Горнец Н.Н., Рощин А.Г. Организация ЭВМ и систем (2006), страница 6

Код Д5 не является самодополняющимся. 2.2. Формы представления чисел В общем случае числа имеют знак (плюс или минус). Кроме того, число может включать в себя целую и дробную части. Специальные формы представления чисел позволяют кодировать знаки чисел и указывать положение точки (запятой), разделяющей целую и дробную части числа. Для кодирования знака числа отводится специальный разряд, называемый знаковым. Под него обычно отводится старший разряд числа. Для положительных чисел в нем записывается цифра О, для отрицательных — 1. Для указания положения точки используют одну из двух форм: форму с фиксированной или форму с плавающей точкой.

Форма представления чисел с фиксированной точкой. Эта форма, называемая также естественной, предполагает, что все числа в компьютере могут быть только целыми или только дробными. В этом случае положение точки является стандартный для данного компьютера и не требует специального указания.

Эта форма является простой, но приводит к некоторому усложнению программирования. Если в компьютере для всех чисел положение точки зафиксировано справа от младшего цифрового разряда, то числа принимают только целые значения. На рис. 2.1 представлено (и + 1)-разрядное целое число.

Один разряд занимает знак, остальные п разрядов используются как цифровые. Веса цифровых разрядов показаны в верхней части ри- 2л-1 2и-2 2л-3 2' 2' 2' Знак пп!п2пз 3 2 ! О Рис. 2.!. Целое число в форме с фиксированной точкой сунка. В этом случае в компьютере могут быть представлены числа, модуль которых находится в диапазоне 20 < Щ < 2и-! При этом точность представления чисел равна единице, так как числа могут быть только целыми.

Если точка зафиксирована слева от старшего цифрового разряда, то все числа могут быть только дробными. Формат дробного числа с фиксированной точкой (ФТ) представлен на рис. 2.2. Дробные числа с ФТ, имеющие л цифровых разрядов, представляются с точностью 2 " (величина единицы младшего разряда дроби) в диапазоне 2-и < ~А~ < 1 — 2-л Напомним, что ФТ никак не представляется в компьютере, ее положение определяется однозначно принятой для данного компьютера формой чисел (целые или дробные).

В формате с ФТ могут представляться числа без знака. В этом случае все разряды являются цифровыми. В современных микропроцессорах используется представление данных в форме целых чисел с ФТ. Форма дробных чисел с ФТ применяется для представления мантиссы числа в форме с ПТ. Некоторые из целочисленных форматов микропроцессоров фирмы 1п(е1 представлены на рис. 2.3. Стандартными форматами являются байт, слово и двойное слово. При обработке мультимедийной информации используются не только отдельные целые числа, но и группы целых чисел, которые обрабатываются одновременно. При этом несколько малоразрядных чисел упаковываются в 64-разрядное слово.

Упакованными могут быть восемь байтов, четыре слова или два двойных слова. Форма представления чисел с плавающей точкой. Эта форма (нормальная или полулогарифмическая) позволяет представлять Знак 2 ' 2 2 2 3 2-(и-3) 2-(и-2) 2-(л-1) 2-л О ! 2 3 и-3 п-2 п-! и Рис.

2.2. Дробное число в форме с фиксированной точкой 25 Знак Знак 7 б О а Знак !5 14 51 ЗО 15 7 О Рис. 2.3. Целочисленные форматы микропроцессоров фирмы 1п!е1: а — байт (целое со знаком); б — слово (целое со знаком); в — двойное слово (целое со знаком); г — байт (целое без знака); д — слово (целое без знака); е— двойное слово (целое без знака) в компьютере любые (целые, дробные или смешанные) числа. Число в форме с ПТ записывается в виде двух частей: мантиссы и порядка. Мантисса включает в себя значащие разряды числа, а порядок указывает положение точки. При этом мантисса записывается как дробное число с ФТ, а порядок — как целое число с ФТ.

Знак мантиссы является знаком всего числа, а знак порядка определяет, содержит ли число целую часть. Значение числа с ПТ определяется следующим образом: Ае = тдл, т„= -0,123456, р„= +3; т„= -0,0123456, рл = + 4; т, = -0,00123456, рл = + 5 и т.д. При заданных значениях мантиссы и порядка для определения значения числа нужно точку (запятую) в мантиссе перенести на количество разрядов, равное величине порядка, вправо для поломсительных порядков и влево для отрицательных.

Например: тл = -0,87412456, р„= + 5 — з А = -87412,456; тв =+0,12437696, рв = -2 -е В =+ 0,0012437696. 26 где т — мантисса числа; д — основание системы счисления; р— порядок числа. Так, в десятичной системе счисления число Ам = -123,456 в форме с ПТ может быть записано следующим образом: Число с ПТ может быть нормализованным и ненормализованным, Число не нормализовано, если старшая цифра мантиссы равна нулю, т.е.

~т~ < 1/д. Нормализованное число с ПТ позволяет сохранить большее количество значащих цифр, поэтому в памяти числа хранятся в нормализованном виде. Нормализация выполняется путем сдвига мантиссы влево до тех пор, пока старший разряд мантиссы не станет равным единице. Так как значение мантиссы при этом увеличивается, для сохранения величины числа прн сдвиге на каждый разряд значение порядка уменьшается на единицу Нормализованное число с ПТ представляется с точностью 2 ", где л — разрядность мантиссы. Диапазон чисел с ПТ составляет: —.2 ~ ~ <~А~<(1 — 2")2~ 2 где Й вЂ” разрядность порядка. Для увеличения диапазона чисел с ПТ (за счет некоторого уменьшения точности) двоичная мантисса может рассматриваться как шестнадцатеричное число. В этом случае каждая двоичная тетрада представляет одну шестнадцатеричную цифру, поэтому нормализация будет нарушена лишь тогда, когда четыре старших разряда мантиссы будут равны нулю. Например, если старшие разряды мантиссы имеют вид О, 000101..., то мантисса считается нормализованной, так как тетрада 0001 представляет шестнадцатеричную цифру 1.

Появление незначащих нулей в мантиссе приводит к потере точности. Вместе с тем существенно увеличивается диапазон представления чисел: —.16 и '1<~А~< 1 16 4 16~ 16 Порядок числа может быть положительным или отрицательным. Для упрощения операций над порядками часто используют смещенный порядок путем увеличения действительного порядка на величину 2", где lс — число разрядов порядка. При этом смещенный порядок всегда является положительным числом и поэтому его знак не указывается. Пример формата и-разрядного числа с ПТ и смещенным порядком представлен на рис.

2.4. Для знака числа отводится старший разряд, к разрядов занимает смещенный Смещенный порядок Модуль мантиссы Знак 2 1 0 и-1и-2и-Зи-4 и-а и-Ь-1 и-Л-2 Рис. 2.4. Формат числа с плавающей точкой 27 Зн гз гг мю 11 разрядов 52 разряда Знак Смещенный порядок Мантисса 63 62 52 51 Рис. 2.5. Основные форматы чисел с плавающей точкой: а — одинарный; б — двойной порядок, а остальные л — /с- 1 выделяются под мантиссу. Диапазон и точность представляемых в форме с ПТ чисел зависят от формата.

Рекомендуемые стандартом основные форматы чисел с ПТ представлены на рис. 2.5. Одинарный формат занимает 32 разряда, двойной — 64. Обычно для повышения точности используют способ скрытой единицы. Суть способа заключается в том, что в нормализованном числе старший разряд мантиссы всегда равен единице, поэтому его можно не записывать, а подразумевать. Освободившийся разряд используется для записи дополнительного разряда мантиссы. Перед выполнением арифметических операций подразумеваемый разряд восстанавливается.

В одинарном формате под смещенный порядок отводится восемь разрядов, и под мантиссу — 24 (с учетом скрытой единицы). При этом диапазон представления чисел составляет: 10 и < !А~ < ~ 10"'. В двойном формате смещенный порядок занимает 11 раз- Зона Цифра Зона Цифра Зона Цифра Знак Цифра Зона 1 Зона 2 Зона 9 Зона 8 Минус 7 1111 0001 1111 0010 !111 !00! 1111 1000 110! 0111 Рис. 2.6. Зонный формат двончно-десятичных чисел: а — структура формата; 6 — пример записи числа -12987 Байт Байт ... Байт Байт цифра Цифра Цифра Цифра Цифра Цифра Цифра Зиак Байт Байт Байт Байт 0 2 3 7 4 6 5 Плаза 0000 0010 0011 0111 0100 0110 0101 1100 Рис, 2.7.

Упакованный формат двоично-лесятичных чисел: а — структура формата; б — пример записи числа +237465. рядов, мантисса — 53, а диапазон представления чисел составляет 1О 308 < 1А! < 1О+308. Как и целые числа, числа с ПТ могут быть записаны в упакованном формате. В микропроцессорах фирмы 1пге! четыре числа одинарной точности (по 32 разряда) упаковываются в группу длиной 128 разрядов. В такую же группу упаковываются два числа двойной точности (по 64 разряда). Форматы двоичио-десятичных чисел. Такие числа могут быть представлены в двух форматах: зонном и упакованном. В этих форматах каждая десятичная цифра и знак числа заменяются двоичной тетрадой в соответствии с используемым двоично-десятичным кодом. Количество цифр в числе может быть произвольным.

В зоилом формате под каждую десятичную цифру отводится байт (рис. 2.6). В старшей тетраде записывается код зоны (например, код 1111), а в младшей — код цифры. В младшем байте вместо кода зоны записывается знак числа. В упакованном формате байт содержит две цифры (рис. 2.7). Младшая тетрада последнего байта содержит знак числа. 2.3. Машинные коды Для упрощения арифметических операций числа записываются в специальной форме, называемой машинными кодами.