История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004) (История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004).djvu), страница 5

В 10-й книге дана геометрическая классификация квадратичных и биквадратнчных иррациональностей, т. е. чисел вида ь/а+ ъ~Ь. В последних трех книгах излагается геометрия в пространстве. Изложение завершается изучением правильных многогранников: тетраэдра(4 грани), куба (6), октаэдра (8), додэкаэдра (12) и нкосаздра (20). Доказывается, что их только пять. Они получили название платоновых тел и имели основополагающее значение в космологии школы Платона. Таким образом, в "Началах" систематизированы в строго изложены результаты, полученные математикой к ГП веку до н. э., включающие три важнейших открытия математики древности: теэрню отношений Евдокса, теорию иррациональных Теэтета и теорию пяти правильных тел. Остановимся специально на аксиоматике "Начал".

Греки уже владели несколькими явными и несомненными истинами окружающего мира, такими как: две точки определяют прямую, прямую можно продолжить неограниченно в обе стороны, прямые углы равны, если к равным прибавить равнью, получим снова равные. Эти аксиомы вошли в число аксиом и постулатов "Начал", нз которых Евклид вывел около 500 теорем.

Особое место занимает аксиома о параллельных, согласно которой через точку вне заданной прямой можно провести одну и только одну прямую, параллельную ей. Эта аксиома не поддастся проверке опытом. Многие ученые делали попытку доказать ее как теорему, исходя из остальных девяти аксиом Евклида, но безуспешно. Лишь в Х1Х веке это утверждение было окончательно признано аксиомой.

А начему нв отвязаться ат этой ахсномы н нв заменять зв другой 7 Наврныар, такай: "дяя заданных прямой ! н точнн Р, нв лежащей на 1, существует множество прямых, прахнцящях через Р н лежащих в няасхастн Р н 1, которые нв пересекаются с 1". По этому пути независимо пощян магенатннн Х1Х вена Гаусс, Н. И. Лабачавсхнй н Вояьяй, развнвая геометрию яа основе новой аксяоыатнхя. Гаусс ююнх резуяьтатав нв нубянхавав, хотя н узнал о рабатах Лабачввсквга. Первые публикации Лабачевсного воявн- — 23— лись в 18ЗЗ г. Так была соддзна неевклидова геометрия. Факт существования альтернативной геометрии наряду с евклидовой произвел потрясающее впечатление и внес путанилу в умы математиков.

Многие теоремы противо. речили евклидовым теоремам. Оказалось, что сумма углов меньше 180' и зависит от его размеров. Известно, что Лобачевский пытался опытным путем показатсч что сумма углов треугольника меньше 180 . Он организовал измерение углов треугольника на звщдпом небе, однако точность измерений не позволила установить ззот факт. Ревизию пятой аксиомм Евклида прщолжил Римаи, который отказался от аксиомы о бесконечности прямой линии. Работы Римана привели к созданию новой неевклидовой, так называемой римановой геометрии, развитие которой в Х1Х веке стимулировалось разработкой общей теории относительности. 4.

Другим выдающимся математиком эпохи эллинизма и всего древнего мира был Архимед (287-212 г. до н. э.). Он родился и жил в Сиракузах (Сицилия) и был советником царя. Некоторое время работал в Алексагцгрии. Когда в 212 г. до и. э. римляне осадили Сиракузы, Архимед был в числе защитников города, руководил постройкой оборонительных сооружений и погиб при взятии города римлинами. Нас интересует Архимед пренгде всего как математик. Однако нельзя не отметить разносторонность ега таланта. Архимед был выдающимся инженером и механиком. Ему принадлежат изобретения винтового двигателя, военных метательных машин, устройств для поднятия больших тяжестей и др. Он открыл закон гидростатики о потере веса телом, погруженным в жцдкоствч — известный из школьной физики закон Архимеда.

Творчество Архимеда-математика характеризуется алгоритмической направленностью, применением математических методов в механике и физике, использованием идей механики в математических разработках, совершенствованием техники вычислений, т. е. содержит основные черты математической науки, которую мы теперь называем прикладной математикой. Разработанные Архимедом новые математические методы, получившие в литературе названия метода интегральных сумм и дифференциального метода, оказали несомненное влияние на последующее развитие теории математики. Его математические работы всегда отличаются строгостью доказательств.

Приведем вначале некоторые результаты Архимеда вычислительною характера. В работе "Измерение круга" он для вычисления площади круга использовал вписанные и описанные правильные многоугольники с 96-ью сторонами и впервые полу- чил двустороннюю оценку для числа гг: 10 3.1409 — 3 — ( гг ( 3- — 3.1429. Т1 Т Вызывает удивление и восхищение ега работа по исчислению песчинок. В ней он строит систему чисел, эффективно продолжаемую сколь угодно далеко. Она построена по десятичному принципу: единицы, десятки, сотни, тысячи, десятки тьюяч— мириады (101).

Мириада рассматривается как основа счета до числа мириады мириад (108). Числа от 1 до 108 образуют первую октаду. Далее следует вторая октеда (10 — 108'з), третья (108'8-108 з) и т. д. до числа 108'18, замыкающего первый период. Оно является исходной единицей второю периода. Далее следуют единицы чисел третьего периода 10 ', четвертого 2-8 10 10ч 8'го и т. д. С помощью этой системы Архимед определяет число песчигюк, которыми можно было бы заполнить Вселенную. Прн этом он использовал гелиоцентрические представления Аристарха (310 — 230 г. до н. э.) о Вселенной как о сфере неподвижных звезд с центром в Солнце, вокруг которого движется Земля.

Для оценки радиуса сферы Архимед использовал имеющиеся астрономические данные. Принятый им радиус сопоставим с расстоянием до ближайшей к Земле звезды Сириус. Размер песчинки принимается равным 0.0001 слг. При подсчетах Архимед получил, что искомое число песчинок не превышает 10 еэ О механических аналогиях, которыми пользовался Архимед, мир узнал совсем недавно, когда в 1906 г. быдо обнаружено сочинение Архимеда "Письмо к Эратосфену". 11оясним его на примере вычисления объема шара. Одновременно с шаром построим конус и цилиндр, радиус основания и высота которых равны диаметру шара. Они изображены на рис. 3.2 в меридианальной плоскости.

Картина имеет осевую симметрию с осью ВТ. Проведем плоскость МА1, перпендикулярную оси. Имеем АКз = ОКз + ОАт = ОК + 01 ~. Так как АКз = АВ ОА, получим ОКт+ Оз.т = АВ ° ОА. Домножив па лАВ получаем (ггАВ )ОА = (ггОК )АВ+ (пОЬ~)АВ, — 24— — 25— гг-Г откуда Рис: 3.3 Рис. 3.2 — 26— где выражения в скобках суть площади сечений плоскостью МФ цилиндра, шара и конуса (АВ = АТ, рис. 3.2). Архимед дает толкование этому ра~нству, основываясь на правиле рычага или двуплечных весов с опорой в точке А: элемент цилиндра, закрепленный в О, уравновешиваегси элементами шара и конуса, закрепленными в Т. Суммируя все элементы, получаем соотношение дпя объемов шара Уы конуса Уз и цилиндра Узг Уз АС =- (Уг + Уз)АТ = 2(Уг + Уз) АС, т.

е. Уг = Уз/2 — Уз. Объемы конуса и цилиндра связаны соотношением Уз = Уз/3, поэтому Уг = 1з/6 = 4пйз/3. Приведенные рассуждения не являются строгими, но у Архимеда это промежуточный этап, после которого он, применяя метод исчерпывания, строго доказывает формулу для объема шара. Метод механической аналогии был применен Архимедом и для вычисления площади параболического сегмента (рис. З.З). Оп получил формулу Я = 4Яг/3, где Яг — площадь треугольника АВС, вписанного в параболу; касательная к параболе в В параллельна АС.

Это удивительный результат, полученный без средств интегрального исчисления. Важным вкладом в математику была разработка Архимедом метода интегральных сумм для вычисления площадей и объемов, который оказал заметное влияние на дальнейшее раз- питие математики.

Мы проиллюстрируем его на примере вычисления объема эллипсоида вращения с полускями а и Ь. Рассмотрим половину эллип- С саида. Разделим Ь на и рав- Т ных частей и построим описанные и вписанные цилиндры с г 1 СхИ/1 высотой Л = Ь/и, как показа- но на рис. 3.4.

Суммы объемов 1 этих цилиндров обозначим У „, Л В У „. Очевидно, их разность рвл1 на обьему цилиндра АВВгАг, т. е. величине па Ь/и, и может Я 0, (7 т Д Т. быть сделана сколь угодно ма- и-1 лой соответствующим выбором Рис. 3.4 и. Для У„имеем У„= ггазЛ+их Л+ ° ° +их„гЛ = пЛ| хгз„хо = а. г о=о хг з аг Ток как — + — = 1 то хг = — (Ьз — Лз), аз Ьг ' Ьз аз 2 хз = — (Ьз — (2Л)з), ..., х„г = — (Ь' — ((и — 1)Л)з), ° г-1 У„' = ~~г пЛхь = пЛ вЂ” ~пЬ вЂ” Л~~ко/), Ьз~ о=о о=1 т. е. У„выражается через 2 лзг где Ь целое. Архимедполучает пз о (н .~.

1)з оценку — < 2 Ьз < Отсюда, так как пЛ = Ь, имеем 3, 3 Уо, > и — Л ~пЬ вЂ” Л вЂ” ) = и — ~Ь вЂ” — /г = -па Ь. Аналогично показываетсЯ, что У,п < 2пазЬ/3. Но так как У „— У,„можно сделать, выбрав и, каким угодно малым, то объем сегмента У = 2пазЬ/3, т. е. равен удвоенному объему конуса с теми же основанием и высотой, что и сегмент. Подчеркнем, что подход Архимеда можно оценивать как предшественника метода определенного интегрирования, а ~'„, г' „— верхней и нижней сумм Дарбу.

Однако до формирования понятий предела, интеграла, бесконечных сумм и т. п. было еще далеко. Интегральный метод Архимеда индивидуален для каждой конкретной задачи. В творчестве Архимеда есть и элементы дифференцирования. Они просматриваются в его мегоде определения касательной к спиральной линии — спирали Архимеда — с уравнением в полярных координатах р = ау. Архимед, по сути, неявно ввццит дифференциальный треугольник. Введение его в математику в явном виде принадлежит Паскалю и Барроу (треугольник Паскали). Творчество Архимеда уникально и оказало огромное влияние на развитие математики.