Galitskii-2 (Галицкий В.М. Задачи по квантовой механике), страница 12

Стационарные состояния отомоб с одним и дбумя электронами 45 Решение Расчет Е = Д лу(г„г!)НЦгн гз) ЕУ, Еуз свод»тся к вычислению»ссколькик интегралов, которые аыражаютса через следующие ~стырс Вк /1 „, 4я е "ЕУ =- —, /1 - е "'4У = —, 7! ' г 7з ' Веад с 'гус «'4У = — /1 (!Уе ')(гзе «") 4У = — —, (о+ р)з и интеграл (3) из !мычи 11.5. В результате вычислений получаем т ад елР г 1 Е(о,д) =2С ! -2(а+Р)+ — (а -.

'Р )+ +, + 2 а+О (а+Р)з , зр! азрз + 20 4- 64 [ар — 2(а -Л р)] ~, (1) (а л р)т (а+р)л л -' глс 2С = (1+ 64а~д'/(а+ 13) ) из условии нормировки пробной вояновой функции При значениях а = р = 2 — 5/16, из (1) следует результат 11.6 Однако возможность независимого варьирования парамстрон а и Р гюзаоляет его уючнигь В частности, лля иона Н, выбрав а =- 1 и Р = 0,25, находи» Ел „,р — — Е = -0,512, (2) что ниже энергии основною состояния атоиа лодороаа, равной — !/2, и тем самым доказывается существование устойчивого иона Н (прецизионный вариационный расчет дает Ел = 0,528).

1 1.9. Оценить значения энергий и потенциалов ионизации возбужденных состояний гелиеподобных атомов в приближении, в котором взаимодействие между электронами эффективно учитывается как экранирование заряда ядра электроном, находящимся в основном, 1«-состоянии (при рассмотрении движения возбужденного электрона). Сравнить полученный результат с экспериментальными даинымн, приведенными в решении. Решение. В рассматриваемой модели энергия пб-состояния гслисноаобного атома, одинаковая для пара- и ортосостояпий, представляет сумиу энергии Еьы = -2 /2 основного 1 состояния аодорсдоподобного атома с зарядон ядра 2 и энергии Е, = -(2 — 1)з/2»з состояния с главимм квантовым числолг н в поле экран»рован|юга заряда 2 — 1.

Таким образом, энергия и гютснциал написании системы в рассматриваемом приближении Равны 2з (2 !)з (2 От Е л(2) = - — —, У,л(2) = (О 2 2п! ' " 2гг' 2(ая 2Ь-состояний атома гелия получаем /зл(Не) = О,!25, что следует сравнить с экспериментальными э»а»гни»лги, представлснныии в таблиис Ллл ЗЬ-состоянглй атолю гелия согласно модели /зл(Нс) = 556 1О ', а экспсримснтальныс значения Глава !!.

Атомы и молекулы 11.10. Найти энергию н потенциал ионизации 215-состояния геливподобного атома вариационным методом. В начестве пробной функции взять должным образом снмметризованное произведение водородных функций 1з- и 2з-состояинй с некоторым эффективным зарядом ядра Кыю, играющим роль вариационного параметра. В случае атома гелия и иона лития (.!' сравнить полученные результаты с экспериментальными данными (в атомных единицах): Угм(215) ю 0,175 и 1!э-(215) = 0,6!О.

Решение. Нормнроваинан пространственная часть волновой функнии 2'Я-сосганнип нчест нип (а = йюь) Ф(г~ Г!) = (Р~(г1)Р (гз) — гРг(гг)й~(гз)) зг2 / Т ГТг Е, = )(' — е "', гуз(г) =- ~ — ~1 — — аг)е " . =Ч. Для вычислении срслнсй энергии в состоянии с в ф (1) удобно записать гамнльтопивн системы в виде суммы трех слагаемых ( 1 а а) /1 1~ 1 Н= ~ — -(Ь~+ЬД вЂ” — — — ) -(5 — а) ( — + — ) + — ШН,.(.Нт+Нз.

(3) 2 гз ) Так как !шаповал функция (1) янанетсп с ф. шчнл! гопнана Н,, то сразу находим Н, = — 5а /О. Также сразу, с использоюнием теоремы вариала, находич срелнсс значение б-а г' а а'т 5 Йз = — ~- - - -) =- -- а(5 - а). (4) а (, г, г!) 4 (2) Наконец, Йз = К вЂ” Я, где ГГ г ! ЯУ~ йуз К =)) Ф~(г,)йг(гз) )г, — г,!' ~я Лгг Я = Ц рг(г,)бгз(г,)зз,(гз) йз(гг) (г, — гз! (5) (Б) характеризует кулоновскае взаиьюлсйствие электроноп. Первая часть его связанная с интсгрллоч К, имеет очевидную классическую интерпретацию, определяя кулоновскае взаимо юйстеие плотностей варила, отвечающих 1з- и 2з-электранач.

Интеграл У определяет |г! ° ЭКСЯЕРИМЕПтЫГЬНМЕ ЗКВЧЕНИХ ПОПРаВОК РЯДОСРМ Ьз~ Дтл атОМа ГГЛИХ (Я вЂ” СУИМааииа СПКН электранаь) расим (1, Обз! ЬР, = -0,140, Ьвг = +С,ОЮ, ЬЫ = -0,0022 (НРИ Я = 0), гьа = -02б9, Ьгг---Оббв, Ьм — — 00029 (ПРН Я=- Ц ~гг Злссь спеть проваляется отмечавшаяся ранее в зктвчах глав» 9 особенность «еези классического и риблнжсннч прк правильном амбаре кеагихлассичсскаа яапрвекч в шивилс кгангаевннч она абеспсчньест ажмгачна емсакую точность твже прн \печениях п 1 Рвссмагреннан попель основана. но сушестну, на ногчожности пренебрежения гпсрекрыпгсм» в.ф. 1з- н п1-элсктроное (с 1 и Е).

()рн значениях и Ъ 1 это обеспечивается бальнгиьг размером орбиты п!-электрона (ншюлшим, что г„а и ) и соатнетсгвсггна малой 3 есронтностью нахожленин его в области локализации 1з.электрона Лля уточнении результата, учитмваюншго квазикчасси пюсть авиження эдсктронв при и Ъ 1, следует ввести гюлрееку Рядлгргн Ь, (не занисягную ог п, см. (1, 1БХ)), заменив н формуле (1) п на и -1. Ь,. Как видно из таблиц. се введение и! существенно увеличивает точность, особенно для 5-тсрмоя, и нрн рассчотрснных выше зиачсниякнг п — — 2 и 3 Что же касается состояний с моментом ! й О, то для ннх рассмотренная чолеяь неплохо воспроизволнт экспсримснтальныс данные и бс г нвсдснля поправки Ридбс рта. Эг о связано с тем, что с ростам 1 верах ~ ность нахождении электрона н обласгн малых расстонний быстро уиеньагаетсн, так как ири этом Фг сс г'. Соогветстнсино быстро уменьшается с ростам ! и значение поправки Ридберга.

01. Стоционорньге состояния отомоб с одним и дддмя электрономн 47 // г)гт Д )г, — гт( где и, Л вЂ” полые числа. длн них Тт „= (-1)"' — „— /131 брг брт а (-1)"'" — — „йг,„ Ва" ВР" // (г, — гт( дат ВВ" а интеграл !(0,0) был вычислен ранее, см. формулу (3) из !1 5 Теперь простое, по несколько утомительное вычисление дает К = 17а/81 и 2 .= 16а/729 (замстим, что облгсннал часть кулоновского взаимодействии в 10 раз исньшс прямого кулоновского взаимодействия электронов) Таким образом, получаем 5 т 5 137 Е(а) = Н,, Нт + К вЂ” 2 = — а — - аЯ -1- — а, 8 4 729 и минимизация по параметру а = Я Зе дает искомое аариационное значение энергии 5 / 548 'т' 5 Е(2тд) = т!п Е = -- ~Я вЂ” — / — — (Я вЂ” 0,150)т, 8 т, 3645/ 8 (7) при этом Я,!ь — — Я - 0,150, и потенциал ионизании рассматриваемого состонник 7(г В) = -(Я - 0,150) - - Я .

т 5 . г ! 2 8 ' 2 (8) Согласно (8), имеем 1 = 0,139 лла атома гелия и 7 = 0,576 дхя иона лития (5 (довольно значительнее отличие аля атома гелия варианионного значения 7 от экспериментального связано стем, что в пробной функции было использовано одинаковое значение эффективного заряда как для внутреннего» 1в-, так н тансшнего» 2х-электронов, сравнить с 116 и 11.8). 11.11. Рассчитать сверхгонкое расщепление для триплетного 2зо-состояния атома гелия с ядром Нсз; спин ядра 1 = 1/2, магнитный момент р = — 1,064ей/тп с. При вычислениях воспользоваться приближенным видом волновой функции 2зд-состояния, отвечающим пренебрежению взаимодействием электронов друг с другом. Сравнить полученный резулыат с экспериментальным значением величины сверхгонкого расщепления г3ннгз ш /5Енгз/2кй = 6 740 МГц. Решение Зала га решастсн аналогично 11.2 Теперь оператор возмущения имеет пил У = У, + Ут, глс Ъ', г описывает азаичолсйстпис каждого из электронах с магнитным полем ядра, см.

формулу (1) из 1!.2 (ит-за сферической симметрией Б-состояния взаичолейстаие орбнтально!о тока электроное с магнитным полем в пернои порадкс отсутствует) Усрслнял оператор У с волновой функциси Ф(гп гт) пространственного движения электронов в 2'В-состоянии, находим — Охедл \г = — С(18), )т,сЕ тле $ = а, .1- а! — оператор суммарного спина электронов, а С- / (ф(О...>('брт = /(О(г„а)('НУ,.

(2> так назыеаенос сбнеккее юелнсдеисмеие Оно является частью кулоновского взаимодействия электронов н имеет чисто квантовое происхождение, связанное со саойствалги симметрии в.ф. системы тождественных частиц Имев в виду ныраженин (2) для функций Р, т(г), заме гаси, ао расчет К и .7 сводится к вычислению интегралов Глава 11. Атомы и молекулы Собстл~снпыс значении оиерагора Р (в нространспи спиноиых состояний) оирелс.ыю~ сисрюонкую структуру уршнш Так как В = 1, в 7 = 112, то 3 У=.—, 2' ВггсйрС Вйиз =- 3пцс (3) 1 -2,,1 =— 2 (У вЂ” полный чолгелл~ снсгемм), нрн этом величина снсрыонкого расшеняеннк равна блЕнгл = )Енгл(3 = -) - Рнм ~0 = -) ( = (4) Восиодьзо!чешись лля х.ф.

приближенным выраженнсч 1 Ф(гн гт) = — (Р~(г, )ит(гт) — рг(г,)ий (г!) ), 72 !Лс ф, т — водновыс фУпкнии волоРолооолобного аточа с Я = 2 длн !з- и 2з-состолннй. нзходии С. -(!Р~(0)) «-)бт(0)) ) =- — —, а = —. 1 г г 9 1 Ьг 2 2я о,',' пг,ет Численное значение СлВлн л.

согласно (4) и (5), оказывастсн разным (5) субнгл гзишг = — -- 7 340 М!Ц 2 ггй (6) 11.12. Показать, что у гелиеподобнык атомов все устойчивые возбужденные состояния, стабильные относительно распада на соответствующий водородоподобньгй атом и свободный электрон, имеют электронную конфигурацию 1зп(, т.е. один из электронов обязательно находится в основном, ! з-состоянии (неустойчивые относительно ионизация состояния атомных систем с двумя или более возбужденными электронами называют абглоионизационньгми, см. 11.72). Решение.

Заме мсм. чю и пренебрежении нмимоаснстннсм элекгронпв, когда нюрлни саснжннн. и кагором оба злекгронз нозбужыньк т е ллн ннх и . .> 2. кьннс знс1нни К,: — В'/2 осноннонл сгютоянкх соотнстетзуюнппо олноэхсктронного иона. ~го и указынсют нз нсуслойчныжгь снстешз 7(сйстеллтельнэ, в резулюатс нззнмоленсткин л~сж гу электронами можсг нроннгиги (аюо)нонпяниш сне~сны, котла ошю ил эзектронон псрехозп н сос~ониггс непрерывного спектра, е одноззсктропный нон прн ыом оказывается в сносч основнпм, !з-счючллннклл Прслстзюзлсшк очсенлнылг. что учет взаимо.гснсгенн чсжду э.юктронамн. носншс~о о~пылнедюльныи характер, лишь понынлыт энергию системы, так что свсхниоый ььпюл Кзк ннгпнл из (5), ломиннруюлннй вклад и сисрхтонкое расигспление вносит 1з-электрон.

Вклад 2з-эг!си~рона в рлссматриьаечом приближении х 8 раз мсныпе. На самом леле его нклзл сшс чсныне, так как в. ф. 2з-элсктрона в нуле (прн г = О) чсньшсс из-за экранировки зарялв мара 1з-электроном Если гыи и. ф Р (г) воспгюьюнаглси значением, отвечающим экраниронанному зарнзу Я = 1. то вклвл 2з-эяектрона оказыеаетсн чсньше уже в 64 раза: прн этом плюс ~о (6) получаем Гуилггк ю 6 630 МГн, что, сстсстлкнно, бяижс к зкспсримснтазьночу .ныченинг.