Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков (Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков.djvu), страница 8

е. Рх(Х) =Рх(Х) и Рх~(!.)=Рд(Х). Очевидно, что Р,(Х) = 0 при 1< а! и Рх(Х) = 1 при Х) а„. Оператор Рх(ь) называется спектральной функцией оператора А. Теперь нетрудно получить явный вид для функции распределения еы (Х), ы ~ М, ах (Х) = (Рд (Х) ! а) = Тг МРх (Х) = = Тг М ~' Ре — — ~' Тг М Р а~~х а~~а окончательно езА ( ') Е (Мх'! Ч~!)' (4) а ~х Напомним, что (М!р!,<р!))О. Мы видим, что вд(Х) — кусочно- постоянная функция, имеющая скачки при значениях Х, совпадающих с собственными числами, и непрерывная в этих точках справа.

График ее изображен на рис. 3, а, ае аз а~...а, реп Л Рис. 3. Из вида функции распределения следует, что отличной от нуля является вероятность получить значение наблюдаемой А, совпадающее только с одним из собственных чисел. Вероятность йг! при измерении получить значение а; равва величине скачка функции вз(Х) в этой точке Ч7! =(МВ, (р!). (б) Сумма Ж'ь как и следует ожидать, равна единице, так как л Х Цгс=тг М=1.

! ! Для чистого состояния а Р формула (5) принимает вяд йг!=~И, р!) р (6) Наконец, если система находится в состоянии Рт, т. е. в чис~l том состоянии, определяемом одним из собственных векторов наблюдаемой А, то по формуле (6) (Р! = б!! В таком чистом состоянии при измерении наблюдаемой А с достоверностью получится число а!. Пока мы предполагали, что оператор А имеет простой спектр. Обобщение полученных результатов на случай кратного спектра, когда собственному значению а; соответствует не.

сколько собственных векторов !р!!, !р!!з!, ..., ф'," труда не представляет. Достаточно заменить проекторы Ря на операторы Р!, ! проектирующие на собственные подпространства, соответствую. щие собственным значениям а! Р Ч = ~ (ф р. ) р . ь ! Тогда вероятность при измерении наблюдаемой А получить значение а! в общем случае определяется формулой Яг! = ~ (М!р!ы, ф!!"'), ь-1 а в случае чистого состояния йу =ХИф р'"!)~' Ф-1 (8) Заметим еще, что в состояниях, определяемых собственными векторами А, наблюдаемые А и ((А) одновременно имеют вполне определенные значения а, и ((а!) соответственно.

40 Теперь мы получили возможность показать, что обычное определение функции от оператора согласуется с данным в $ 4 понятием функции от наблюдаемой. Действительно, операторы А и ((А) имеют общую систему собственных векторов А!р!" = а !р',", ! ! ! 1(А)!р!и = ! (и!) р!!"!, а число ~,, (М!р! * !р! ) одновременно является вероятностью ! (и (ьх при измерении получить значение а, дла наблюдаемой А и г(а!) для наблюдаемой ЦА). Отсюда сразу следует, что ы~!ю(Е)= х(1 '(Е)).

Мы можем следующим образом подытожить результаты, которые связывают математический аппарат теории с ее физическим толкованием. !) Наблюдаемая А в состоянии в М имеет среднее значение (А ! в) = Тг МА и функцию распределения вл(Л)=Тг МРд(Л). Для чистого состояния М= Рв (!ф)|= ! (А !в)=(Аф, ф), вл (Л) = (Р А (Л) Ф ф). 2) Множество собственных значений наблюдаемой А совпадает с множеством возможных результатов измерения этой наблюдаемой. 3) Вероятность В'~ получить в результате измерения наблюдаемой А число, совпадающее с одним из ее собственных значений, вычисляется по формуле (7) в общем случае и по формуле (8) для чистых состояний.

4) Собственные векторы наблюдаемой А определяют чистые состояния, в которых наблюдаемая с достоверностью принимает значение, равное соответствующему собственному числу. Мы видим, что построенная модель удовлетворяет многим физическим требованиям к механике микромира, сформулированным в э 4. Она допускает существование неизмеримых одновременно наблюдаемых и объясняет соотношения неопределенности. В рамках этой модели естественно описываются наблюдаемые, имеющие дискретное множество значений. С другой стороны, мы видим и ограниченность такой модели.

Любая наблюдаемая не может иметь больше, чем л значений, где л — размерность пространства состояний С" и, следовательно, эта модель не позволяет описать наблюдаемые с непрерывным множеством значений. Поэтому трудно предположить, что такая модель может описывать реальные физические системы. Однако этн трудности не возникнут, если перейти к л = со н в качестве пространства состояний взять комплексное гильбертово пространство, а наблюдаемые считать самосопряженными операторами в этом пространстве.

Выбор пространств состояний для конкретных физических систем и правила построения наблюдаемых для них мы обсудим в $ !1, а пока продолжим изучение нашей конечномерной модели. Конечномерная модель удобна для нас еше тем, что мы не сталкиваемся с чисто математическими трудностями спектральной теории неограниченных самосопряженных операторов в гильбертовом прост- ранстве. Заметим, что основные положения этой теории были разработаны фон Неймаиом именно в связи с потребностями квантовой механики.

5 9. Две картины движения в квантовой механике. Уравнение Шредингера. Стационарные состояния В этом параграфе мы обсудим вопросы динамики квантовых систем. Основное предположение уже по существу было сделано в 9 4, когда мы говорили о необходимости введения лиевской операции в алгебре наблюдаемых квантовой механики и о ее связи с динамикой.

Поэтому мы прямо начнем с того, что постулируем так называемую картину Гейзенберга. Эта картина является аналогом классической картины Гамильтона. Так же как н в классической механике, в этой картине наблюдаемые А зависят, а состояния ы М не зависят от времени ам — =0 а > — = (Н, А (1))м Здесь Н вЂ” оператор полной энергии системы, являющийся аналогом функции Гамильтона классической механики. Оператор Н иногда называют оператором Шредингера. Форма записи картины Гейзенберга точно такая же, как картины Гамильтона, только в правой части стоит квантовая скобка Пуассона вместо классической.

Как н в классической механике, уравнение — = (Н, А(1))» (2) вместе с начальным условием А(~) ~~-0= 4 задает однопараметрическое семейство автоморфизмов алгебры наблюдаемых 6. Зависимость среднего значения от времени определяется формулой (А (() ~ в) = Тг А (Г) М.

Уравнение (2) с начальным условием (3) имеет единственное решение, которое может быть записано в виде А (~) = е" Ае (4) Действительно, д, = —,(Н А('))=(Н А(())л. Выполнение начального условия очевидно. а и' Оператор У(()=е ", который появился в записи реше. ния (4), называется оператором эволюции. Оператор эволюции является унитарным оператором вследствие самосопряженности оператора Н ! 0*(() =е" = У (().

Множество операторов У(1) образует однопараметрическую группу и((,)и((,)=и(Н+(,), и '(()=и( — г). Если наблюдаемые Н и А коммутируют, то (Н,А)х = О и среднее значение наблюдаемой А не зависит от времени. Такие наблюдаемые называются квантовыми интегралами движения. В квантовой механике существует вторая эквивалентная картина движения, являющаяся аналогом классической картины Лиувилля. Для того чтобы сформулировать эту картину, преобразуем формулу для среднего значения (А(() (ы)=Тг0 (г) А(((() М ТгА(((() М(( (() =Тг АМ (() = =(А !в(()), где ы(() и(() = Н(() Ми" (() (5) и М(() является единственным решением уравнения — = — (и, м(г))„ нм (() (6) с начальным условием М(~) (г-о (7) Мы пришли к так называемой картине Шредингера. В этой картине зависящими от времени оказываются состояния — = — (Н М(())ы нм (В ш =О.

нА (8) По самому способу введения картина Шредингера эквивалентна картине Гейзенберга, так как зависимость средних значений наблюдаемых в этих картинах является одинаковой. Теперь рассмотрим зависимость от времени чистых состояний в картине Шредингера. Согласно общей формуле (5) Р„(() = (((() Р,Н* ((). 43 Подберем зависимость вектора состояний зр(!) от времени так, чтобы выполнялось равенство Р, (!) =Р. и. Проверим, что этому условию удовлетворяет ф(1) = и(1) ф. (9) Пусть $ — произвольный вектор, тогда Р.на=В, ф(!))ф(1)=а, и(!)ф)и(1)ф= =и(!)(и'(!д, Ф) ф=и(1) Р,и*(1) ~= „(гд.

так как (з'(!) — унитарный оператор. Вектор тр(!) удовлетворяет уравнению !й ~('1 = Нф(!) лс и начальному условию ф(!)1з е=ф (10) Уравнение (10) называется уравнением Шредингера и является основным уравнением квантовой механики. Рассмотрим теперь состояния, которые в картине Шредингера не зависят от времени. Такие состояния называются стационарными. Очевидно, среднее значение любой наблюдаемой и вероятности ее определенных значений в стационарных состояниях от времени не зависят. Условие стационарности сразу следует из (6) и имеет вид (Н, М)„=0.