История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004) (История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004).djvu), страница 2

Возникновение первых математических понятий. Страны Востока. Египет 1. Фундаментальный перелом в истории человечества произошел примерно 10 тысяч лет назад в связи с переходом к земледелию. В течение У, 1У и 1П тысячелетий до н. э. складывались древние цивилизации в долинах рек Нил, Тигр, Евфрат, Инд, Ганг, Хуанхе, Янцзы. Постепенно возникло земледелие с регулируемым водоснабжением. Повысился уровень жизни, стали возникать города, развиваться ремесла, началась торговля.

Восточная математика вснникла как прикладная наука, имевшая целью обеспечить календарные расчеты„распределение урожая, сбор налогов, обмер земельных участков. Постепенно выкристаллизовывалось понятие числа, возникли методы измерения длин, площадей и объемов, До наших дней дошло мало источников о восточной математике.

Они относятся к народам Двуречья (Тигр-Евфрат) и Египта и сохранились на вавилонских глиняных табличках и египетских долговечных папирусах. Что касается Китая и Индии, то в этих странах применялся менее надежный материал — бумага древесной коры и бамбука — и древние рукописи со временем были утрачены. 2. О развитии математики в древнем Египте и Вавилоне наука располагает более достоверными источниками Плодородная почва в долине Нила, регулярные разливы, прекрасный климат создали благоприятные условия для земледелия, а запасы медной руды на Синайском полуострове — для развития ремесел.

Возникла высокоорганизованная человеческая цивилизация. О высоком уровне египтян говорят пирамиды, каналы, водохранилища. Строительство пирамид относится к периоду 3600-.2700 лет до н. э. Поражает пирамида Хеопса — одно из семи чудес света. Ее высота около 150 м, сторона основания 230 м, объем каменных глыб — 2.5 млн. мз. 100 тысяч рабочих строили пирамиду в течении 30 лет.

Имеется два основных источника о состоянии математики в древнем Египте: Лондонский папирус, содержащий 84 задачи, и Москонский папирус с 25 задачами. Лондонский папирус, известный еще как папирус Ринда (по имени открывшего его ученого), был написан около 1650 г. до н. э. н хранится в Британском музее. Московский папирус написан примерно двумя столетиями раньше. Он был расшифрован в 30-е годы ХХ века русским академиком В.

В. Струве и хранится в Музее изобразительных искусств им. А. С. Пушкина. Изложенная в папирусах математика основана на десятичной иероглифической системе. Каждая десятичная еди1пща более высокого разряда обозначалась своим иероглифом Нам известна римская система, основанная на том же принципе. Здесь узловые числа суть 1, У, Х, Ь, С, 1)„М (1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000). Остальные числа образуются приписыванием с той или другой стороны от узлового числа других узловых чисел и повторением нх На этой системе египтянал|и построена довольно сложная арифметика. Умножение здесь сводится к повторным сложениям.

Замечательной чертой являются действия с дробями. Все дроби сводятся к суммам основных дробей 1/и и некоторых индивидуальных, например, 2/3, 3/4. Это делается на основе таблиц разложения дробей вида 2/и (и = 3-:-101). Египтяне знали площадь треугольника — половина произведения основания на высоту, объем параллелепипеда, кругового цилиндра. Замечательный результат — объем усеченной пирамиды с квадратным основанием Ъ; = (аз+ аЬ+ Ьт)й/3, где а, Ь вЂ” длины сторон квадратов, Ь вЂ” высота.

Площадь круга диаметра И вычислялась как Б = (6И/9)э, что дает для я значение 256/61 =- 3.1605.... 3. Примерно в то же время, что и в Египте, возникает второй очаг цивилизации в долине рек Тигр и Евфрат. Среднюю и южную часть равнины называли Месопотамией (Межлуречье)— это примерно современный Ирак. Южнее современного Багдада приблизительно с ХХ века до У1 века до н. э.

существовало рабовладельческое государство Вавилония со столицей Вавилон вснле Багдада. Математика в древнем Вавилоне была на более высоком уровне чем в Египте. Вавилоняне имели более прогрессивную позиционную 60-ричную систему счисления. Такая система имеет огромное преимущество при вычислениях по сравнению г. римскими цифрами.

Однако эга система не имела нуля, что приводило к некоторой неопределенности, и точное истолкование записи надо было извлекать из контекста. Шестндесятиричная система и позиционность оказались достоянием человечества. Современное деление часа на 60 минут и 3600 секунд восходит к Вавилону. Это же относится к делению окружности на 360, градуса на 60 минут, минуты на 60 секунд. В Вавилоне владели техникой решения квадратных уравнений, тогда как египтянам были известны лишь линейные. Решали также задачи, сводящиеся к кубическим и биквадратным уравнениям. Такие задачи они формулировали только для определенных числовых значений коэффициентов. Ван дер Варден в книге "Пробуждакяцаяся наука" указывает, что вавилоняне умели решать следующие 10 видов уравнений и систем: х =-а, х +ах=Ь, х =а, хэ(х+1)=а, ах = Ь, ( х+у=а, хэ+ 1гэ = Ь х+д=а, хй=ь, Кроме того, они умели находить сумму арифметической прогрессии и суммы других видов, например, ) 2".

э=о Ь2 ь=-1 — 10— Геометрические знания были выше египетских, уже встречаются некоторые тригонометрические соотношения. Площадь круга вычислялась по формуле 5 = сэ/12, где с -- длина окружности; отсюда л = 3. Есть основания полагать, что в Вавилоне была известна теорема Пифагора. 4. Самым ранним дошедшим до наших дней математическим сочинением Китая является "Математика в девяти книгах", которую некоторые ученые датируют вторым веком до н. э, Этот труд неоднократно дополнялся разными авторами и позднее в средние века стал основным учебным пособием по математике.

Каждая книга связана с определенной областью практической деятельности людей. Вот названия некоторых книг: "Измерение полей", "Оценка работ", "Пропорциональное распределение". Книги содержат некоторое число задач, ответы к ним н указания, как их решать. Многие задачи сводятся к линейным яли квадратным уравнениям с числовыми коэффициентами, а некоторые — к системам линейных уравнений, которые задаются матрицей числовых коэффициентов. Элементы матрицы могут быть отрицательными. Это, по-видимому, первое появление отрнпательных чисел в математике.

В Европе отрицательные гнсла вошли в математику лишь в Х ч'1 веке после работ Кардаво. При решении ряда задач используется теорема Пифагора. В задачах с окружностью принимается л = 3, хотя известно, что китайские математики в первые века и. э. уже умели более точно вычислять гг. Китайцы с древнейших времен использовали десятичную иероглифическую позиционную систему счисления без нуля. Тесные культурные и экономические связи Китая и Индии определили и общие черты в развитии математики обеих стран. Древних индийских математических текстов не сохранилось.

Разрозненные данные о состоянии математики были почерпнуты нз сохранившихся религиозных книг. Установлено, что в далекой древности в математике Индии использовалась десятичная непознционная система счисления. Особыми знаками обозначались единицы, десятки, сотни, тысячи (так называемые числа Брахми). Бесспорным считается факт индийского происхождения десятичной позиционной системы с нулем„которая используется в современной математике.

Изобретение ее относится к 500 г. до н. э. 5. В математических текстах папирусов Египта и глиняных табличках Вавилона, а также в китайских и индийских рукописях нет и намека на доказательства, нет и формул. При решении задач даются предписании: "делай то-то, делай так-то". Остается загадкой, как стала известна теорема Пифагора или формула для корней квадратного уравнения. Д. Я. Стройк иронизирует в своей книге "Краткий очерк истории математики": "Впечатление (неудовлетворенности) исчезает, когда мы уясняем себе, что большая часть математики, которой мы обучаем современных инженеров и техников, все еще н н строится по принципу делай то-то, делай так-то, без большого )1 стремления к строгости доказательств . В связи с понятием доказательства напомним шутливую историю, приведенную в книге Д.

Пойа "Математика и правдоподоб- — 11— ные рассуждения" о логике, математике, физике и инженере. "Взгляни на этого математика, — сказал логик. — Он замечает, что первые девяносто девять чисел меньше сотни, и отсюда, с помощью того, что он называет индукцией, заключает, что все числа меньше сатин". "Физик верит, -- сказал математик, — что 60 делится на все числа.

Он замечает, что 60 делится на 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Он проверяет несколько других чисел, например, 10, 20, 30, взятых, как он говорит, наугад. Так как 60 делится также н на них, то ов считает экспериментальные данные достаточными". "Да, но взгляни на инженера, --- возразил физик. —.- Инженер подозревает, что все нечетные числа простые. Во всяком случае, 1 можно рассматривать как простое число, доказывает он. Затем идут 3, 5, 7, все, несомненно, простые.