Леонов А.И., Васенев В.Н. Моделирование в радиолокации (1979), страница 10

При а=а! из формул (2.63), (2.54) следует оценка (2.53) а (а,) = — ~ ~ (х!). (2.59) !=! Из (2.57) — (2.59) следуют оценки прира!цения аа,=а(а) — а(а,) = — ~~~(х!) [ ' * — 1~, (2.60) ! 3 Х=! Ь,,=,' ~~(х,) [ "' ' "*) — 11. (2.61) ! ! В большинстве случаев оценки (2.60), (2.61) вычисляются существенно проще, чем оценка (2.38), поскольку основные затраты времени при моделировании связаны с вычислением значе;. ннй !(х!).

При расчете но формуле (2.38) зтн значении вычисля' ются двукратно, а при расчете яо (2.60), (2.61) — однократно. Расчет поправочных множителей как правило, нетрудоемок. Более того, формулы (2.60), (2.61) позволяют вычислить приращения при любом выборе параметров аь, ам, фактически выполняя моделирование при одном значеини аь в то время как оценки (2.38) требуют в этом случае М-иратного моделирования. Полагая в формулах (2.60). (261) а!=а, аз —— а+)Ъа!щ (где Лап;)=~~О, ..., О, Ьа!о), О, ..., О!!— вектор, соответствующий приращейню )ьй составлякпцей а) и переходя к пределу н выражении Ла!)Ьапп, получаем оценки производных — а'т= — ~~! ((х!) —, 1п))г(х!, а), (2.62) ю=! — а' = — ~ 1(х!) — 1пР(хь а). ()ценки (2.57) — (2.59) можно использовать также при определений отношения а(аз) )а(а!].

Анализ точности расчета изменений, основанного на оценках (2.60) — (2.63), может быть выполнен по ходу моделирования. Эмпирические дисперсии оценок (2.60) — (2.63) вычисляются при этом по общей формуле (2.12) с заменой у; соответственно на Пх) [ Ф("! ") — 11 1(х)[Р("'*) — 11 ~(х~) — 1п)г" (хо а) . д и т. д. Последовательная оценка изменений выполняется по ранее рассмотренной схеме (см. р,ис. 2.3). .Если лрн исследовании конкретной модели можно применить оба способа оценки изменений (т. е. если параметр а характеризует распределение возмущений й или может быть представлен в виде параметра некоторого искусственно формируемого распределении)„то на выбор между оценкой (2.38) и оценками, основанными на соотношениях (2.57), (2.58), влияют следующие об.- стоятельства. При исследовании сложных моделей трудоемкость испытания которых определяется расчетом значений Дх!), второй способ зкокомичней первого, если число вариантов моделей, соответствующих изменениям .параметра а, достаточно велико, Выбор способа определяется также видом функции Ц-).

В, частности, если 1 . если моделируемая система выполнила постав- 1(.)= ленную задачу, (2.64) О. в противном случае и,, следовательно, показатель а(а) имеет смысл вероятности выполнения задачи; оценки на основании формул (2.57), (2.68) оказываются более точными. Пусть, например, плотность верояккостей возмущения 4=к равна ) г (к — а)~1 )г(х, а)= — ехр~— )Чч а функция ((1) имеет вид !!ю=(,','),' (2.65) При а!=0 и малых аз>О дисперсия оценки приращения п(аз) — а(0) по формуле (2.60) равна сд')з х(азз/2Й) (1 — 1/п), в то времи как непосредственная оценка по формуле (2.38) с использованием реализапий х, и х!+аз прн оценке а(0) и а(аз) имеет дисперсию аи'! *л а /(У'$/2к).

Таким образом, для малых приращений оценка по формуле (2.60) имеет прнмепна в 1,17»а«меньшую дисперсию, чем оценка по формуле ( .36). Для гладких функций Щ) рекомендации могут оказаться пративоположиымн. В приведенном выше примере при [(Ц=Ьл оценка (2.60) дает дисперсию в 1514 раз большую, чем оценка (2.36). Заметим в заключение, что использование оценок (2.60)— (2.63) возможно и в том случае„когда вектор возмущений $ имеет случайную размерность.

Прн этом множители [Ю(хь а»)~йУ(х», а») — Ц, 1 *",-: -'~ ° =, а ') — 11, — 1пйу(х». а), 1пР(х,, а) вычисляются при той размерности вектора хь .которая факти- чески имела место на»-м прогоне модели. (Подробное обсужде- ние этой возможности см. в [20].) Повышение тачиостя статистических оценок. Изложенные мето- ды организации зависимых испытаний могут быть использованы для построения оценок абсолютных значений показателя. как пра- вила, более точных„чем сценки, рассмотренные ранее в этом па- раграфе. Ниже приводится несколько методов повышения точ- ности. г»спальзоеание опорной мадвли.

Пусть Я, и»'»» — показатели качества «основной» испытываемой модели 1»=1»(»а) и специально сконструированной «опорной» модели 1», =»»(а»). Модель 1», допускает аналитическое исследование н точное вычисление пока- зателя»;»». Тогда, оценив разность Ь»',»=Я» — ь)» с использованием зависи- мых испытаний, можно получить оценку показателя Д» в виде ч»» Я»+Щ (2.66) более точную, чем непосредственная оценка»,»г, если коварнация В(Чь Щ оценок 4» и (»» превышает аа[Щ2 [см. (2.36)].

При со- поставлении оценок Ч«з и Дз следует учитывать, что машинное вре- мя, затрачиваемое на получение оценки Ч*з црн заданном объе»»»е выборки»У, превышает время, необходимое для получения «авто- номной» оценки»»»к поскольку при этом необходимо исследовать два варианта модели [110]. Форсирование случайна»х воздействий. Этот способ повышения точности оценивании основан на использовании соотношений (2.57), (2.66): оценки, полученные цо этим формулам, соответст- вующие а=аз ио выполненные при а=а» по реализациям х» с плотностью $Г(х, тю») или распределением Р(х, а»), часто более точны, чем непосредственная оценка а (а,)= — Я [(х»)„ (2.67) »=» выполненная по реализациям х» с плотностью 1г"(х, аа) или рас. пределением Р(х, а«).

46 Ниже рассматриваются возможности применения этого подхода при оценке вероятности р=Р(А) редкого события А„например: ложной тревоги или пропуска цели, срыва автоматического сопровождения, отказа аппаратуры и т. п. В этом случае непосредственная оценка р вероятности р [см. (2.11)] имеет относительную среднеквадратнческую погрешность ° »г»»о=» 0:ю7нй (2.68) р =] 1 (х) 1г" (х, а) йх р = ~ [ (х) Р (х, а), (2.60) (2.70) где функция 1, если исследуемое событие А имело место для значе) (х)= ния х случайного вектора $„ 0 в противном случае (эта функция вычисляется прн машинном моделировании н является индикатором множества Х значений х, соответствующих появлению события А, н не зависящая от а). При форсировании воздействий осуществляется переход от распределения с параметром а к распределению с параметром а .

Параметры а и а* могут быть пелочисленнымн и характеризовать различные виды распределений. Таким образом, формально допускается переход к любому распределению, не изменяющему множества значений х, на котором функции 1«(х, а) нли Р(х, а) обращаются в нуль. [см. (2.16)], растущую с уменьшением р. Так, оценка вероятности р=10 — ' с погрешностью 10»»»» требует проведения»7=10' испытаний, что практически невыполнимо даже для самых простых моделей.

Описываемый ниже метод (см. также [20, 113]) позволяет в ряде случаев достичь требуемой точности при су»цественно меньшем числе испытаний. Идея метода состоит в переходе от модели с'малой вероятностью р=р(А) исследуемого события А к модели с большей вероятностью этого события.

Переход осуществляется с помощью «форсирования» имитируемых в модели случайных воздействий посредством контролируемого изменения соответствующих раснределеннй вероятностей. Оценка вероятности в преобразованной модели, имеющая меньшую относительную погрешность, чем оценка исходной, малой вероятности, пересчитывается в дальнейшем к исходным условиям. Обозначим через $=[й», ...„4 1~ вектор, представляющий случайные воздействия на входе модели и имеющий плотность вероятностей 1г" (х, а) (для непрерывных воздействий) илн дифференциальное распределение Р(х, а) (для дискретных воздействий)„н запишем искомую вероятность р в форме С учетом введенных обозначений и формул (2.57), (2.58) мож- .".

но записать несмещенные оценки вероятности р в виде и (2.7!) Г 1 Р= — У 7'(хчг) р (,', (2- 2) где х»ь г=1, 2, ..., Л' — реализации случайного вектора й (форсированного ноздействия), разыгранного в модели в соответствия с измеяеиным распределением вероятностей ((г(х, а») или Р(х, а*). Эффективность оценок (2.71), (2.72) зависит от выбора а". Вообще говоря,выполнив условия 1(Х)Ю(х, а)=Р((г(х, а ). (2.73) 1(х)Р(х, а)=РР(х, а), (2.74):: можно обратить дисперсии.этих оценок в нуль. Достичь этого результата на практике обычно не удается; функция у(х) задаваемая алгоритом моделирования, оказывается слишком сложной и не допускает возможности простыми средствами организовать имитацию реализаций й». Более реальны решения, основанные на эмпирическом поиске оптимального значения а», т.

е. на адаптации оценок (2.71), (2.72) илн на использовании упрощенной модели (аппроксимации функции 7(х)) для приближенного определенна оптимальных распределений )1У[х, а») или Р(х, а»). Однако эти решения влекут за собой в болыпинстве случаев значительные отступления от первоначальной схемы моделирования, нежелательные при прямом моделировании системы.

Поэтому в дальнейшем под форсированием будем понимать з изменение численных значений 'параметров распределений, входящих в исходную модель, но не смену типа распределения. Такие изменения, физически интерпретируемые как увеличение уровня сигнала, интенсивности шумов и т. д., ие меняют структуру имитирующей части модели, ио ограничивают, вообще говоря, возможности оптимизации оценок (2.71), (2.72). На практике эти ограничения не позволяют обычно уменьшить дисперсию оценок (2.71), (2.72) до нуля Однако во многих случая» эти оценки удается сделать весьма эффективными.