения и,", лля предыдущего момента времени. Отмеченная особенношь справедлива для любого последующего 73 временного слоя. Поэтому после определения и„' из начального условия надо решить систему (3.15) при 1' = ! и найти все и„' (н = 1, ... ..., дГ) на первом шаге по времени.

далее, зная и„', решить систему (3.15) при 1' = 2 и найти неизвестные и„' на втором шаге по времени и т. д. Таким образом приближенные значения температур ит определяются последовательно по временным шагам. Теперь введем терминологию, используемую в численных методах. Дискретное множество (х„)„'~, называется пространственной сеткой, дискретное множество (тг).'а — временной сеткой, дискретйое множество (область) Я„а,— пространственно-временной сеткой. Совокупность значений Т~ = = Т (х„, тг) в узлах пространствен- ° г точной функцией точного решения.

г, Совокупность приближенных значев д х кв х„;-хв г й ний ит называется сеточной функ- цией розностного решения или Рис. зд просто разнастным решением. Раз- личие между Т~' и и~ называется погрешностью разиастноео (численного) решения. Эту погрешность будем обозначать через за= Та — иа. Система алгебраических уравнений (3.14), (3. 15), соответствующая исходной дифференциальной задаче (3.1) — (3.3), называется разиастиой схемой.

Из изложенного ясно, что при решении дифференциальных уравнений численными методами можно выделить следующие этапы: 1) замена исходной области непрерывного изменения переменных пространственно-временной сеткой; 2) построение разиостнай схемы; 3) решение системы разностных уравнений. Сходимасть, аппроксимация и устойчивость. Основным требованием к разностной схеме является стремление сеточная функции разностного ренюния иl к сеточной функции точного решения Т~ прн стремлении к нулю шагов по пространственной и временной координатам.