Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков (Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков.djvu), страница 5

Основными понятиями классической механики были понятия наблюдаемой и состояния. Задача физической теории — предсказание результатов экспериментов, а эксперимент всегда есть измерение некоторой характеристики системы или наблюдаемой при определенных условиях, которые определяют состояние системы. Поэтому понятия наблюдаемой и состояния должны появиться 2Э в любой физической теории. С точки зрения экспериментатора определить наблюдаемую — значит задать способ ее измерения.

Наблюдаемые мы будем обозначать символами а, Ь, с, ... и пока не будем делать никаких предположений об их математической природе (напомним, что в классической механике наблюдаемые есть функции на фазовом пространстве). Множество наблюдаемых, как и прежде, мы будем обозначать через а. Разумно предположить, что условия эксперимента определяют по крайней мере вероятностные распределения результатов измерения всех наблюдаемых, поэтому определение состояния, данное в Э 2, разумно сохранить.

Состояния по-прежнему мы будем обозначать через в, соответствующую наблюдаемой а вероятностную меру на действительной оси через в,(Е), функцию распределения наблюдаемой а в состоянии а через в,(Х) и, наконец, среднее значение наблюдаемой а в состоянии в через (ы! а). Теория должна содержать определение функции от наблюдаемой. Для экспериментатора утверждение, что наблюдаемая Ь есть функция от наблюдаемой а (Ь = ((а) ) означает, что для измерения Ь достаточно измерить а, и, если в результате измерения наблюдаемой а получится число ам то численное значение наблюдаемой Ь есть Ьа = ((аз).

Для соответствующих а и ((а) вероятностных мер справедливо равенство и~ (а) (Е) — Йа (~ (Е)) (4) для любых состояний в. Заметим, что всевозможные функции от одной наблюдаемой а измеримы одновременно, так как для измерения этих наблюдаемых достаточно измерить наблюдаемую а. В дальнейшем мы увидим, что в квантовой механике этим примером исчерпываются случаи одновременной измеримости наблюдаемых, т.

е. если наблюдаемые Ьь Ьь ... измеримы одновременно, то найдется такая наблюдаемая а и такие функции (ь (ь ..., что Ь1= (1(а), Ьз = 1з(п) Среди множества функций ~(а) наблюдаемой а, очевидно, определены ((а) = Ха и ((а) = сопз(, где ) — вещественное число. Существование первой из этих функций показывает, что наблюдаемые можно умножать на вещественные числа. Утверждение, что наблюдаемая есть константа подразумевает, что ее численное значение в любом состоянии совпадает с этой константой. Попытаемся теперь выяснить, какой смысл можно придать сумме а+ Ь и произведению аЬ наблюдаемых. Эти операции были бы определены, если бы у нас было определение функции от двух наблюдаемых 1(а, Ь).

Здесь, однако, возникают принципиальные трудности, связанные с возможностью существования неизмеримых одновременно наблюдаемых. Если а и Ь 24 измеримы одновременно, то определение ~(а, Ь) совершенно аналогично определению !" (а). Для измерения наблюдаемой )(а,Ь) достаточно измерить наблюдаемые а и Ь, и такое измерение приведет к численному значению )(ао,Ьо), где ао и Ьо— численные значения наблюдаемых а и Ь соответственно. Для случая неизмеримых одновременно наблюдаемых а и Ь не сушествует никакого разумного определения функции ~(а, Ь). Это обстоятельство заставляет нас отказаться от предположения, что наблюдаемые есть функции на фазовом пространстве Цд, р), так как у нас есть физические основания считать д и р неизмеримыми одновременно и искать наблюдаемые среди математических объектов иной природы. Мы видим, что определить сумму а+ Ь и произведение аЬ, используя понятие функции от двух наблюдаемых, можно только в том случае, если они одновременно измеримы.

Однако возможен другой подход, позволяющий ввести сумму в общем случае. Мы знаем, что вся информация о состояниях и наблюдаемых получается в результате измерений, поэтому разумно предположить, что состояний достаточно много, чтобы по ним можно было различать наблюдаемые, и аналогично наблюдаемых достаточно много, чтобы по ним можно было различать состояния. Более точно мы предполагаем, что из равенства (а ! в) = (Ь ! в), справедливого для любого состояния в, следует, что наблюдаемые а и Ь совпадают *, а из равенства (а ! в~) = (а ! вя), справедливого для любой наблюдаемой а, следует, что совпадают состояния со1 и вя.

Первое из сделанных предположений дает возможность определить сумму наблюдаемых а+Ь как такую наблюдаемую, для которой справедливо равенство (а + Ь ! в) = (а ! в) + (Ь ! в) (5) при любом состоянии в. Сразу заметим, что это равенство является выражением известной теоремы теории вероятностей о среднем значении суммы только в случае, когда .наблюдаемые а и Ь имеют общую функцию распределения. Такая общая функция распределения может существовать (и в квантовой механике действительно существует) только для одновременно измеримых величин.

В этом случае определение суммы по формуле (5) совпадает со сделанным прежде. Аналогичное опре. деление произведения невозможно, так как среднее от произ* * Это предположение позволяет считать, что наблюдаемая задана, если каждому состоянию сопоставлено вещественное число, ведения не равно произведению средних даже для одновре- менно измеримых наблюдаемых. Определение суммы (5) не содержит никакого указания на способ измерения наблюдаемой а + Ь по известным способам измерения наблюдаемых а и Ь и в этом смысле является не- явным.

Чтобы дать представление о том, насколько понятие суммы наблюдаемых может отличаться от обычного понятия суммы случайных величин, мы приведем пример наблюдаемой, которая будет подробно изучена в дальнейшем. Пусть Р2 щ2Я2 Н= — + —. 2 2 Наблюдаемая Н (энергия одномерного гармонического осцил- лятора) есть сумма двух наблюдаемых, пропорциональных квад- ратам импульса и координаты. Мы увидим, что эти последние наблюдаемые могут принимать любые неотрицательные чис- ленные значения, в то время как значения наблюдаемой Н должны совпадать с числами Е„=(п+1/2)ы, где и = О, 1,2,..., т. е. наблюдаемая Н с дискретными численными значениями является суммой наблюдаемых с непрерывными значениями. Таким образом, на множестве наблюдаемых И определены две операции: умножение на вещественные числа и сложение; тем самым множество 6 становится линейным пространством.

Поскольку на 5 определены вещественные функции и, в част- ности, квадрат наблюдаемой, то возникает естественное опре- деление произведения наблюдаемых а Ь= 4 (а+ Ь)' — (а — Ь)' (6) Отметим, что произведение а о Ь коммутативно, но, вообще го- воря, не ассоциативно. Введение произведения а ° Ь превращает множество наблюдаемых л' в вещественную коммутативную алгебру. Вспомним, что алгебра наблюдаемых классической меха- ники содержала еще лиевскую операцию — скобка Пуассона (~, д). Эта операция появилась в связи с динамикой системы.

С введением такой операции каждая наблюдаемая Н порож- дает семейство автоморфизмов алгебры наблюдаемых: ц: я — я, где У~~ = ~б ~~ удовлетворяет уравнению '((с ч., — — (Н, У и начальному условию 7С )ген = (. Напомним, что отображение (/~ является автоморфизмом вследствие того, что скобка Пуассона обладает свойствами лиевской операции. Тот факт, что наблюдаемые в классической механике являются функциями на фазовом пространстве, здесь роли не играет. Мы предположим, что и алгебра наблюдаемых квантовой механики имеет лиевскую операцию, т.

е. каждой паре наблюдаемых а, Ь сопоставляется наблюдаемая (а, Ь) со свойствами; (а, Ь) = — (Ь, а), (Ла+ Ь, с) =Л(а, с)+ (Ь, с), (а, Ь о с) = (а, Ь) о с+ Ь о (а, с), (а, (Ь, с)) + (Ь, (с, а)) + (с, (а, ЬЦ = О. Кроме того, предположим, что связь лиевской операции с динамикой в квантовой механике такая же, как и в классической. Трудно представить более простой и красивый способ описания динамики, кроме того, однотипное описание динамики в классической и квантовой механике позволяет надеяться на то, что мы построим теорию, содержащую классическую механику как предельный случай. Фактически все наши предположения сводятся к тому, что при построении квантовой механики разумно сохранить структуру алгебры наблюдаемых классической механики, но следует отказаться от реализации этой алгебры функциями на фазовом пространстве, так как мы допускаем существование неизмеримых одновременно наблюдаемых.

Наша ближайшая задача — убедиться в том, что существует реализация алгебры наблюдаемых, отличная от реализации классической механики. В следующем параграфе мы приведем пример такой реализации, построив конечномерную модель квантовой механики. В этой модели алгебра наблюдаемых л есть алгебра самосопряженных операторов в и-мерном комплексном пространстве С". Изучая эту упрощенную модель, мы сумеем проследить за основными особенностями квантовой теории. В то же время, дав физическое толкование построенной модели, мы увидим, что она слишком бедна, чтобы соответствовать действительности. Поэтому конечномерную модель нельзя рассматривать как окончательный вариант квантовой механики.

Однако усовершенствование этой модели — замена С" на комплексное гильбертово пространство будет представляться весьма естественным. $5. Конечномерная модель квантовой механики Покажем, что алгебра наблюдаемых 6 может быть реализована как алгебра самосопряженных операторов в ьонечномерном комплексном пространстве С". Векторы пространства С" будем обозначать греческими буквами $, ть <р, ф, ....